经济学解释的工具中级微观十八讲.ppt

上海大学经济学院 韩太祥,1,第 2 讲,经济学解释的工具,上海大学经济学院 韩太祥,2,第1节 重要的数学表达,“我们需要数理经济学的工具来弄清这些基本的真理吗？是的，需要。如果不是用严格的数学方法，牛顿、麦克斯韦、爱因斯坦、玻尔就不可能完成那些科学革命，这种科学革命触发了带来全世界经济增长的产业革命。仅仅阅读19世纪的经济学著作或者由教书匠和空谈家炮制的现代改写本，是不能使人超越经济科学的幼儿园的，这就是严酷的现实” 萨缪尔逊为经济分析基础写的中文版前言，北京经济学院出版社1990年版,上海大学经济学院 韩太祥,3,一、 实数和集合 1. 基本概念 实数：量上是一个闭联集或连续统；结构上有序结构、代数结构和拓扑结构,上海大学经济学院 韩太祥,4,集合论的语言和方法渗透于整个微观经济理论 集合的元素和子集 空集、补集、差集 集合的并和交 有序对和n维向量,上海大学经济学院 韩太祥,5,凸组合和凸集 向量（点）的凸组合 如果两个向量u和v，有 0，1， u （1 ） v，称为凸组合 Rn上的凸集 对于所有的x1S，x2 S ，如果有下列式子，则 是一个凸集 tx1（1t）x2 S ，对于所有的t（0t1），该式成立,上海大学经济学院 韩太祥,6,Rn上的凸集（文字定义）：如果对于集合内的任意两个点，这两个点的所有加权平均数也是同一集合的点，那么，此集合是凸的。这种加权平均数称为凸组合,上海大学经济学院 韩太祥,7,2. 相关的拓扑知识 度量和度量空间 极限、极限点和区间 开球和闭球 开集、闭集、有界集和紧集,上海大学经济学院 韩太祥,8,二、 实值函数 1. 关系和函数 二元关系 二元关系：任何有序对（s，t）把一个元素s S 与另一个元素t T 联系起来。任何有序对的集合被认为构成了集合S与T 之间的一个二元关系,上海大学经济学院 韩太祥,9,函数 函数是一类普遍但十分特殊的关系。一个函数是一种将一个集合内的每个要素与另一集合内的单个且唯一的元素联系起来。称函数f 是从一个集合D到另一个集合R的映射，写成f ：DR。D是定义域，R是值域。f 的象是值域内的点集,上海大学经济学院 韩太祥,10,函数、斜率和弹性 如果yf ( xi )来表示两类变量之间的关系。 f (xi )表示函数随自变量变化而变化的速度，也是几何意义上f ( xi )的斜率 函数具体一点的斜率表示弹性。例如令qapb是需求函数，其弹性为,上海大学经济学院 韩太祥,11,2. 凸函数与凹函数,上海大学经济学院 韩太祥,12,上海大学经济学院 韩太祥,13,上海大学经济学院 韩太祥,14,如果函数可微，函数的凹凸性也可以按其一阶导数来定义,上海大学经济学院 韩太祥,15,3. 拟凸函数与拟凹函数,上海大学经济学院 韩太祥,16,上海大学经济学院 韩太祥,17,上海大学经济学院 韩太祥,18,上海大学经济学院 韩太祥,19,上海大学经济学院 韩太祥,20,三、 比较静态分析 1. 比较静态的含义 作为测试理论的比较静态学 例如，MR（q）=MC（q）是厂商最优产量条件，并且有R （q）C （q）。如何检验呢？ 引入一个可观察的外生变量税率t，看它对模型中另一个可观察的量q的影响,上海大学经济学院 韩太祥,21,一阶条件为：R，(x)C，(x)t0,上海大学经济学院 韩太祥,22,上海大学经济学院 韩太祥,23,比较不同均衡状态的比较静态分析,上海大学经济学院 韩太祥,24,第1讲,2. 雅可比行列式 如果由方程组 y1f1（x1，x2，x3） y2f2（x1，x2，x3） y3f3（x1，x2，x3） 雅可比行列式为,上海大学经济学院 韩太祥,25,第1讲,如果有 就可以进行比较静态分析,上海大学经济学院 韩太祥,26,3. 