D13、4、5函数的极限、无穷小无穷大、极限运算法则-hw.ppt

,主要讨论:在自变量的某一变化过程中,函数是否与一常数无限接近,即形如：,函数的极限,第三节,第一章,本节内容：定义与性质,一、自变量趋于有限值时函数的极限,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,自变量变化过程的六种形式:,一、自变量趋于有限值时函数的极限,1.,时函数极限的定义,引例.,描述性定义（粗略地）： 设函数在 附近（去心）有定义：当 无限接近于 时 的值无限接近于一个常数 ，称 为 当 时的极限。,定义1 . 设函数,在点,的某去心邻域内有定义 ,当,时, 有,则称常数 A 为函数,当,时的极限,或,即,当,时, 有,若,记作,极限存在,函数局部有界,(P36定理2),这表明:,几何解释:,例1. 证明,证:,故,对任意的,当,时 ,因此,总有,例2. 证明,证:,故,取,当,时, 必有,因此,例3. 证明,证:,（分析：欲使,取,则当,时, 必有,因此,只要,即 ）,不妨令 ，要使得,只要 即可，,练习. 证明: 当,证:,欲使,且,而,可用,因此,只要,时,故取,则当,时,保证 .,必有,2. 保号性定理,定理1 . 若,且 A 0 ,证: 已知,即,当,时, 有,当 A 0 时,取正数,则在对应的邻域,上,( 0),则存在,( A 0 ),(P37定理3),若取,则在对应的邻域,上,若,则存在,使当,时, 有,推论:,(P37定理3),分析:,定理 2 . 若在,的某去心邻域内, 且,则,思考: 若定理 2 中的条件改为,是否必有,不能!,证明：略,如,*定理3.,函数极限与数列极限的关系 （P37 Th4）,*定理3.,有定义,且,有,说明: 此定理常用于判断函数极限不存在 .,法1 找一个数列,不存在 .,法2 找两个趋于,的不同数列,及,使,例1. 证明,不存在 .,证: 取两个趋于 0 的数列,及,有,由定理 1 知,不存在 .,3. 左极限与右极限（单侧极限）P34,左极限 :,当,时, 有,右极限 :,当,时, 有,定理 3 .（P34）,( P39 题*11 )注：可以说明某些函数极限不存在，如符号函数,例4. 给定函数,讨论,时,的极限是否存在 .,解: 利用定理 3 .,因为,显然,所以,不存在 .,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,引例.,定义2 . 设函数,大于某一正数时有定义,若,则称常数,时的极限,几何解释:,记作,直线 y = A 为曲线,的水平渐近线 .,A 为函数,二、自变量趋于无穷大时函数的极限,例5. 证明,证:,取,因此,注:,就有,故,欲使,只要,直线 y = A 仍是曲线 y = f (x) 的渐近线 .,两种特殊情况 :,当,时, 有,当,时, 有,几何意义 :,例如，,都有水平渐近线,都有水平渐近线,又如，,内容小结,1. 函数极限的,或,定义及应用,2. 函数极限的性质:,保号性定理,与左右极限等价定理,思考题,1. 若极限,存在,2. 设函数,且,存在, 则,例3,作业 P37 1；2 ; 4 ;,Th1,Th3,Th2,是否一定有,？,第一章,二、 无穷大,三 、 无穷小与无穷大的关系,一、 无穷小,第四节,无穷小与无穷大,当,一、 无穷小,定义1 . 若,时, 函数,则称函数,例如 :,函数,当,时为无穷小;,函数,时为无穷小;,函数,当,为,时的无穷小 .,时为无穷小.,注：除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !,其中 为,时的无穷小量 .,定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 ),证:,当,时,有,对自变量的其他变化过程类似可证 .,二、 无穷大,定义2 . 若任给 M 0 ,一切满足,的 x , 总有,称函数,当,时为无穷大。,，使对,类似可定义,(正数 X ) ,总存在,注意:,1. 无穷大不是很大的数, 它是描述函数的一种状态.,2. 函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 ! （P42. Ex 6）,例如, 函数,但,不是无穷大 !,例 . 证明,证: 略。