张英伯Cliffordtheoremrv.ppt

五点共圆问题 与 Clifford 链定理 北京师范大学 张英伯，叶彩娟 2007年4月,一、引子,在世纪之交的2000年5月，当时的国家主席江泽民视察澳门濠江中学，兴致勃勃地出了一道“五点共圆”的几何题。 江泽民先生随后给数学家和数学教育家张景中院士打电话征询答案，并亲函濠江中学参考。与此同时，濠江中学的四位数学老师也各自独立地作出了解答，他们的数学功底令人敬佩。,这个图形就是五点共圆问题。当时的表述是：给出一个不规则的五角星，做所得五个小三角形的外接圆，每相邻的两个小三角形的外接圆交于两个点，其中之一是所得五边形的顶点。在五边形五顶点外的交点共有五个，证明这五点共圆。 2003年春天，我去德国访问。有一天我的老板，代数学家 Claus Ringel 问我，你知道“江问题”吗？正当我在脑子里紧张地搜索江姓数学家的名单时，老板得意地笑了，“哎呀呀，你们的国家主席呀！”,那天Claus 刚从伦敦开会回来，他说在伦敦的会议上，数学家们聊起了江泽民先生提出的五点共圆问题，觉得国家主席关注几何学非常有趣。Claus 随手在黑板上画出了五点共圆问题的推广。 2006 年底，澳门的一个研讨班邀请我去做报告，报告刚好在濠江中学举行。濠江中学校方与我们会面时介绍了当年江泽民主席的视察。我一下子想起三年前与 Claus 的对话，就临时改变报告题目，凭记忆谈了推广的五点共圆问题。报告之后，研讨班的组织者力主并多次敦促将这一问题的证明写成文章。,回到学校，正赶上本科生准备毕业论文，一个保送研究生的女孩儿希望读代数方向的硕士，来我这里要题目，我说你试着找找五点共圆问题的推广吧。 感谢今天的互联网，把这个世界所有的信息摆在了每一个人的面前。 经过一个礼拜的搜索，女孩子终于找到了一位日本数学家冈洁的传记，在传记的最后一页的最后一个脚注中，提到 Clifford 定理将五点共圆问题推广到了任意的正整数。,有了这个名字，事情便简单多了。女孩马上去搜索 Clifford 所有文章的目录，找到了他关于这个问题的文章：On Miquels Theorem. 遗憾的是年代过于久远，我们的北京图书馆，中科院图书文献中心都没有收藏。 再一次感谢互联网，北图很快通知我们文章在大英图书馆找到了，付钱之后就可以扫描过来。还是由于年代过于久远，大英图书馆将刊有这篇文章的杂志收在一个乡间的书库。付过的钱被退了回来，原文的扫描和复印件都不能提供，原因无可奉告。,William Kingdon Clifford（1845-79），英国的几何代数学家，34岁辞世。 他建立了Clifford代数，这是一种交换环上的有限维结合代数，可以看作是复数域和 Hamilton四元数除环的推广，他将这种代数应用于运动几何。他还研究了非欧氏空间中的运动，引入了平行线的定义，并对微分几何做出贡献，创建了Klein-Clifford 空间。 直到今天，Clifford代数仍然是数学物理、几何、分析领域中的热门话题。,在十九世纪下半叶和二十世纪初，许多欧美大数学家致力于建立欧几里得几何的公理化体系。希尔伯特用了三十年的时间，先后出版七稿，写成了几何基础一书。当几何基础引起广泛讨论的时候，许多古老的几何问题，比如与三角形、直线和圆相关的点等问题被重新发现并研究。 1838年，Miquel证明了关于四圆共点的一个定理。在这个定理的基础上，Clifford于1871年建立了Clifford链定理，这是数学史上非常著名的一个有趣而又奇妙的定理。,。,那个年代的许多欧美数学家都研究并论证过这个定理，一方面寻找它的多种证明方法，另一方面研究这些点圆和其它一些著名的点圆之间的关系，还有人积极探索它的扩展，例如向高维情况的引伸。在当时的数学杂志上，不断地发表与Clifford链定理相关的研究成果。 