全微分和全导数,上海大学经济学院 韩太祥,27,第1讲,4. 隐函数定理和隐函数法则 隐函数定理 隐函数法则 f（x，y）=0，有全微分：fxdxfydy0，从而有 该法则表明，即使隐函数的具体形式未知，仍可通过取函数f的一对偏导数比值的负值，而求得隐函数的偏导数,上海大学经济学院 韩太祥,28,第1讲,例： 生产可能性曲线为2x2 y2 225，求其边际转换率 移项为隐函数2x2 y2 225 0 ， 有fx4x， fy2y， 从而边际转换率,上海大学经济学院 韩太祥,29,推广到联立方程组的情况 给定联立方程组，它们定义一组隐函数。如果雅可比行列式不为零，可直接从n个联立方程中解得隐函数的偏导数，而不需要解出变量y,上海大学经济学院 韩太祥,30,5. 包络定理,上海大学经济学院 韩太祥,31,上海大学经济学院 韩太祥,32,包络定理,假定 y 是 x 的函数 y = x2 + ax 对于a 的不同取值, 这个函数代表了一族抛物线 如果a 取定一个值, 那么 y 变成仅仅是 x 的函数，同时可以计算使得y最大的x的取值,上海大学经济学院 韩太祥,33,包络定理,对于不同的a，x和y的最优值,上海大学经济学院 韩太祥,34,包络定理,随着 a 增加, y (y*) 的最大值上升,a 和 y 的关系是二次的,上海大学经济学院 韩太祥,35,包络定理,假定我们感兴 y* 如何随着 a 变化 我们有两种方法可以做到这点 直接计算 y 的斜率 保持 x 在最优值不变，直接计算 y/a,上海大学经济学院 韩太祥,36,包络定理,为了计算函数的斜率, 我们必须对于任意的a解出 x 的最优值 dy/dx =2x + a = 0 x* = a/2 替代, 得到 y* = (x*)2 + a(x*) =(a/2)2 + a(a/2) y* = a2/4 + a2/2 = a2/4,上海大学经济学院 韩太祥,37,包络定理,因此 dy*/da = 2a/4 = a/2 = x* 但是, 我们可以利用包络定理节约时间 对于a的微小变化, dy*/da 可以通过保持x 在 x* 不变，直接从y 计算y/ a y/ a = x 保持 x = x* y/ a = x* = a/2 这和前面的结果相同,上海大学经济学院 韩太祥,38,包络定理,包络定理 表示了，函数最优值对于参数的变化可以通过保持 x (或者几个x) 在最优值不变，偏微分目标函数获得,上海大学经济学院 韩太祥,39,包络定理,包络定理可以扩展到 y 是多变量的函数 y = f(x1,xn,a) 寻找 y 的最优值包括求解n个一阶条件方程 y/xi = 0 (i = 1,n),上海大学经济学院 韩太祥,40,包络定理,x 的最优值将是 a 的函数 x1* = x1*(a) x2* = x2*(a),上海大学经济学院 韩太祥,41,包络定理,替代进原目标函数获得了y (y*)最优值的表达式 y* = f x1*(a), x2*(a),xn*(a),a 求导，可得,上海大学经济学院 韩太祥,42,包络定理,考虑一阶条件,如果 x 在它们的最优值，那么所有项，除了 f/a ，都等于0 因此,上海大学经济学院 韩太祥,43,6. 一般函数模型的比较静态分析 当任意外生变量或参数发生变化时，内生变量的均衡值将如何变化 有显性解的情况 把内生变量作为外生变量或参数的显性表示，为了解某一参数微小变化如何影响内生变量，仅需把均衡解对该参数求偏导数即可,上海大学经济学院 韩太祥,44,第1讲,例：市场模型,上海大学经济学院 韩太祥,45,第1讲,考虑P，有四个偏导数,上海大学经济学院 韩太祥,46,没有显性解的情况 这时需要运用隐函数定理和隐函数法则 步骤如下 对每个均衡恒等式依次取全微分 