离散型随机变量的均值.ppt

,2.3.1离散型随机变量的均值,1、离散型随机变量的分布列指出了什么？,一、朝花夕拾,2、离散型随机变量分布列能否反映随机变量取值的平均水平？,随机变量的分布列从概率的角度指出了随机变量的分布规律，但不能明显反映随机变量取值的平均水平.,某商场要将单价分别为18元/kg，24元/kg，36元/kg的三种糖果按3:2:1的比例，混合销售.,二、引例,(1)设从中任取一颗糖果，其单价为元/kg，试写出的分布列；,18,24,36,(2)如何对混合糖果定价才合理?,(加权平均),E,三、离散型随机变量的期望,一般地，若离散型随机变量的概率分布为,则称 E,，简称为期望,离散型随机变量的均值，它反映了随机变量取值的平均水平，,x1p1x2p2xnpn,为随机变量的均值或数学期望,在多次重复试验中，我们可以期望随机变量的平均值，在这个值附近。,思考：P64 练习 1,例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚球1次的得分的期望 .,因为P(0)0.3，P(1)0.7，,所以 E0P( 0)1P(1), 00.3 10.70.7,解：,的可能取值有,0, 1.,罚球一次的得分的分布列如下：,列出分布列,根据公式求解,点评: 解题步骤,设罚球1次的得分为，,(1) 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分的期望.,课堂练习1,(2).随机抛掷一个骰子，求所得骰子点数的期望E.,(3).两台生产同一种零件的车床在每天生产中分别出现的次品数1，2的分布列是,哪台车床质量更好一些？,点评: 实际工作中，常通过比较随机变量的期望作出某种判断。,篮球远动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚球1次的得分的分布列，并求E.,若随机变量=3+2，则E=,?,2,5,E=20.3+50.7,=4.1,3E+2,0.3,0.7,四、期望的性质,E 0.7,E=,观察E与E的关系,一般的，若=a+b,则 E=aE+b.,E=p1(ax1+b)+p2(ax2+b)+pn(axn+b)+,=a(p1x1+p2x2+pnxn+)+b(p1+p2+pn+),=aE+b,猜想,特别地,a=0时,=b,则 E=0E+b=b.,即 Eb=b (b为常数).,期望的性质,(1)E(a+b)=,(2)E(b)= (b为常数),(3)E(1+2)=,aE+b,b,E1+E2,五、特殊分布的期望,服从二项分布的随机变量的期望 又是怎样的？,一次试验中，某事件发生的概率为0.2，,B(10, 0.2)，,你觉得10次试验中该事件平均发生几次？n次试验呢？,特殊分布的期望,(1)若B(n, p)，则E=,你能猜出一般二项分布的期望吗？,np,在10次试验中，该事件发生的次数,若服从二项分布，既B(n, p)，特别的，当n=1时，则服从什么分布呢？,(2)若服从两点分布，则E=,p,例1：篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，罚不中得0分，已知某运动员罚球命中概率为0.7，求他罚球1次的得分的期望 .,另解：,依题意B(1, 0.7),设罚球1次名中次，,故E=1 0.7=0.7,答：罚球1次的得分的期望为0.7,(1)罚球2次呢？,(2)若每次罚球命中得2分呢？,点评: 若判定随机变量服从特殊分布，则不必按一般步骤求期望，可按如下步骤进行：,(1)判定服从何种分布；,(2)用公式算期望；,例2 一次测验由20个选择题构成，每题有4个选项，其中有且仅有一个选项正确，每题选对得5分，不选或选错不得分，满分100分学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值,解：,设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是和，,则,B(20，0.9)，B(20，0.25)，,所以，,E200.918，,E200.255,依题意，甲、乙在这次英语测验中的成绩分别是5和5所以，他们在测验中的成绩的期望分别是,E(5),5E,518,90，,E(5)5E5525,课堂练习2,1、已知的分布列为,且设=2+3，则的期望值是 （ ）,A、7/3 B、4 C、-1 D、1,A,2、一名射手击中靶心的概率是0.9，他连续射击10次，求它击中靶心次数的期望.,3、同时抛掷5枚硬币， (1)求正面向上的硬币数的均值,9次,5元,(2)若每出现一个正面向上的硬币奖3元，每出现一个反面向上的硬币罚1元，求所得钱数的期望.,2.5次,六、课堂小结,一、离散型随机变量的期望公式及其统计意义：,E =,x1p1x2p2xnpn,统计意义：它反映了随机变量取值的平均水平,二、期望的性质：,(1)E(a+b)=,(2)E(b)= (b为常数),(3)E(1+2)=,aE+b,b,E1+E2,三、特殊分布的期望期望的性质：,(1)若B(n, p)，则E=,np,(2)若服从几何分布，且一次试验中该事件发生的 概率为p，则E=,再见！,例3 ：有一批数量很大的产品，其次品率为15%，对这批产品进行抽查，每次抽出一件，如果抽出次品，则抽查中止，否则继续抽查，直到抽出次品，但抽查次数最多不超过10次，求抽查次数的期望.,分析：,的取值：1、2、3、10,0.8580.15,E=10.15+20.150.85+ + 90.150.858+100.859,0.15,0.850.15,0.859,=5.35,=0.15(1+20.85+30.852+ +100.859)+100.8510,错位相消法,P(=k) =0.150.85k-1,(k=1, 2, 3, ,9), P(=10) =,0.859,故分布列为,1、某射手共有5发子弹，命中率是0.9，假定射中目标就停止射击，求射击次数的期望.,课堂练习3,E=0.15(1+20.85+30.852+ +100.859)+100.8510,令 S= 1+20.85+30.852+ +100.859,则 0.85S= 10.85+20.852+ +90.859+ 100.8510,相减得 0.15S=,1+0.85+0.852+ +0.859 100.8510,5.35,证明：,所以,若B(n，p)，则Enp,若B(n，p)，,(1) 抛掷一枚硬币，规定正面向上得1分，反面向上得-1分，求得分的期望.,解：抛掷骰子所得点数的概率