变分迭代法求解恒定电场中一维线性谐振子

毕业设计（论文） 毕 业 设 计（论文） 专 业 应用物理专业 变分迭代法求解恒定电场中一维线性谐振子Variational iteration method for solving one-dimensional linear harmonic oscillator in a constant electric field 摘 要在现今的量子力学中，一维线性谐振子可谓是一个相当典型且重要的系统。其最早是由德国的物理学家普朗克提出，他用简谐振子成功地解释了热能的辐射与吸收。很多人认为简谐振子是一种很简单的运动模型，但是许多复杂运动模型都是以谐振子的运动为基础的，它在很多领域都有广泛的应用。因此，研究线性谐振子具有重要意义。本文通过变分迭代法1求解恒定电场中一维线性谐振子Schrodinger方程，确定本征能量及本征函数的近似解，并对结果进行分析，为解高次幂薛定谔方程的解析解提供新方法。 关键词：变分迭代法；一维线性谐振子；薛定谔方程 AbstractIn todays quantum mechanics, one-dimensional linear harmonic oscillator can be described as a fairly typical and important systems. It was first proposed by the German physicist Max Planck, he used simple harmonic oscillator to explain the success of radiation and absorption of heat. Many people think that harmonic oscillator is a very simple model, but many complex models are based on a harmonic oscillator. It is widely used in many fields, therefore, the study of the linear harmonic oscillator is significant. In this paper, the variational iteration method is used to solve the one-dimensional linear harmonic oscillator in a constant electric field to determine the intrinsic energy and approximate eigenfunction solution, and the results were analyzed,providing a new method for the solution of the higher powers of the Schrdinger equation .Keywords: variational iteration method; one-dimensional linear harmonic oscillator; Schrdinger equation目 录第一章 绪论11.1引言11.2课题背景21.2.1国外发展21.2.2国内发展31.3论文研究的目的与意义41.4论文主要内容4第二章 理论基础52.1 泛函和变分52.1.1引言52.1.2 泛函72.1.3 自变函数的变分82.1.4 泛函的变分92.1.5 泛函变分的性质112.1.6 各种泛函的变分122.2 迭代法142.2.1 迭代法与不动点定理142.2.2 迭代格式的构造162.2.3 迭代法的收敛性与收敛阶17第三章 恒定电场中一维线性谐振子20结 论26致 谢27参考文献28附 录30V第一章 绪论1.1引言在自然界中有很多现象与简谐振动有关，任何系统在某个平衡位置附近的小振动，例如晶格振动、分子振动、辐射场的振动以及原子核表面振动等一般都是能分解成若干个相互独立的一维简谐振动。简谐振动往往还可以作为一些复杂运动的初步近似，所以对简谐振动的研究，无论在单纯的理论上还是在某些应用上都是很重要的。 举一个很简单的例子，在双原子分子中，两个原子之间的势V是关于二者相对距离x的函数。如图(1-1)，当x = a时，V 取到一极小值V0 。