选择一个外生变量，令其他所有外生变量微分为零，然后以该外生变量的微分除以每个恒等式余下的各项，并将两个微分的商视为比较静态导数（若模型包含两个以上外生变量，应视为偏导数） 解所得到的方程组，求出比较静态导数，解释其经济含义（使用克莱姆法则） 若有其它外生变量，其分析可重复步骤2和步骤3,上海大学经济学院 韩太祥,47,第1讲,例：市场模型 可将市场模型表示成隐函数形式,上海大学经济学院 韩太祥,48,第1讲,F1和F2有连续偏导数；内生变量的雅可比行列式不为零 因此，如果均衡解存在，依据隐函数定理，有,上海大学经济学院 韩太祥,49,第1讲,尽管不能解出 我们可以写出 由此， 可以同时得到。对上述恒等式依次进行微分，有,上海大学经济学院 韩太祥,50,第1讲,从而有 得到矩阵方程,上海大学经济学院 韩太祥,51,第1讲,由克莱姆法则，得到的解为,上海大学经济学院 韩太祥,52,四、 最优化分析 1. 无约束最优化问题求解 一元函数极值的一阶、二阶条件 泰勒展开式 多元函数极值的一阶、二阶条件 根据海赛行列式判别二阶条件,上海大学经济学院 韩太祥,53,第1讲,函数增减性和函数凹凸性 函数凹凸性与二阶充分条件 函数凹凸确定一条曲线或一个曲面如何弯曲。曲线上任意两点连线，其线段位于曲线下（上）方（两点除外），函数为严格凹（凸）函数。线段可位于曲线下（上）方，也可位于曲线中，函数为凹（凸）函数 （严格）凹（凸）函数必有极大值（极小值）,上海大学经济学院 韩太祥,54,凹（凸）性检验 对函数f定义域内任意两点u和v，且对01，当且仅当 如果函数 f 可微，定义域内任意两点u 和 v，当且仅当,上海大学经济学院 韩太祥,55,如果函数二次可微，二阶偏导数存在，因此，d2z有定义。当且仅当d2z处处为负（正）半定时，则二阶连续可微函数zf(x1，xn)是凹（凸）函数 极大值要求（严格）拟凹性；极小值要求（严格）拟凸性,上海大学经济学院 韩太祥,56,极值和拐点 函数最优化及其高阶检验 总量、平均量和边际量之间的关系 以产量为例,上海大学经济学院 韩太祥,57,2. 有约束最优化问题求解 代入法 拉格朗日方法 二阶条件 海赛加边行列式与二阶条件,上海大学经济学院 韩太祥,58,最优化条件：二阶微分和二阶导数 二阶微分条件,上海大学经济学院 韩太祥,59,第1讲,二阶导数条件,上海大学经济学院 韩太祥,60,假定 y = f(x1, x2) 最大值点的一阶条件 y/x1 = f1 = 0 y/x2 = f2 = 0 为了保证这个点是最大值点, 从任何方向离开驻点 y 必须减小,上海大学经济学院 韩太祥,61,x1 方向的斜率 (f1) 必须在驻点减小 x2 方向的斜率 (f2) 必须在驻点减小 但是, 交叉导数 (f12 = f21) 也必须满足约束，以保证dy 对于任何方向离开驻点的运动都会减少,上海大学经济学院 韩太祥,62,y 的全微分 dy = f1 dx1 + f2 dx2 这个函数的微分是 d 2y = (f11dx1 + f12dx2)dx1 + (f21dx1 + f22dx2)dx2 d 2y = f11dx12 + f12dx2dx1 + f21dx1 dx2 + f22dx22 根据Young定理, f12 = f21 并且 d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22,上海大学经济学院 韩太祥,63,d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 为了使得这个方程对于x的任何方向都是负的, f11 和 f22 必须是负的 如果 dx2 = 0, 那么 d 2y = f11 dx12 为了 d 2y 0, f11 0 如果 dx1 = 0, 那么 d 2y = f22 