条件概率与独立性.ppt

1.3 条件概率与独立性,一、条件概率,1. 条件概率的概念,一般地 P(A|B) P(A),P（A）=,=(g, g), (b, b), (b, g), (g, b),A=（b, b）,（b, g）,（g, b）;,B=（b, g）,（g, b）,记g表示女孩，b表示男孩，则,则在这种情况下事件B的概率为：,称这种概率为条件概率。记作,一般地古典概型有,=（b，b）,（b，g）,（g，b）;,由于信息增加了，样本空间发生了变化，此,时样本空间为:,若事件B已发生, 则为使 A也发生 , 试验结果必须是既在 B 中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB. 由于我们已经知道B已发生, 故B变成了新的样本空间 , 于是 有,设A、B是两个事件，且P(B)0,则称,2. 条件概率的定义,为在事件B发生的条件下,事件A发生的条件概率.,定义1,(1),3. 条件概率的性质,设B是一事件，且P(B)0,则,1. 对任一事件A，0P(A|B)1;,并且前面对概率所证明的一些重要性质,2. P ( | B) =1 ；,都适用于条件概率.,4. 条件概率的计算,1) 用定义计算:,P(B)0,2）条件概率计算公式：,P(A|B）=,B发生后的 缩减样本空间 所含样本点总数,在缩减样本空间 中A所含样本点 个数,例2 掷一颗均匀骰子，,例3 掷两颗均匀骰子,已知第一颗掷出6点,解法1:,解法2:,解: 设A=掷出点数之和不小于10 B=第一颗掷出6点,应用定义,在B发生后的 缩减样本空间 中计算,问“掷出点数之和不小于10”的概率是多少?,由条件概率的定义：,即 若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B) (2),而 P(AB)=P(BA),二、 乘法公式,若已知P(B), P(A|B)时, 可以反求P(AB).,将A、B的位置对调，有,故 P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A) (3),若 P(A)0,则P(BA)=P(A)P(B|A),(2)和(3)式都称为乘法公式, 利用 它们可计算两个事件同时发生的概率,注意P(AB)与P(A | B)的区别！,件是乙厂生产的. 而在这300个零件中，有189个,所求为P(AB).,甲、乙共生产 1000 个,189个是 标准件,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,例4 甲、乙两厂共同生产1000个零件，其中300,这个零件是乙厂生产的标准件的概率是多少？,是标准件，现从这1000个零件中任取一个，问,所求为P(AB) .,设B=零件是乙厂生产,A=是标准件,若改为“发现它是乙厂生产的, 问它是标准件的概率是多少?”,求的是 P(A|B) .,B发生, 在P(AB)中作为结果; 在P(A|B)中作为条件.,例5 设某种动物由出生算起活到20年以上的 概率为0.8，活到25年以上的概率为0.4. 问现年20岁的这种动物，它能活到25岁以上的概率是多少？,解：设A=能活20年以上，B=能活25年以上,依题意， P(A)=0.8, P(B)=0.4,所求为P(B|A) .,条件概率P(A|B)与P(A)的区别,每一个随机试验都是在一定条件下进行的，设A是随机试验的一个事件，则P(A)是在该试验条件下事件A发生的可能性大小.,P(A)与P(A |B)的区别在于两者发生的条件不同,它们是两个不同的概念,在数值上一般也不同.,而条件概率P(A|B)是在原条件下又添加“B发生”这个条件时A发生的可能性大小，即P(A|B)仍是概率.,例6 假设在空战中，若甲机先向乙机开火，则,甲、乙被击落的概率。,的概率为0.4，在这几个回合中，分别计算,机未被击落，再次向乙机进攻，击落乙机,就进行还击，击落甲机的概率为0.3；若甲,击落乙机的概率为0.2；若乙机未被击落，,分析：在这几个回合中,乙机有两次被击落的机会；,=“乙机第 次被击落”,甲机只有一次被击落的机会；,=“甲机被击落”,=“乙机被击落”,已知,显然 P(A|B)=P(A),这就是说,已知事件B发生,并不影响事件A发生的概率,这时称事件A、B独立.,三、事件的独立性,A=第二次掷出6点， B=第一次掷出6点，,先看一个例子：,将一颗均匀骰子连掷两次，,设,注 1. 