我们可以把x = a 附近的势展开成泰勒级数： 图1-1 势V与距离x的函数图像 然后把坐标原点换成(a, V0)，我们就可以得到标准谐振子势： 由此可见，在某些相当复杂的势场下，粒子的运动通常被近似的描述为线性谐振动。 经典力学中，一维谐振子的哈密顿2为 上式用相应算符代入，得 它是一维谐振子的哈密顿算符，是能量算符。而本文讨论的恒定电场中，其体系的哈密顿算符为 可以设,带入本征值方程,可得体系的薛定谔方程3 本论文的主要内容就是通过变分迭代法4解上式的薛定谔方程。1.2课题背景1.2.1国外发展 变分迭代法在国外有很多研究及应用。通过查阅资料得知的研究如下：1982年，J.S.Pang、 D.Chan（工业管理研究生院，卡内基梅隆大学）研究了求解变分不等式和非线性互补问题的各种迭代法，这种方法具有局部收敛性和全局收敛性5。其中包括的方法有牛顿和几个连续超松弛算法。其中重点研究的是线性近似方法系列。1985年，Jong-Shi Pang（管理学院，德克萨斯大学）研究了非对称变分不等式问题在产品组合：应用及迭代方法6。其中描述了几个平衡问题可以统一建模的一个有限维的非对称变分不等式定义，并探讨求解变分不等式问题的各种迭代方法的局部收敛性和全局收敛性。由于特殊的笛卡儿乘积结构，这些迭代方法将原变分不等式问题转化为在较低维度的一系列简单的变分不等式问题。2001年，M.A. Noor发表了关于广义变分不等式的迭代方法的论文7。2008年，Muhammad Aslam Noor, Khalida Inayat Noor（巴基斯坦信息技术学院）研究了关于在 L p 空间包含三步迭代方法的一般变分8。其中，广义变分包含了不动点的问题。可以使用这种等价性讨论在L p空间变分包含的存在。采用更新的技术解决方案，我们提出了一些解决一般变分的方法，包含三步迭代方法。2009年，Malik Mamode（物理系，建筑物理与系统实验室，留尼旺岛，法国大学）发表了变分迭代法和初始值问题的文章9。他提出了拉格朗日乘数的分布特征，这可以被解释为缓速格林函数。这种提法使可能的迭代公式为Picard迭代方案进行简化，有利于收敛性分析。2011年，Muhammad Aslam Noor（数学系，信息技术，公园路，伊斯兰堡，巴基斯坦COMSATS研究所）发表了对于一般的非凸变分不等式的一类迭代方法的论文10。在本文中，他提出三步迭代方法，并成功解决了广义非凸变分不等式。2014年，I. B. Badriev, V. V. Banderov（喀山（伏尔加地区）联邦大学）发表了关于为解决软壳理论的变分不等式的迭代方法的论文11。其是对在巴拿赫空间中单调型算子的变分不等式问题的迭代法的收敛性研究。1.2.2国内发展 国内对变分迭代法的研究也有很多。例如：2004年，谢长珍（汕头大学）将变分迭代法运用到求解微扰问题12。之前都是用微扰法解微扰问题，这种方法本身有很大的局限性。本文把变分法和迭代法相结合,成功解决了微扰法所不能解决的问题。2005年，莫嘉琪和林万涛（安徽师范大学）在物理学报上发表了关于厄尔尼诺大气物理机理的变分迭代解法的论文。他们利用变分迭代法解得到了近似展开式。并通过与特殊情形下所得精确解的比较 ,证明了一次近似解在精确度上是完全符合的。2011年，徐宇锋（中南大学）将变分迭代法运用到求解分数阶自治常微分方程中13。 他将变分迭代法应用到解该方程组的初值问题,并求出极限形式的解。2013年，魏博关（哈尔滨工业大学）发表了解变分不等式问题的一种迭代方法得论文。他提出了广义的邻近算子的一些性质，提出了一个迭代法近似解一类广义变分不等式和显示一致凸、光滑巴拿赫空间中的收敛性。1.3论文研究的目的与意义从变分迭代法解非线性偏微分方程中，寻求解恒定电场中一维线性谐振子的新方法，及寻求解高次幂薛定谔方程的解析解的新方法。一维线性谐振子在很多领域都有广泛的应用。变分迭代法能为这些领域的研究提供新的理论支撑，并推动其发展。1.4论文主要内容本论文主要研究内容：利用变分迭代法求解恒定电场中一维线性谐振子，确定本征能量及本征函数的近似解。第二章 理论基础2.1 泛函和变分2.1.1引言在微积分中的函数极值问题: 一个光滑的连续函数，在区域内所有点都能Taylor展开 (2-1)函数在某一点有极值的必要条件是例2.1 一个简单的变分问题: 最短线问题图2-1最短线问题假设经过两点距离最短的曲线方程为 (2-2)另有一任意的连续可导函数，满足两端固定的边界条件 (2-3)显然依旧是过固定两点的连续曲线，其对应的长度为 (2-4)当,时取到极小值，也就是说 (2-5)把(2-4)代入(2-5), 展开后有 (2-6)由于(2-6) 对于任意的都成立，根据变分引理, 我们可以得到 (2-7)意味着 (2-8)因此, 在平面上过固定两点距离最近的光滑曲线是直线。