dx22 为了d 2y 0, f22 0,上海大学经济学院 韩太祥,64,d 2y = f11dx12 + 2f12dx1dx2 + f22dx22 如果 dx1 和 dx2 都不是, 那么 d 2y 是负的仅当 f11 f22 - f122 0 二阶导数 (f11 和 f22) 负的足够大使得它们足以超过来自交叉导数 (f12 = f21)的逆效应,上海大学经济学院 韩太祥,65,最优化条件：二次型有定判别 给定二次型qax2bxycy2，判别式的主对角线由二次项系数组成，非对角线由非二次项系数的均分构成。当且仅当 0，正定，极小值 q 0，半正定 0，半负定 0，负定，极大值,上海大学经济学院 韩太祥,66,当且仅当a0，且acb20，q为正定；当且仅当 a0，且acb20，q为负定 二次型q的判别式是 a0， 当且仅当 且 a0,上海大学经济学院 韩太祥,67,最优化条件：海赛行列式有定判别 把二次型系数与d2z的二阶偏导数对应起来，我们有： 当且仅当,上海大学经济学院 韩太祥,68,第1讲,最优化条件：二次型有定符号特征根检验 给定矩阵A，如果能找到一向量V0及标量c，使得：AV= c V，则标量c称为特征根，向量V称为特征向量。相应地有：AV= c IV，或者有：（A c I）V = 0，其中（A c I）称为A的特征矩阵。由于V0，特征矩阵（A c I）必为奇异的,上海大学经济学院 韩太祥,69,第1讲,由于矩阵（A c I）=0，求解得到c 如果： 所有特征根c为正，则A为正定 所有特征根c为负，则A为负定 所有c为非负，且至少一个c=0，则A为半正定 所有c为非正，且至少一个c=0，则A为半负定 有些c为正，另一些为负，则A符号不定,上海大学经济学院 韩太祥,70,最优化条件：多于两个变量的海赛行列式有定判别 确定d2z正定或负定规则大致相似，假定三变量海赛矩阵如下 其主次主子式可表示为,上海大学经济学院 韩太祥,71,z的极值二阶充分条件可表示为,上海大学经济学院 韩太祥,72,最优化条件：与函数凹性和凸性相关的判别 凹（严格凹），拟凹（严格拟凹），极大值 凸（严格凸），拟凸（严格拟凸），极小值,上海大学经济学院 韩太祥,73,约束最优化的二阶条件 对于z极大值，d2z为负（半）定，满足dg0 对于z极小值，d2z为正（半）定，满足dg0 关于d2z定性符号的行列式判别准则：,上海大学经济学院 韩太祥,74,多变量时有,上海大学经济学院 韩太祥,75,第1讲,第2节 博弈论初步 一、 博弈论的基本概念 1. 博弈及其分类 博弈论研究决策主体的行为发生直接相互作用时的决策以及这种决策的均衡 博弈论的出发点：任何一方参与者会想到的，另一方也会想到；一方会做逻辑思考，另一方也会做逻辑思考；一方将自己的利益最大化，另一方也将自己的利益最大化。一个博弈分析要将所有参与者的利益和行为考虑在内,上海大学经济学院 韩太祥,76,博弈论的发展 起源可以追溯到1944年由冯诺伊曼和摩根斯坦合著的博弈论和经济行为一书出版 1970年代起，博弈论的在经济学及其他学科得到广泛应用,冯诺伊曼,摩根斯坦,上海大学经济学院 韩太祥,77,1994年，纳什、泽尔腾和哈萨尼因博弈论方面的贡献获得诺贝尔经济学奖,哈萨尼,纳什,泽尔腾,上海大学经济学院 韩太祥,78,2005年，奥曼和谢林又因博弈论方面的贡献获得诺贝尔经济学奖,谢林,奥曼,上海大学经济学院 韩太祥,79,博弈的分类及对应的均衡概念 按参与人行动的先后次序分为静态博弈和动态博弈 按参与人对其他参与人的特征、战略和支付方面的知识分为完全信息博弈和不完全信息博弈 相应地有四个均衡概念：纳什均衡、子博弈精炼纳什均衡、贝叶斯纳什均衡、精炼贝叶斯纳什均衡。,上海大学经济学院 韩太祥,80,第1讲,上海大学经济学院 韩太祥,81,第1讲,2. 