由乘法公式知，当事件A、B独立时，,用P(AB)=P(A) P(B)刻划独立性,比用,定义2 设事件A、B满足,P(AB)= P(A) P(B) (1),则称A、B独立，或称A、B相互独立.,P(A|B) = P(A) 或 P(B|A) = P(B),更好,它不受P(B)0或P(A)0的制约.,P(AB)=P(A) P(B),有,P(AB)=P(B )P(A|B ),2. 多个事件的独立性,将两事件独立的定义推广到三个事件：,四个等式同时成立,则称事件A、B、C相互独立.,对于三个事件A、B、C，若,推广到n个事件的独立性定义,可类似写出：,包含等式总数为：,请注意多个事件两两独立与相互独立的区别与联系,两两独立,相互独立,对n(n2)个事件,?,设A1,A2, ,An是 n个事件，如果对任意k (1k n),任意1 i1i2 i k n,具有等式 则称A1,A2, ,An为相互独立的事件.,例7 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张，记 A=抽到K, B=抽到的牌是黑色的,可见, P(AB)=P(A)P(B),由于 P(A)=4/52=1/13,说明事件A、B独立.,问事件A、B是否独立？,解：,P(AB)=2/52=1/26,P(B)=26/52=1/2,3. 在实际应用中,往往根据问题的实际意义去判断两事件是否独立.,由于“甲命中”并不影响“乙命中”的概率，故认为A、B独立 .,（即一事件发生与否并不影响另一事件发生 的概率）,1.设A、B为互斥事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,注意 独立与互斥的区别和联系，,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),2. 设A、B为独立事件，且P(A)0,P(B)0, 下面四个结论中，正确的是：,1. P(B|A)0 2. P(A|B)=P(A) 3. P(A|B)=0 4. P(AB)=P(A)P(B),请你做2个小练习.,1. 若A、B互斥，且P(A)0, P(B)0, 则A与B不独立.,2.若A与B独立，且 P(A)0,P(B)0, 则A 、B不互斥.,=P(A)1- P(B)= P(A) P( ),= P(A)- P(AB),P(A )= P(A - A B),A、B独立,故A与 独立 .,概率的性质,= P(A)- P(A) P(B),证明: 仅证A与 独立,A、B独立,概率的性质,往证 与 独立,故 与 独立 .,译出的概率分别为1/5，1/3，1/4，问三人中,解：将三人编号为1，2，3，,记 Ai=第i个人破译出密码 i=1,2,3,1,2,已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4,P(A1+A2+A3),3,例8 三人独立地去破译一份密码，已知各人能,至少有一人能将密码译出的概率是多少？,n个独立事件和的概率公式:,设事件 相互独立,则,P(A1+An),也相互独立,也就是说，n个独立事件至少有一个发生 的概率等于1减去各自对立事件概率的乘积.,如果将上题改为由 个人组成小组，在同一,时间内分别破译某一密码，并假设每人能译出,的概率都是0.7，问 至少为多少时，才能以,99.9999%的把握将密码译出。,P(A1+An),因而至少需要12人参加工作。,下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率.,P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H),解：将电路正常工作记为W，由于各元件独立,其中,P(C+D+E)=1-,P(F+G)=1-,P(W) 0.782,代入得,工作，有,若某个试验由n次基本试验构成,且具有以下特点: (1) 每次基本试验有且只有两个可能结果：成功、失败; (2) 每次基本试验中每个结果出现的概率不变; (3) 基本试验之间相互独立; (4) 在相同条件下,试验可以重复进行.,则称此试验为独立重复试验或贝努里(Bernoulli)试验;由于该试验由n次基本试验构成,故亦称之为n重贝努里试验.,贝努里公式 在n重贝努里试验中,如果“成功”在每次试验中出现的概率为p,令Bk=“在n 次试验中“成功”出现k 次”,则,贝努里（Bernoulli）概型,例7 同时掷四颗均匀的骰子,试计算: (1) 恰有一颗是6点的概率; (2) 至少有一颗是6点的概率.,解: 这是一个4重贝努里试