我国正处于清朝末年，尚未进入近代数学的研究领域，因此对当时的一些研究都比较陌生。 由于没有见到Clifford的原文，本文所讲的证明，是基于英国几何学家 F. Morley于1900年发表在美国数学会 Transaction上的一篇文章“On the metric geometry of the plane n-line”。,二、Clifford 链定理的表述,n=3,n=2,任选平面内两两相交， 且不共点的三条直线， 则其中每两条为一组可以确定一个点，共有三个点， 那么这三个点确定一个圆。,任选平面内两条相交直线， 则这两条直线确定一个点。,n=4,n=4,任选平面内两两相交， 且任意三条直线都不共点的四条直线， 则其中每三条为一组可以确定一个圆，共有四个这样的圆， 则这四个圆共点。 此点被称为 Wallace 点。,n=5,任取平面内两两相交， 且任意三条直线都不共点的五条直线， 则其中每四条作为一组可确定如上所述 的一个 Wallace 点，共有五个这样的点， 那么这五个点共圆， 此圆被称为 Miquel 圆 （即五点共圆问题）。,n=6,任取平面上两两相交的六条直线，且任意三条直线都不共点， 则其中每五条为一组可以确定一个Miquel 圆，共有六个这样的圆， 则这六个圆共点。,n=7,任取平面内两两相交， 且任意三条直线都不共点的七条直线， 则其中每六条作为一组可确定如上所述 的一个点，共有七个这样的点， 那么这七个点共圆。,一般地，,任取平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的2n条直线，则其中每2n-1条直线可确定一个圆，共确定 2n 个圆，那么这 2n 个圆交于一点，称为 2n 条直线的Clifford 点； 任取平面内两两相交，且任意三条直线都 不共点的 2n+1条直线，则其中每 2n 条直线可确定一个 Clifford 点，共确定 2n+1个点，那么这 2n+1 个点共圆，称为 2n+1 条直线的 Clifford 圆。,三、直线方程,用平面几何的方法归纳地证明 Clifford 定理几乎是不可能的，我们已经看到 n=7 的情况图形有多么复杂，实际上五点共圆问题已经够复杂了。那么用平面解析几何呢？用复平面呢？这样就可以充分借助现代数学的工具。让我们来试一试。 现在考虑复平面 C, 建立原点，实轴和虚轴。,用 分别表示两个确定的复数，其中 的模为1，也就是说， 在单位圆上。其次，用 分别表示两个复变量，其中 的模为1，也就是说 在单位圆上运动。,考察公式 当 在单位圆周上运动时， 跑过原点 0 和点 连线的垂直平分线。,事实上， 而 因为 和 的模都是1，故 另一方面，当 趋近于 时， 的模趋近于无穷大；并且 是 的连续函数。所以我们得到了一条直线。,从上述分析可以看出，直线与 的幅角的取值无关。我们不妨取 事实上，利用单位圆周上的点 t 作参数，根据复变函数中的分式线性函数理论， 表示一条直线。,四、特征常数,如果我们有两条直线： ， 则 . 两式相减，得到两条直 线的交点： . 再设 . 称 为n=2时的特征常数。,如果我们有三条直线： 令 上面的式子中，求和号表示对数组 (1 2 3) 进行轮换，分别取 (1 2 3), (2 3 1) , (3 1 2). 叫做 n=3 时的特征常数。,建立一个圆方程，圆心在 ，半径为 ： 当 时， 当 时， 当 时， 所以我们的圆经过三条直线中每两条的交点，这就是三点共圆。,定义 4.1. 关于 n 条直线 的特征常数 定义为： 其中求和号表示对 (12- - -n) 进行轮换。 引理4.2.,证明： 引理证毕。,特征常数有如下的共轭性质。取定正整数 n，令 将 的复共轭记作 ，令 ，则 引理4.3.,引理4.4. 