数字信号处理西安邮电大学第一章.pptVIP

第一章 时域离散信号和时域离散系统,1.1 引言 1.2 时域离散信号 1.3 时域离散系统 1.4 时域离散系统的输入输出描述法线性常系数差分方程 1.5 模拟信号数字处理方法,1.2 时域离散信号序列,一、序列 时域离散信号又称离散时间信号，它既可以是实数也可以是复数。离散时间信号是整数值变量n的函数，表示为x(n)。因为离散时间信号x(n)对于非整数值n是没有定义的，所以一个实值离散时间信号序列可以用图形来描述，如图1-1所示。,图 1-1 离散时间信号x(n)的图形表示,离散时间信号常常可以由对模拟信号(如语音信号)进行等间隔采样而得到。例如，对于一个连续时间信号xa(t)，以每秒fs=1/T个采样的速率采样而产生采样信号，它与xa(t)的关系如下：,然而，并不是所有的离散时间信号都是这样获得的。一些信号可以认为是自然产生的离散时间序列，如每日股票市场价格、 人口统计数和仓库存量等。,二、 几种常用序列 1 单位脉冲序列(n),这个序列只在n=0 处有一个单位值1，其余点上皆为0， 因此也称为“单位采样序列”。单位采样序列如图1-2所示。,(1-1),图 1-2 (n)序列,这是最常用、最重要的一种序列，它在离散时间系统中的作用，很类似于连续时间系统中的单位冲激函数(t)。但是， 在连续时间系统中，(t)是 t=0 点脉宽趋于零，幅值趋于无限大，面积为1的信号，是极限概念的信号， 并非任何现实的信号。而离散时间系统中的(n)，却完全是一个现实的序列， 它的脉冲幅度是1， 是一个有限值。 ,2 单位阶跃序列u(n),如图 1-3 所示。它很类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数u(t)。,(1-2),图 1-3 u(n)序列,(n)和u(n)间的关系为,这就是u(n)的后向差分。 而,令n-m=k，代入此式可得,这里就用到了累加的概念。,(1-3),(1-4),(1-5),3矩形序列RN(n),(1-6),矩形序列RN(n)如图1-4所示。,图 1-4 RN(n)序列,RN(n)和(n)、u(n)的关系为:,(1-7),(1-8),4实指数序列,式中，a为实数。当|a|1时，序列是发散的。a为负数时，序列是摆动的，如图1-5所示。,图 1-5 指数序列 (a) |a|1; (c) a=-|a|,5 正弦型序列 x(n)=A sin(n0+) (1-10) 式中: A为幅度; 为起始相位; 0为数字域的频率，它反映了序列变化的速率。 0=0.1时, x(n)序列如图1-6所示，该序列值每20个重复一次循环。,图 1-6 正弦序列(0=0.1),6 复指数序列（复正弦序列） 序列值为复数的序列称为复数序列。 复数序列的每个值具有实部和虚部两部分。 复指数序列是最常用的一种复序列：,(1-11a),或,(1-11b),式中，0是复正弦的数字域频率。,对第二种表示，序列的实部、虚部分别为,如果用极坐标表示，则,因此有：,三 、序列的周期性 如果对所有n，存在一个最小的正整数N，满足,(1-12),则称序列x(n)是周期性序列，周期为N。,现在讨论上述正弦序列的周期性。 由于,则,若N0=2k, 当k为正整数时，则,这时的正弦序列就是周期性序列，其周期满足N=2k/0（N，k必须为整数）。可分几种情况讨论如下。 （1） 当2/0为正整数时，周期为2/0。 （2） 当2/0不是整数，而是一个有理数时（有理数可表示成分数），设,其中，P,Q为互素的整数，取k=Q,则N=P。,（3）当2/0是无理数时，则任何k皆不能使N取正整数。 这时，正弦序列不是周期性的。 这和连续信号是不一样的。 同样，指数为纯虚数的复指数序列 的周期性与正弦序列的情况相同。 ,四、 用单位采样序列来表示任意序列 用单位采样序列来表示任意序列对分析线性时不变系统（下面即将讨论）是很有用的。 设x(n)是一个任意序列，则x(n)可以表示成单位采样序列的移位加权和，即,其中，,这种任意序列的表示方法，在信号分析中是一个很有用的公式。