基本概念 参与人：i=1,2,n 战略：s=（s1,si,sn） 支付： ui= ui（s1,si,sn） 均衡：是所有参与人最优战略的组合。s*=（s1*,si*,sn*）,上海大学经济学院 韩太祥,82,二、 完全信息静态博弈 1. 博弈标准式和纳什均衡 参与人的战略空间为S1，Sn，收益函数为u1，un，我们用G S1，Sn ； u1，un 表示此博弈 两个参与人时，可用矩阵形式表示,上海大学经济学院 韩太祥,83,矩阵表示法,上海大学经济学院 韩太祥,84,2. 占优(战略)均衡 囚徒困境 从他们共同利益看，最佳选择是合作，即同时保持沉默，然而，猜忌和试图获得更大好处（3个月刑期）等竞争性动机阻碍了达到更好互利选择结果 对囚犯A，B来说，无论对方如何选择，“坦白”都是各自最优选择 占优战略和占优（战略）均衡,上海大学经济学院 韩太祥,85,第1讲,囚徒困境,上海大学经济学院 韩太祥,86,上海大学经济学院 韩太祥,87,占优策略：不管竞争对手选择什么策略，参与人都有自己的一个最优策略 占优策略均衡：如果在博弈中，每个参与者都有一个占优策略，那么，这个占优策略组合就是该博弈的均衡结果,上海大学经济学院 韩太祥,88,第1讲,重复剔除的占优均衡 如果一方没有占优战略，如何？ 给定小猪理性，小猪的最优选择是等待。给定大猪理性，大猪会正确预测到小猪的选择，给定这个预测，大猪的最优选择只能是按，从而（按，等待）是唯一的均衡。结果是多劳少得,上海大学经济学院 韩太祥,89,智猪博弈,上海大学经济学院 韩太祥,90,上海大学经济学院 韩太祥,91,重复剔除占优均衡的问题：均衡依赖于剔除顺序；预测结果不精确,上海大学经济学院 韩太祥,92,3. 纳什均衡（NE） 纳什均衡(The Nash Equilibrium)指一组给定对手行为前提下对各博弈方存在的最佳选择，这时只要其它参与者不变换策略选择，任何单个参与者不可能单方面通过变换策略来提高支付。 举例,上海大学经济学院 韩太祥,93,纳什均衡：给定其他人的选择，每个参与者都可以做出自己的一个最优选择 纳什均衡的存在性，纳什（1950）给出证明 可能不止一个纳什均衡 有些博弈不存在纳什均衡 纳什均衡是古诺均衡的一般化形式,上海大学经济学院 韩太祥,94,在n人参与的博弈G S1，Sn ； u1，un 中，如果s1*,si*,sn*满足对每一参与人i， si*是他针对其他n1个参与人所选战略s1*,si-1*, si+1*,sn*的最优反应战略，则称s1*,sn*是该博弈的一个纳什均衡,上海大学经济学院 韩太祥,95,与占优战略均衡区别在于：纳什均衡下，“我（你）所做的是给定你（我）的选择我（你）所能做的最好的”，占优战略均衡下， “我（你）所做的是不论你（我）的选择我（你）所能做的更好的” 在n人参与的博弈G S1，Sn ； u1，un 中，重复剔除后剩下的唯一战略组合是纳什均衡；在n人参与的博弈G S1，Sn ； u1，un 中，如果s1*,sn*是纳什均衡，它一定不会被重复剔除掉 占优战略均衡必然是纳什均衡，纳什均衡未必是占优战略均衡,上海大学经济学院 韩太祥,96,博弈可能有几个纳什均衡。如左表所示，有两个纳什均衡：其中“上，左”是纳什均衡（A选上，则B选左；且B选左时A仍应选上）；“下，右”也是纳什均衡（A选下，则B选右；且B选右时A仍应选下）。没有更多信息则无法判断均衡位置 也可能没有纳什均衡。如右表所示。如A选“上”，B则选“左”；当B选“左”时，A却应当选“下”。反之，A选“下”时，B应选“右”；然而当B选右时，A又应选“上”,上海大学经济学院 韩太祥,97,纳什均衡的复杂情况,上海大学经济学院 韩太祥,98,4. 