下面我们来看几类比较典型的变分问题。例2.2 最速降线问题 图2-2最速降线问题我们在该铅直平面上取一直角坐标系，以A为坐标原点，水平为轴，向下为轴。曲线的方程为， A点坐标, B点坐标。曲线上任意一点P时的速度为 (2-9) (2-10)因此，重物沿该曲线从A点滑到B点所需要的总时间为 (2-11)我们也称之为泛函。该曲线参数形式为 (2-12) 2.1.2 泛函定义1.1 记是给定的函数集合，如果对于该集合中的任何一个函数，都有一个实数与之相对应，我们记为或者。那么就是定义在函数集合上的一个泛函。简单地讲，泛函就是以函数集合为定义域的实值映射。它的定义域就是泛函中的函数集合。如例1.2中的泛函(2-11)，其定义域为这还可以推广到多元函数的泛函。举两个例子：如果是连续函数的集合，那么可定义一个泛函 如果是区间上的一阶连续可微函数对的集合，那么可定义一个泛函 线性泛函 对于泛函， 如果在定义域中任意两个函数和以及任意两个实数和，始终满足那么在该定义域中，泛函就是线性泛函。2.1.3 自变函数的变分定义1.2 在同一泛函定义域上的两个函数、，若彼此任意接近，那么与之差称为函数的变分。图2-3 变分和函数的增量 函数变分的重要性质： 求变分和求导数可以交换次序 (2-13)如果自变函数是个多元函数，那么求偏导数和求变分也可以交换次序 (2-14) , (2-15) , (2-16)2.1.4 泛函的变分如果我们在某个光滑函数中的某一点处附近作泰勒展开， 那么其增量的线性部分 称为函数的一阶微分，而 称为函数的两阶微分。（是的线性函数，是的两次函数)。对于任意一个泛函, 函数变分所引起的泛函增加量为 如果可以展开为 (2-17)其中是关于的线性泛函，也就是说 (2-18)而为的两次泛函。那么，可以定义定义1.3 泛函的一阶变分为 (2-19)而泛函的两阶变分为 (2-20)我们看下面一个比较简单的泛函 将函数变分得，构造新函数， 那么对应的新泛函为 显然，泛函的变化量为 假如充分光滑， 其Tayler展开公式可以表示成其中 (2-21)为泛函的一阶变分，为泛函的两阶变分。我们通常把一阶变分称为泛函的变分。泛函变分还有一种求法任意给定的一个齐次函数，其边界上的值为零，对于一个任意小的实数，令，很明显它也在定义域内。那么还可以令为函数的变分，那么上式的第一部分就是泛函的一阶变分，而第一部分就是泛函的两阶变分。 也就是说 （2-22） 2.1.5 泛函变分的性质(1) (2) (3) (4) (5) (6) 这表明，可以用求复合函数求微分的方法来求泛函变分。下面我们来看两个例子：例1.6 已知泛函求。解这里还需要再简化，因为被积函数里面有自变函数变分的偏导数。例1.7 已知泛函求解：该式中自变函数变分的导数已通过分部积分消去了。2.1.6 各种泛函的变分(1) 最简单的泛函(2) 含高阶导数的泛函 如果, 而且满足固定的边界条件 那么 (3) 含多元自变函数的泛函 这里的最后一步还要用格林公式消去自变函数变分的导数, 其实这和一元函数的分部积分公式差不多。 一般来说，对于 上式如要求将被求导的函数看成是仅有的函数，则需要用替换，以防止混淆，譬如 (4) 含多个自变函数的泛函 2.2 迭代法2.2.1 迭代法与不动点定理设，考虑方程(2-23)若存在，使，则称为方程(2-23) 的解。用迭代法求解(2-23) ，先将(2-23)化为等价的方程(2-24)这里映象。这里我们把方程(2-24)的解(即)叫做映象g的不动点。因此通过迭代法求方程(2-23)的解，其实就是在求(2-24)中映象g的不动点。这样我们关心的问题就是g中是否存在不动点。 定理2-1 若是有边界且封闭的集合上严格的非膨胀映象，则g在中存在唯一一个不动点。证明唯一性 设g在内至少有两个不动点，则因为，所以由上式推得。即g在中只有唯一一个不动点。记，由g和泛数的连续性可知是连续的。因为是有边界且封闭的集合，故j在上有最小值。设为最小点，即则可得出是g的不动点。因为如果不是这样的话，就有，再次通过g的严格非膨胀，可得到结果与为j的最小点冲突，由此为g的不动点。 注 定理中有三个条件缺一不可：的有界闭性、g的压缩性和g映入自身。我们可以举个反例：在上是严格非膨胀的，可是它在中是没有不动点的。下面我们介绍在应用上非常广泛的不动点定理。定理2-2 (Brouwer不动点定理) 设在有边界且封闭的凸集上是连续的，且，则g在至少存在一个不动点。xybaab图2-4 一维Brouwer定理 该定理在一维情形下表述为： ，则f在中至少存在一个不动点。几何解释见图2-4。2.2.2 迭代格式的构造 通过上一节我们了解到，运用迭代法解方程(2-23)，就是先将这个方程写成与之相等价的方程(2-24)，然后通过等价方程求映象g的不动点，通常(也是最简单的情形)可以写出如下的迭代序列：,(2-25)这里我们需要上面的迭代序列是收敛到不动点，也就是方程的解。假设g是可压缩的，迭代序列就有可能是收敛的。图2-5就是一种一维迭代收敛时的形式。xx0x2x1yy = g(x)图2-5 迭代序列收敛 对于(2-25)的迭代方式，g能有很多种表示形式。这里需要说明一下，g或许只依赖于f和。假如g不依赖于迭代次数k，g仅仅依赖于，我们就称迭代(2-25)是单步定常迭代。假如g还是依赖于迭代次数k时，那么迭代形式可以表示为,(2-26)那就是单步非定常迭代。有的时候新的近似不仅仅依赖，还依赖于前几次迭代得到的信息。这时，迭代就被称为多步迭代。例如，要得出必须依赖于那么迭代可写为(2-27)我们把这种迭代叫做m步迭代。与之相类似地还有m步非定常迭代。一般g被称之为迭代函数。通过不同的方法构造的迭代函数最后得到的结果也是不同的。设，如果通过迭代法可以得到一个序列，那么就称该序列是适定的。对于一个迭代法，起码要求就是其适定性。若是方程(2-23)的解，且序列满足 (2-28)则称迭代序列收敛于。 定义2-1 设，是方程的其中一个解。如果有的一个邻域，并且对所有初始值(在m步迭代法中，初值为 )，一般都是适定的，而且它还收敛于，那么我们就把称之为迭代序列的吸引点。2.2.3 迭代法的收敛性与收敛阶定理2-4 假设是方程中的解，。若存在一个开球S = 和常数，使得对一切，有(2-29)那么对于任意，都是迭代序列(2-25)的一个吸引点。 定理2-5 (Ostrowski) 设映象有一不动点，且在处F-可导，的谱半径(即特征值的最大模)(2-30)则存在开球，对所有初始值，是迭代序列的一个吸引点。 我们可以看出定理2-4与2-5都表明通过迭代法解得的结果在相对小的邻域中收敛，这种收敛被称之为局部收敛。换句话讲只有知道方程(2-23)是有解的时候才讨论的。假如我们并在不知道方程(2-23)是否有解，那么必须通过迭代初始近似符合的条件才能得到迭代序列收敛到方程的解，那么该迭代法就具有半局部收敛性。不管是局部收敛性还是半局部收敛性，他们的初始近似值都必须与解充分接近，这在实际计算中是很不方便的。假设有某个迭代法，它将域D中任一点看成近似，而且迭代序列都是可以收敛到所求方程的解，我们就把这种收敛称之为大范围收敛。定理2-6设这里，()为常数，映象存在一阶连续偏导数，。如果存在常数满足(2-31)上面是的第i个分量函数，(2-25)对于所有初始近似都是收敛于g的不动点，且有定义2-2 可以假设迭代序列收敛到，如有及常数,使当时，有(2-32)那么序列至少p阶收敛。当且时，那么该序列至少线性收敛。特例,当且是，称序列至少平方收敛。第三章 恒定电场中一维线性谐振子在恒定电场中，体系的哈密顿算符为 可以设,带入本征值方程,可得体系的薛定谔方程 为了计算的简便，我们可以设，化简如下 也可以写成一个等价微分方程 (3-1)通过变分法构造其校正泛函 (3-2)其中是拉格朗日乘数，代表限制变分，也就是。然后有 得到驻值条件： 解此方程可求得拉式乘子 将其代入公式（3-2），可以得到以下迭代公式 根据方程（3-1），我们可以选取初始近似解，其中A和B是被确定的常数。施加边界条件就可以得到K阶迭代。例如，一阶 （3-3）这里我们施加一个边界条件，即函数y1在和时满足，得到 将和代入上式（3-3），由于式子比较复杂，我们可以如下表述 （3-4）因为A和B不能同时为0，即式（3-4）有非零解。这里可以构造一个矩阵 （3-5）当矩阵（3-5）的值为零时，方程（3-4）有非零解，则 解该矩阵 （3-6）由于该方程相对复杂，我们要借助MATLAB做运算。在MATLAB中，固定一个的值，该方程并不能求出关于的解析解。所以只能固定的值，任取，求出的数值解。