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2.4 平面向量的数量积 2.4.1 平面向量数量积的物理背景及其含义,我们学过功的概念，即一个物体在力 的作用下产生 位移 ，,力 所做的功W应当怎样计算？,W=| | |cos 其中是 与 的夹角.,功是一个标量，是一个数量，它由力和位移两个向量来确定.这给我们一种启示，能否把“功”看成这两个向量的一种运算的结果呢？,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念.,注意：向量的数量积是一个数量.,已知两个非零向量 与 ，我们把数量 叫做 与 的数量积（或内积）. 记作 其中是 的夹角.,规定:零向量与任一向量的数量积为0.,数量积的定义,思考1:向量的数量积是一个数量，那么它什么时候为正，什么时候为负？,当 时，它为负值,当 时，它为0；,当 时，它为正值；,B,B1,O,A,叫做向量 在 方向上（向量 在 方向上）的投影.,投影的概念,数量积 等于 的长度 与 在 的方向 上的投影 的乘积.,还有其他说法吗？,向量 与 的数量积等于 的长度 与 在 的方向上的投影 的乘积.,数量积的几何意义,练习：,1若a =0，则对任一向量b ，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0,3若a 0，a b =0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b= b c，则a=c,6若a b = a c ,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,思考2:由向量数量积的定义，你能否得到下面的结论？,向量数量积的性质,思考3:回顾实数运算中有关的运算律，你能推导向量数量积的下列运算律吗？,O,N,M,设向量 在 上的投影分别是OM，MN，ON,思考4:下列两个运算律成立吗？,向量数量积的运算律,例2.我们知道，对任意a，bR，恒有(a+b)2= a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量 是否也有下面类似的结论？,求,2.在ABC中，,1.向量的夹角,2.向量的投影,3.向
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