概率论与数理统计4-1.ppt

解 由题意可得,则 ,时,时,所以,第四章,随机变量的数字特征,一、数学期望,二、方差,三、协方差及相关系数,四、矩、协方差矩阵,在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量 X 的概率分布，那么 X的全部概率特征也就知道了.,然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的. 而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了.,随机变量的数字特征（即用数字表示随机变量的,分布特点），,在理论上和应用上都是有重要意义的。,本章介绍随机变量常用的数字特征：,数学期望、方差、协方差和相关系数,数学期望,第四章,第一节,二、随机变量函数的数学期望,一 、数学期望的概念,三、数学期望的性质,四、几种重要分布的数学期望,一、数学期望的概念,对于随机变量来说，,有时不仅要知道它的概率分布，,还希望知道随机变量取值的“平均”大小。,起源：,法国数学家帕斯卡（Pascal，16231662）,法国数学家费马（ Fermat，16011665）,法国军人德.梅勒（De Mere，16071684）,帕斯卡,德.梅勒,约定先赢5局，获全部赌金,A：4,B：3,费马,假设再赌一局,A赢获全赌金：1,A输获赌金： 1/2,A最后获赌金：1/21+1/21/2=3/4,B最后获赌金：1/20+1/21/2=1/4,期望（提前分钱）,我们来看一个引例.,引例1 某车间对工人的生产情况进行考察. 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量. 如何定义X的平均值呢？,我们先观察小张100天的生产情况,（假定小张每天至多出现三件废品 ）,1、离散型随机变量的数学期望,可以得到这100天中 每天的平均废品数为,这个数能否作为 X的平均值呢？,若统计100天,32天没有出废品; 30天每天出一件废品; 17天每天出两件废品; 21天每天出三件废品;,可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是1.27.,n0天没有出废品; n1天每天出一件废品; n2天每天出两件废品; n3天每天出三件废品.,可以得到n天中每天的平均废品数为,(假定小张每天至多出三件废品),一般来说, 若统计n天 ,这是 以频率为权的加权平均,当n很大时，频率接近于概率，所以我们在求废品数X 的平均值时，用概率代替 频率，得平均值为,这是 以概率为权的加权平均,这样得到一个确定的数.我们就用这个数作为随机变量X 的平均值 .,注：离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的,若级数,绝对收敛 。,设离散型随机变量X 的分布律为,简称期望或均值，记为 E(X).,则称此级数的和为X 的数学期望。,即,级数的和.,数学期望是随机变量的平均值，,其与 X 取,值 x k 的顺序无关（唯一性），所以要求级数绝对收敛。,定义1,定理：绝对收敛级数经改变项的位置后构成的级数也收敛，且与原级数有相同的和（即绝对收敛级数具有可交换性）.,解 设试开次数为X ,于是,例2,甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出,试问哪个人的射击水平较高？,解 甲乙的平均环数可求得：,因此，从平均环数上看，甲的射击水平要比乙的好。,X：甲击中的环数,Y：乙击中的环数,期望值在决策中有着广泛的应用,假如，有一家个体户，有资金一笔，如经营西瓜，风险大但利润高(成功的概率为0.7，获利2000元)； 如经营工艺品，风险小但获利少(95会赚，但利润为1000元)究竟该如何决策？,所以权衡下来，情愿“搏一记”，去经营西瓜，因它的期望值高,计算期望值：,若经营西瓜，期望值 E1=0.72000=1400元,而经营工艺品期望值 E20.951000950元,再如:考试中经常碰到选择题，选对3分，错了扣一分 没有任何线索的情况下，能不能碰碰运气,计算得分的期望值,蒙对答案的概率0.25,此种情况下，蒙不蒙效果都一样,关于期望值的理解:,1、随机现象大量次试验的平均值,2、期望值的计算公式为各种可能取值的加权平均,2、连续型随机变量的数学期望,设X是连续型随机变量，其密度函数为f (x),在数轴上取很密的分点x0 x1x2 ,则X落在小区间xi, xi+1)的概率是,小区间xi, xi+1),阴影面积近似为,由于xi与xi+1很接近, 所以区间xi, xi+1)中的值可以用xi来近似代替.,这正是,的渐近和式.,该离散型r.v 的数学期望是,由此启发我们引进如下定义.,定义2 设X是连续型随机变量，其密度函数为 f (x),如果积分,绝对收敛,则称此积分值为X的数学期望, 即,请注意 : 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分.,例3,已知某电子元件的寿命 X 服从参数为,的指数分布(单位：小时）。,求这类电子元件的平均寿命E ( X )。,解,小时。,由定义可得,二、随机变量函数的数学期望,1. 问题的提出：,设已知随机变量X的分布，我们需要计算的不是X的期望，而是X的某个函数的期望，比如说g(X)的期望. 那么应该如何计算呢？,一种方法是，因为g(X)也是随机变量，故应有概率分布，它的分布可以由已知的X的分布求出来. 一旦我们知道了g(X)的分布，就可以按照期望的定义把Eg(X)计算出来.,那么是否可以不先求g(X)的分布而只根据X的分布求得Eg(X)呢？,下面的定理指出，答案是肯定的.,使用这种方法必须先求出随机变量函数g(X)的分布，一般是比较复杂的 .,解,已知X 的分布律为,求 及 的数学期望。,例4,同理,(1) 当X为离散型时,它的分布率为P(X= xk)=pk ;,(2) 当X为连续型时,它的密度函数为f(x).若,定理 设Y是随机变量X的函数:Y=g (X) (g是连续函数),该公式的重要性在于: 当我们求Eg(X)时, 不必知道g(X)的分布，而只需知道X的分布就可以了. 这给求随机变量函数的期望带来很大方便.,设X 服从 N (0，1) 分布，求E (X2), E (X3), E (X4),例5,解,解,某公司按季度销售某商品的量X 服从,例7（最佳决策）,2000，4000上的均匀分布，销售1公斤获利3元，屯仓,1公斤亏损1元，为获利最大，该公司应进货多少公斤？,解 设 S 为进货量，则,，获得利润为,由题意可得,则平均利润为,求 S 使E( Y )最大,可得,（公斤）,上述定理还可以推广到两个或两个以上随 机变量的函数的情况。,解,解,同理,一般来说， ,那么何时相等？ 看下面数学期望性质,1. 设C 是常数，则E(C )=C ;,2. 若C 是常数，则E(CX )=CE(X );,3.,三、数学期望的性质,证明: 设,4. 设X、Y 独立，则 E(XY )=E(X )E(Y );,证明: 设,由独立性,（当Xi 独立时）,注意:由E(XY )=E(X )E(Y )不一定能推出X,Y 独立,5.（柯西-施瓦尔兹不等式）,四、几种重要分布的数学期望,. X为离散型随机变量,（01）分布, 泊松分布, 二项分布,则X 表示n 重伯努利试验中A发生的次数.,现在我们来求X 的数学期望 。,若设,则,其中,即,，则,所以,结论：任何一个服从二项分布的随机变量 X 都可表示,n 个服从（01）分布的独立的随机变量,相加的,. X为连续型随机变量, 均匀分布,形式：,则, 指数分布,则,分部积 分法, 正态分布,解 由随机变量的性质可知,解 设,则,注: