极限与连续高等数学.ppt

第二章 极限与连续,本章主要向大家介绍以下几方面内容：,一、数列的极限,三、变量的极限,五、极限的运算法则,六、两个重要极限,七、函数的连续性,二、函数的极限,四、无穷大量和无穷小量,幻灯片 86,幻灯片 72,幻灯片 67,幻灯片 80,2010英语本科群：100370989,设函数yn=f(n),其中n为正整数,简单地说： 数列就是定义在正整数集合上的函数,一、数列的极限,数列,第一张幻灯片,-单调减少,-单调增加,-有界但不单调,例,前面三个数列当n无限增大时的极限可分别表示为,显然，数列 yn 无限地接近于 1，可用数列 yn与 1 之差的绝对值可以任意地小来描述 .,如果用符号 e 表示任意小的正数， 那么就可用 | yn - 1 | e 表示 .,于是数列 yn 的极限现象可表述为：当 n 无限变大时，就有 | yn - 1 | e .,一般地，当 n 无限变大时，数列 yn 无限接近于一个常数 A 的极限现象可定义如下：,对任意给定的正数 e ，总存在正数N，当 nN时，恒有 | yn A| e,成立，则称数列 yn 当n 时以 A 为极限。,定义,如果数列有极限，则称该数列是收敛的,存在一充分大正整数 N，当 n N 时，点 yn 都落在点 A 的 e 邻域内，而不管 e 有多么小(如图)，,形象一点讲，数列 yn 会密集在点 A 的周围.,A,A - e,A +e,yN+1,yN+2,如果把数列 yn 中每一项都用数轴 Ox 上一个点来表示，那么数列 yn 趋向于 A 可解释为:,发散数列：,当 n 时, 数列不趋于某个固定常数 A，称为发散数列 .,收敛的数列一定有界,返回本章目录,函数极限,第一张幻灯片,对于任意给定的正数,，总存一个正数M，当,时，恒有,成立，则称当,时，函数,以,为极限，记作,或,(1),(2),(3),作直线 y = A + e 和 y = A - e,不管它们之间的距离有多么小，当 x N 时，曲线 y = f (x) 一定落在这两条直线之间.,当 x 1 时，,趋向于什么？,当 时， 函数 的极限,显然有,f(x)在当x1时是否有极限与在 X=1点处是否有定义无关,和,定义：如果当 x 无限接近于 x0 时，恒有 | f (x) - A| e (e 是任意小的正数),则称当自变量 x 趋于 x0 时，函数 f (x) 趋于 A ，记作,A - e f (x) A + e,A,A+e,A-e,y = f (x),x0 - d,x0 + d,x0,不论它们之间的距离有多么小. 只要 x 进入,是指：当 0 |x - x0| d 时， 恒有 | f (x) - A | e . 即,作两条直线 ：y = A - e y = A + e,的d邻域内，曲线 y = f (x) 就会落在这两条直线之间.,几何意义,当自变量 x 从不同方向趋于 x0 时，函数 f (x) 趋向于 A 的极限，,此时称 A 是函数 f (x) 的单侧限。,-右极限,-左极限,例 1 试求函数,解:,函数 f (x) 在 x = 0 处左、右极限存在但不相等，,所以 不存在.,函数 f (x) 在 x = 1 处左、右极限存在而且相等，所以有,例 2,解,例 3,解,解,例 4 设函数 求,例 2, 3 和 4 说明了下列几种重要现象：,(1) 函数 f (x) 在 x0 处极限存在，但函数 f (x) 在 x0 处可以没有定义(如例 2) .,(2) 函数 f (x) 在 x0 处虽然有定义，且在 x0 处有极限， 但两者不等，,(3) 函数 f (x) 在 x0 处有定义，也有极限且两者相等 .,若 x x0 (或 x )时，函数 f ( x )的极限存在, 则函数 f ( x ) 在 x0 的一个空心小邻域内(或 | x | 充分大范围内)有界.,设变量在变化过程中无限地趋于一个常数 A，就称该变量以 A 为极限，记作,三、变量的极限,变量 y 若为具体函数，则不能使用通用记号，必须在极限符号下面要写明所研究的变量的自变量的变化过程.,第一张幻灯片,返回本章目录,四、无穷小量与无穷大量,第一张幻灯片,无穷大量,如果,，则称变量,是在该变化过程中的无穷大量，简称无穷大。,无穷小量,以零为极限的变量称为无穷小量，简称无穷小即,，常用,等表示。,如果变量,以A为极限的充分必要条件是变量,可以表示为A与无穷小量,之和，即,定理,在相同的变化趋势下 有界变量与无穷小量之积仍是无穷小量（常数与无穷小量之积仍是无穷小量）。 两个无穷小量的代数和仍是无穷小量（可推广）。 两个无穷小量之积仍是无穷小量（可推广）,定理,例,为有界函数，,证,例,无穷大量与无穷小量的关系,在变量,的变化过程中，如果,是无穷大量，则,是无穷小量；,是无穷小量，则,是无穷大量。,无穷小量阶的比较,定义：,例,极限的运算法则,定理 : 在某一变化过程中，若,幻灯片 1,故由无穷小量的定理可推得,lim ( x y ) = A B = lim x lim y,证,(2) 因为,x y = (A a ) (B b ),= AB (Ab Ba a b),因为 Ab, Ba，a b 均为无穷小量，所以,商的极限运算法则的证明从略.,lim (x y ) = AB = lim x lim y,推论 1,lim c y = c lim y,推论 2,求极限,例,m、n为正整数。,为常数,证,求极限,例,分别讨论当,时，,的极限是否存在，并求,练习,解：,练习,即,所以当 x 1 时,为无穷大量，,解,练习,解,练习,练习 求极限,（无穷小量与有界变量之积仍为无穷小量）,例,极限存在准则,在某个变化过程中，三个变量,总有关系,，且,准则1：夹值定理,证明,证明：,准则2：单调有界定理,单调有界数列一定有极限,定义,(1),是单调增加数列，且,，所以有,(2),是单调减少数列，且,，所以有,例,幻灯片 1,两个重要极限,幻灯片 1,AOB 面积 扇形AOB 面积 AOD面积,证明：,因为,，所以当,改变符号时，,的值不变，故只讨论当,的情形即可。作单位圆,设圆心角,则,所以,即,同除,得,即,由于,所以,例,幻灯片 1,例,例,幻灯片 1,等价无穷小量代换只能用于乘除运算，对于加减项的无穷小量不能随意代换。,幻灯片 1,常用的等价无穷销量,利用无穷小量等价代换法求极限,例,幻灯片 89,幻灯片 90,幻灯片 91,幻灯片 92,幻灯片 93,幻灯片 94,幻灯片 87,幻灯片 87,幻灯片 87,幻灯片 87,幻灯片 87,幻灯片 87,幻灯片 87,函数的连续性,幻灯片 1,0,x,y,改变量：终值与初始值之差。,设正方形边长为,，若边长由,变到,时，面积,改变了多少。,例,解：,（1） 若边长由2米变到2.05米时，,（2）若边长由2米变到1.95米时，,函数连续的概念,定义1 设函数 y = f (x) 在 x0 点及其的某邻域内有定义，若,则称函数 y = f (x) 在 x0 处连续.,定义 2 设函数 y = f (x) 在 x0 点及其某邻域内有定义，,则称函数 y=f (x) 在 x0 点处连续。,若,总结：,3. 定义 (1) 如果函数,在开区间,上每一点处都连续，则称,在区间,上连续。,在开区间,上每一点处都连续，且有,则称,在闭区间,上连续。,(2) 如果函数,例 证明函数,在,处连续。,在,处有定义，且,又,即,所以,在,处连续。,证明：因为,例 证明函数 y = sin x 在其定义域内连续 .,证： 任取 x0 (- , + )，则因, y = f (x0 + x) - f (x0) = sin(x0 + x) - sinx0,这表明 y = sin x 在 x0 处连续，,由于 x0 的任意性可知它在定义域内连续 .,解 因为,所以 f (x) 在 x = 0 处连续.,例,证：因为,即 f (x) 在 x = 0 点处连续。,如果,在,点处连续，则,即连续函数极限符号和函数符号可以交换。,因为,在,处连续，所以,注意,函数间断点及其分类,间断点： 使函数y =f (x)不连续的点称为y = f (x)的间断点。,判断间断点的方法,讨论函数,在,处是否连续。,例,解：,幻灯片 113,讨论函数,在,处的连续性。,例,因为,故,点不连续，也称函数,的间断点。,但,所以,在,在,幻灯片 112,讨论函数,在,处的连续性。,例,解：,幻灯片 112,第一类间断点（可去间断点或跳跃间断点）,间断点的分类,幻灯片 111,幻灯片 110,幻灯片 114,幻灯片 115,第二类间断点（若,在,点处至少有一侧,是,的第二类间断点）,的极限值不存在，则称,幻灯片 109,例 证明 x = 0 为函数 的第一类间断点.,证: 因为该函数在 x = 0 处没有定义, 所以 x = 0 是它的间断点，,又因为,所以 x = 0 为该函数的第一类间断点 .,幻灯片 112,例 证明函数,在 x = 0 处是第一类间断点.,因此 x = 0 是该函数的第一类间断点 . 也为可去间断点.,证:,即该函数在 x = 0 处的左、右极限存在，,但是由于,幻灯片 112,因为，如果修改定义 f (0) = 1，,所以，左、右极限存在且相等的间断点称为可去间断点.,在 x = 0 连续.,则函数,例 证明 x = 1 是,的第二类间断点.,证：所给函数在 x = 1 处没有定义，因此 x = 1 是它的间断点，,又因为,因此， x = 1 为所给函数的第二类间断点 ,幻灯片 113,例 设 讨论 f(x) 的连续性.,解： 当 x 0 时，,函数表达式为初等函数,所以 f (x) 在 x 0 处是连续的。,因此 f (x) 在 x = 0 处连续 .,故函数 f (x) 在 ( ， ) 内是连续的 .,例,解：,（2） 基本初等函数在其定义域内都是连续的。,（3） 初等函数在其定义域上都是连续的。,故由极限的运算法则可得,因此 f (x) g (x) 在 x0 处连续 .,证： 仅证明 f (x) g (x) 的情形 .,因为 f (x) ，g (x) 在 x0 处连续，,所以有,函数 y = f (x) 在开区间（a b）上连续，则它在该区间内未必有最大值和最小值.,函数 y = x2 在区间 (0, 1) 内就无最大值和最小值 .,注意,a,推论1： 闭区间上的连续函数必取得介于最大值与最小值之间 的任何值,推论2 (根的存在性定理)：,例： 利用函数的连续性求极限,例 证明方程