混合战略均衡 纯战略与混合战略 纯战略：参与人采取确定的行为战略 混合战略：参与人战略选择时随机化，如抛硬币 对G S1，Sn ； u1，un ，设si si1,，siK，那么，参与人的一个混合战略为一个概率分布pi pi1,，piK，其中对所有的k1，K，0 piK 1，且pi1piK1,上海大学经济学院 韩太祥,99,在n人参与的博弈G S1，Sn ； u1，un 中，混合战略组合pi* pi1*，piK*是一个纳什均衡，vi （ pi* ， pi-1* ) vi （ pi ， pi-1* ),上海大学经济学院 韩太祥,100,例1 假定政府的混合战略为sG（，1）（即政府以的概率选择救济，（1）的概率选择不救济）；流浪汉的混合战略为sL（，1）（即流浪汉以的概率选择找工作，（1）的概率选择流浪）,上海大学经济学院 韩太祥,101,流浪汉博弈,上海大学经济学院 韩太祥,102,第1讲,政府的期望效用函数为： uG3（1）（1）（1）（1）0（1） （51） 对上述效用函数求导，得到政府最优化的一阶条件为： uG510 因此，0.2 （就是说，在混合战略均衡，流浪汉以0.2的概率选择找工作，0.8的概率选择游荡）,上海大学经济学院 韩太祥,103,第1讲,流浪汉的期望效用函数为： uL21（1）（1）30（1） （21）3 对上述效用函数求导，得到流浪汉最优化的一阶条件为： uL（21）0 因此，0.5（就是说，在混合战略均衡，政府以0.5的概率选择救济，0.5的概率选择不救济）,上海大学经济学院 韩太祥,104,例2 猜币博弈,上海大学经济学院 韩太祥,105,假定参与人A推断参与人B以q的概率出正面，以1q的概率出反面，即使用混合战略（q，1q） 据此推断：参与人A出正面的期望收益为q（1）（1q）112q，出反面的期望收益为q1（1q）（1） 2q 1 由于当且仅当q12时， 12q 2q 1，参与者A的纯战略是出正面， q 12时出反面， q 12 时，出哪一面无差异,上海大学经济学院 韩太祥,106,假定参与人B 推断参与人A以r的概率出正面，以1r的概率出反面，即使用混合战略（r，1r） 参与人B出正面的期望收益为r1（1r）（1） 2r 1，出反面的期望收益为r（1）（1r）112r 当且仅当r 12时2r 1 12r ，出正面， r12时，出反面， q 12 时，出哪一面无差异,上海大学经济学院 韩太祥,107,小结 占优均衡 重复剔除劣战略的占优均衡 纯战略纳什均衡 混合战略纳什均衡,上海大学经济学院 韩太祥,108,三、 完全信息动态博弈 1. 扩展型（广延型）博弈 定义 形式：博弈树 信息集：包含一个或多个决策结 博弈规则,上海大学经济学院 韩太祥,109,2. 扩展型博弈的纳什均衡 举例,上海大学经济学院 韩太祥,110,3. 反向归纳 定义：从博弈的最终结局出发到推，参与者总是选择对自己最有利的结局，直到初始点,上海大学经济学院 韩太祥,111,4. 子博弈精炼（完美）纳什均衡 子博弈定义：一个决策点；该点之后的所有决策点；终结点上的支付 子博弈精炼（完美）纳什均衡：对整个博弈是一个纳什均衡，对任一子博弈是一个纳什均衡,上海大学经济学院 韩太祥,112,5. 重复博弈 定价问题 见下页博弈矩阵。如果竞争双方均定高价，可以获得更大利润。但是，没有一方敢定高价 如果是一次次的重复博弈，情况会如何呢？试验结果（R. Axelrod）显示，最好的策略是以牙还牙策略，即我从一个高价开始，只要对方继续“合作”定高价，我就一直持续下去；一旦对方降价我马上也降价；如果对方决定合作并再提价，我也马上提价,上海大学经济学院 韩太祥,113,上海大学经济学院 韩太祥,114,第1讲,无限次重复博弈和以牙还牙策略 如果是无限次重复博弈，此时的合作行为是对以牙还牙策略的理性反应，即是一个