例如：x(n)的波形如图1-7所示，可以表示成： x(n)=-2(n+2)+0.5(n+1)+2(n)+(n-1)+1.5(n-2)- (n-4)+2(n-5)+(n-6),图1-7 用单位采样序列移位加权和表示序列,五、 序列的能量 序列x(n)的能量E定义为序列各采样样本的平方和， 即,六、 数字频率与模拟角频率之间的关系,如果正弦序列 是由模拟正弦信号 采样得到的，即,因此有：,上式说明：数字频率是模拟角频率关于采样频率的归一化频率。,数字频率，单位是弧度，rad,模拟角频率，单位是弧度每秒，rad/s,模拟频率，单位是赫兹，Hz或者1/s,七、 序列的运算,1.乘法和加法 序列之间的乘法和加法，是指它们的相同序号的序列值逐项对应相乘和相加，如右图所示。,2. 移位、翻转及尺度变换 设序列x(n)，其移位序列为x(n-m)； 当m 0时，称为x(n)的延时(右移）序列； 当m 0时，称为x(n)的超前(左移）序列。 x(-n)则是x(n)的翻转序列（关于纵轴翻转）。 x(mn)是x(n)序列每m（m1）个点取一点形成的（序列的抽取）。如当m=2时，x(2n)是x(n)每两个点取一个点。 x(n/m) （m1）是将序列x(n)相邻两个点之间插m-1个零（序列的插值）。如当m=2时，x(n/2)是x(n)相邻两个点之间插一个零。,1.3 时域离散系统,设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算，系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T表示，输出与输入之间关系用下式表示： y(n)=Tx(n) 其框图如下图所示。,1.3.1 线性系统 满足线性叠加原理的系统称为线性系统。设x1(n)和x2(n)分别作为系统的输入序列，其输出分别用y1(n)和y2(n)表示，即 y1(n)=Tx1(n)，y2(n)=Tx2(n) 那么线性系统一定满足下面两个公式： T x1(n)+x2(n) = y1(n)+y2(n) （可加性） Ta x1(n)=a y1(n) （齐次性）,例1.3.1 证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。 证明 ： y1(n)=Tx1(n)=ax1(n)+b y2(n)=Tx2(n)=ax2(n)+b y(n)=Tx1(n)+x2(n)=ax1(n)+ax2(n)+b y(n)y1(n)+y2(n) 因此，该系统不是线性系统。 用同样方法可以证明 所代表的系统是线性系统。 ,1.3.2 时不变系统 如果系统对输入信号的运算关系T在整个运算过程中不随时间变化，或者说系统对于输入信号的响应与信号加于系统的时间无关，则这种系统称为时不变系统，用公式表示如下： y(n)=Tx(n) y(n-n0)=Tx(n-n0),例1.3.2 检查y(n)=ax(n)+b代表的系统是否是时不变系统，a和b是常数。 解 ： y(n)=ax(n)+b y(n-n0)=ax(n- n0)+b y(n- n0)=Tx(n- n0) 因此该系统是时不变系统。,例1.3.3 检查y(n)=nx(n)所代表的系统是否是时不变系统。 解 ： y(n)=nx(n) y(n-n0)=(n- n0)x(n- n0) Tx(n- n0)=nx(n- n0) y(n- n0)Tx(n- n0) 因此该系统是时变系统。 同样方法可以证明 所代表的系统也是时变系统。 思考：y(n)=x(2n)所代表的系统是否是时不变系统？还有y(n)=x(-n)呢？,1.3.3 线性时不变系统输入与输出之间的关系 一、单位取样响应（单位脉冲响应）h(n) 设系统的输入x(n)=(n)，系统的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于(n)的零状态响应。用公式表示为 h(n)=T(n) h(n)和模拟系统中的h(t)单位冲激响应相类似，都代表系统的时域特征。,二、线性时不变系统输入输出之间的关系,三、卷积和的计算 1、解析法 2、图解法 3、列表法（适用于有限长序列）,卷积中主要运算是翻转、移位、相乘和相加，这类卷积称为序列的线性卷积（卷积和）。