设 是 n 个变元的初等对称多项式，记 的共轭元为 。 如果 n 个变元均取模为 1 的复数，则 证明：设 ， 则 引理证毕。,五、n=4 和 n=5 时的证明,设我们有四条直线 根据第四节的讨论，三条直线确定的圆方程为： 或 其中 是一个变元的初等对称多项式。根据引理4.2, 去掉四条直线中的第 条后的圆方程是：,根据引理4.3,方程 是自共轭的，即它的共轭方程 与自身相等， 我们有： 即 在单位圆上。又因为 的任意性，方程等价于： 其中 是 n= 4 时的特征常数。消去 , 即 是四条直线的 Clifford 点。,当 n=5 时，我们有五条直线： 去掉其中的任意一条，所得到的四条直线确定一个 Cliford 点。 根据引理4.2，我们可以从n=5 时的特征常数得到 n=4 时的特征常数，比如去掉第 条直线，得方程：,因为 是一个变元的初等对称多项式， 分别导出了两个变元的初等对称多项式 和 上述方程变为： 根据引理4.3，第二个方程是自共轭的，保证了 t 在单位圆上。,从方程组中消去 ，并用 t 代替 ，或考察以 和 （以 t 代之）为未知数的线性方程组，Cramer 法则给出 x 和 t 应该满足的关系： 或 这就是五条直线的 Clifford 圆。,六、Clifford 链定理,定理6.1. 2p 条直线的 Clifford 点由下述行列式给出： 而 2p+1 条直线的 Clifford 圆由下述方程确定：,证明： 设 p=1 在2x1 时得到两条直线的交点： 设 P=2 ， 是一个变元的初等对称多项式。在 2x2-1 时得到三条直线的 Clifford 圆满足的方程： 在2x2 的情况得到四条直线的 Clifford 点满足的方程 设p=3, 是两个变元的初等对称多项式。在2x3-1 时得到五条直线的 Clifford 圆方程：,现在设 2p-1条直线的 Clifford 圆满足的方程是： 其中 是 p-1个变元的初等对称多项式。则该假设当 p=2，p=3 时都是正确的。我们来计算 2p 条直线的情况。,根据引理4.2, 关于 2p-1 条直线的特征常数可以用关于 2p 条直线的特征常数去掉某条直线，例如第 条表示出来：,由于 的任意性，考察下述 p 个方程： 其中第 1+i 与第 p-i+1 个方程是共轭的。为方便起见，我们仅验证第 2 与第 p 个方程的共轭性。,记 是关于模为 1 的复数 的初等对称多项式。则 根据引理 4.3, 第二个方程的共轭方程为 将两端同乘以 ，根据引理 4.4 得：,将第 p 个方程的两端同乘以 ，并颠倒次序，我们有方程： 易见这两个方程共轭， 故 ， 在单位圆上。 在关于 2p 的 p 个方程中消去 ，即得所求公式，定理的第一部分证毕。,我们来考察 2p+1 的情况。根据引理 4.2, 2p 条直线的特征常数可以通过 2p+1 条直线的特征常数表示出来。故 2p 条直线的 Clifford 点满足的方程诱导出下述 p 个方程：,关于 p-1 个变元的初等对称多项式 与 诱导出 p 个变元的初等对称多项式 原方程变为：,运用引理 4.3，与 2p 的情况类似可验，方程组中的第 i+1 个方程与第 p-i+1 个方程是共轭的， t 在单位圆上。 在关于 2p+1 的 p 个方程中消去 ，即得所求公式。定理的第二部分证毕。 Clifford 定理的正确性从数学归纳法得到。,当然，特征常数 a 需要满足一定的条件，使得直线两两相交，且没有三条直线交于一点。下面列出的第二篇参考文献就专门讨论了这个问题。 我教过多年的线性代数，从来没有想到用矩阵、行列式和对称多项式能够如此巧妙地解决这样复杂的平面几何问题。伟大的数学家高斯曾经说过：“数学中的一些美丽定理具有这样