见P40,若,则直线,为曲线,的铅直渐近线 .,铅直渐近线,说明:,三、无穷小与无穷大的关系,若,为无穷大,为无穷小 ;,若,为无穷小, 且,则,为无穷大.,则,(自证),据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.,定理2. 在自变量的同一变化过程中,说明:,内容小结,1. 无穷小与无穷大的定义,2. 无穷小与函数极限的关系,Th1,3. 无穷小与无穷大的关系,Th2,练习,P42 ex 1 , 5,P42 题*3 提示:,作业 P42 4 (1) ; 8,第一章,二、 极限的四则运算法则,三、 复合函数的极限运算法则,一 、无穷小运算法则,第五节,极限运算法则,时, 有,一、 无穷小运算法则,定理1.,证: 由定义得,设 则,当,时 , 有,当,时 , 有,取,则当,因此,这说明当,时,为无穷小量 .,例如，,( P56 题 4 (2)；P49 题1（12）见课件,注：Th1 1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 2. 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有 .,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,证: 设,又设,即,当,时, 有 .,取,则当,时 , 就有,故,即,是,时的无穷小 .,定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .,推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .,练习 . P31 Ex 5,推论 2说明 ： 无限个无穷小的乘积未必是无穷小 .,例1. 求 P48. 例8,解:,利用定理 2 可知,说明 : y = 0 是,的渐近线 .,二、 极限的四则运算法则,则有,证: 因,则有,(其中,为无穷小),于是,由定理 1 可知,也是无穷小,再利用极限与无穷小,的关系定理 , 知定理结论成立 .,定理 3-1 . 若,推论: 若,且,则,( P46 定理 5保号性 ),利用保号性定理证明 .,说明: 定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形 .,提示: 令,为无穷小,定理 3-2 若,且 B0 , 则有,证: 因,有,其中,设,由极限与无穷小关系定理 , 结论可得。,因此 为无穷小,定理 3-2 . 若,则有,说明: 定理 3-2 可推广到有限个函数相乘的情形 .,推论 1 .,( C 为常数 ),推论 2 .,( n 为正整数 ),例2. 设 n 次多项式,试证,证:,定理 3-3 若,且 B0 , 则有,证: 略见P44；或者见本课件最后一页。,定理4 若,则有,提示: 因为数列是一种特殊的函数 ,故此定理 可由,定理3 , 4 , 5 直接得出结论 .（已经在第二节讲过）,例3. 设有分式函数,其中,都是,多项式 ,试证:,证:,说明:,1. 不能直接用商的运算法则，如例4、例5 要先化简，或者通过求倒数的极限。,若,例5 . 求,解:,x = 1 时, 分母 = 0 , 分子0 ,例4.,x = 3 时分母为 0 !,例6 . 求,解:,分子分母同除以,则,“ 抓大头”,原式,一般有如下结果：,为非负常数 ),( 如 P47 例5 ),( 如 P47 例6 ),( 如 P47 例7 ),三、 复合函数的极限运算法则,定理5. 设,且 x 满足,时,又,则有,证:略,当,时, 有,当,时, 有,对上述,取,则当,时,故,因此式成立.,定理5. 设,且 x 满足,时,又,则有,说明: 若定理中,则类似可得,例7 . 求,解: 方法 1,则,令, 原式,方法 2,内容小结,1. 极限运算法则,(1) 无穷小运算法则,(2) 极限四则运算法则,(3) 复合函数极限运算法则,注意使用条件,2. 求函数极限的方法,(1) 分式函数极限求法,时, 用代入法,( 要求分母不为 0 ),时, 对,型 , 约去公因子,时 , 分子分母同除最高次幂,“ 抓大头”,(2) 复合函数极限求法,设中间变量,Th1,Th2,Th3-1,Th3-2,Th3-3,Th5,练习题,1.,是否存在 ? 为什么 ?,答: 不存在 .,否则由,利用极限四则运算法则可知,存在 ,与已知条件,矛盾.,解:,原式,2.,问,3. 求,解法 1 （分子有理化）,原式 =,解法 2 （换元）,令,则,原式 =,作业,P49