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第六节 二元函数的极值与最值,一、二元函数极值,极大值、极小值统称为极值.,使函数取得极值的点称为极值点.,1,(1),(2),(3),例1,例,例,2,播放,3,极值的求法,（称驻点）,驻点,极值点,注意：,定理1（必要条件）,问题：如何判定一个驻点是否为极值点？,4,定理2（充分条件）,5,例4,解,无极值,极小值-5,极大值31,无极值,6,二元函数的最值,若根据实际问题,目标函数有最大值(或最小值),而在定义区域内部有惟一的极大(小)值点,则可以断定该极大(小)值点即为最大(小)值点.,设生产某种商品需原料A和B，设A的单价为2，数量为x；而B 的单价为1，数量为y，而产量为,例5,解,且商品售价为5,求最大利润.,利润函数为,7,令,解得惟一驻点,惟一驻点为极大值点，,即为最大值点，,最大利润为,8,例6,解,9,令,10,用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？,二、条件极值与拉格朗日乘数法,实际问题中,目标函数的自变量除了受到定义域的限制外, 往往还受到一些附加条件的约束,这类极值问题称条件极值问题.,例7,解,即表面积最小.,代入目标函数,化为无条件极值问题：,11,内部唯一驻点,且由实际问题S有最大值,故做成立方体表面积最小.,这种做法的缺点：,1.变量之间的平等关系和对称性被破坏；,2.有时解出隐函数困难甚至不可能.,12,拉格朗日乘数法,引入拉格朗日函数,令,若这样的点惟一,由实际问题,可直接确定此即所求的点。,13,则构造拉格朗日函数为,令,14,用铁皮做一个有盖的长方形水箱,要求容积为V,问怎么做用料最省？,例7,解,由实际问题,即为最小值点.,15,三、多元函数最大值、最小值及其应用,在实际问题中，经常要求某多元函数在已知区域D内的最大值和最小值.根据实际情况，我们往往可以判断最大值或最小值在区域D的内部达到，若函数在D内仅有一个驻点，则可以断定，该驻点就是最大值点或最小值点.,16,例8,解,解得唯一驻点,即做成正三角形时面积最大.,17,三角形中,以正三角形面积为最大:,四边形中,以正方形面积为最大：,18,解,例9,先求函数在D内的驻点，,解方程组,19,为最小值.,20,例10,解,21,由,由实际问题，此即最佳分配方案.,22,解法1,例11,因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利润，,23,例11,因驻点惟一，且由问题的实际含义可知必有最大利
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