通过附录（1）中的程序，得到的结果如下表3-1 的数值解112.531364540997211359624837593493422.478325846427475352502184114196432.397059548815345132367386160260642.2956450023299254631716363727545210.8939386753871964648598279058590320.4700248593272592268914167084796330.2852222851432998678273261302610540.188043407376136829907943640505718.739151468185521409534950045675320.1866013066500763561644670352771130.05015914861463716422283005631106740.025196804135592909554086203848251由方程（3-4），我们可以得到如果确定的值，我们可以通过MATLAB算出的值。通过附件（2）中的程序得到的结果如下表3-2 B与A的比值B:A112.53136454099721135962483759349340.217322.47832584642747535250218411419640.431432.39705954881534513236738616026060.639842.29564500232992546317163637275450.8412210.893938675387196464859827905859030.450320.470024859327259226891416708479630.819930.285222285143299867827326130261051.181340.18804340737613682990794364050571.542418.73915146818552140953495004567530.105720.186601306650076356164467035277110.557430.0501591486146371642228300563110670.839740.0251968041355929095540862038482511.1203 得到A与B的比值后，可以令A=1(因为刚开始的时候A与B的值就是任取的），那么方程（3-3）就可以同时消去A和B。将表2中的各个值代入方程（3-3），便可以得到一阶本征函数的数值解，其解是近似解。 可以通过继续迭代得到较高精度的近似解。 对于本征能量的计算，将该体系的哈密顿算符带入本征值方程得 可改写成 令，整理得 把上式与理想中一维线性谐振子的定态薛定谔方程比较，可得 所有该体系的本征能量为 （3-7）接下来我们验算一下结果。由可知，与E成正比关系。再将与式（3-7）相结合，可以得到与E的大概关系 其中C与D均可看作常数，那么与的大概关系也可以得到 （3-8）c与d也看作常数。通过表1中的计算结果，我们取，然后将与的值用MATLAB拟合做图，如下图（3-1）图（3-1） 与的关系曲线由图可以看出与的关系基本满足式（3-8）。以上计算结果可以看出变分迭代法的一些优点。比如应用广义泛函限制变分的概念，我们可以很容易地求出拉氏乘子的近似解。还有在初始近似解的选择上有很大自由，可以含有任意常数。并且通过初始近似解很快就能得到本征函数的一阶近似解，继续迭代便能得到较高精度的近似解。结 论 本文主要是利用变分迭代法求解恒定电场中一维线性谐振子,确定本征能量及本征函数的近似解。通过本文的计算，我们可以发现变分迭代法的很多优点。比如可以很容易地通过限制变分求出拉氏乘子的近似解、构造初始近似解和得到本征函数的一阶近似解。但是在继续迭代求较高精度的本征函数近似解时，计算会比较复杂。致 谢几个月的研究与努力，毕业设计终于成功完成了。此时此刻，自己感觉这段时间是那么充实，感受到了满满的成就感。在这里，首先我要向我的导师周青春老师表示衷心的感谢。毕业设计论文是在周青春老师的悉心指导下完成的，从确定课题题目开始到论文的撰写完成，期间，我遇到过许许多多的困难与难题，周青春老师一直给予我信心和帮助。每次和周青春老师的探讨和交流，我都能得到启发。他渊博的知识积累，严谨的治学态度，朴实无华的生活作风，一丝不苟的工作精神，平易近人的待人之道深深的感染了我，这些都是值得我终生去学习和追求的。然后，在这次毕业设计中，我还要感谢我的几个同学，还有一位学长的关心和帮助。最后深深感谢我的家人对我的支持和理解，你们的爱让我永远充满动力。我一定不会辜负你们对我的期望。我相信带着这次毕业设计所收获的宝贵财富，在未来的学习和生活道路上，我定会迎难而上，向着目标进发。参考文献1. 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