设两序列的长度分别是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。,四、卷积和的性质 线性卷积服从交换律、结合律和分配律： x(n)*h(n)=h(n)*x(n) x(n)*h1(n)*h2(n)=x(n)*h1(n)*h2(n) x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n) 任意序列和单位采样序列的卷积：,1.3.4系统的因果性和稳定性 一、因果性 如果系统n时刻的输出，只取决于n时刻以及n时刻以前的输入序列，而和n时刻以后的输入序列无关，则称该系统具有因果性质，或称该系统为因果系统。 线性时不变系统具有因果性的充分必要条件是系统的单位取样响应满足下式： h(n)=0， n0 思考：系统 y(n)=x(n)+x(n+1) 的因果性？,二、稳定性 所谓稳定系统，是指系统输入有界，系统输出也是有界的。 线性时不变系统稳定的充分必要条件是系统的单位取样响应绝对可和，用公式表示为,例：设线性时不变系统的单位取样响应 ，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。,1.4 线性常系数差分方程 一个N阶线性常系数差分方程用下式表示：,或者,线性常系数差分方程的求解 已知系统的输入序列，通过求解差分方程可以求出输出序列。求解差分方程的基本方法有以下三种： (1)经典解法。 (2)递推解法。 (3)变换域方法。,1.5 模拟信号数字处理方法,在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如下图所示。图中的预滤与平滑所起的作用在后面介绍。本节主要介绍采样定理和采样恢复。,图1.5.1 模拟信号数字处理框图,一 、采样定理 对模拟信号进行采样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为T，在电子开关输出端得到其采样信号 。,上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率s重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以s为周期，进行周期性延拓而成的。 设xa(t)是带限信号，最高截止频率为c，其频谱Xa(j)如下页图所示。,称为折叠频率。它如同一面镜子，当信号频谱超过它时，就会被折叠回来，造成频谱的混叠。,采样定理：,(1)对连续信号进行等间隔采样形成采样信号，采样信号的频谱是原连续信号的频谱以采样频率为周期进行周期性的延拓形成的。 (2)设连续信号xa(t)属带限信号，最高截止频率为c，如果采样角频率s2c，那么让采样信号通过一个增益为T，截止频率为s/2的理想低通滤波器，可以唯一地恢复出原连续信号xa(t)。否则s2c会造成采样信号中的频谱混叠现象，不可能无失真地恢复原连续信号。 或者 简单描述为： 带限信号可以进行时域采样，采样后导致频谱周期化，只要频谱不发生混叠，就可以无失真地恢复原信号。,一般称fs为频率，单位为赫兹(Hz)，s为角频率，单位为弧度/秒; 习惯上都统称为“频率”。 它们的区别由符号f及来识别。,二、采样的恢复 如果理想采样满足奈奎斯特定理，即模拟信号谱的最高频率小于折叠频率,则采样后不会产生频谱混叠，由式（1.5.5）知,故将 通过一个理想低通滤波器，这个理想低通滤波器应该只让基带频谱通过，因而其带宽应该等于折叠频率，它的特性如下页图所示。,下面从时域的角度研究采样的恢复过程。设理想低通滤波器的单位冲激响应为 ：,内插函数：,理想低通滤波器的输出为：,因此，,内插公式：,波形如图所示，其特点为：在采样点nT上，函数值为1; 其余采样点上，函数值都为零。,上式称为采样内插公式，即信号的采样值xa(nT)经此公式而得到连续信号xa(t)。 也就是说，xa(t)等于各xa(nT)乘上对应的内插函数的总和。在每一采样点上，只有该点所对应的内插函数不