动态电路的时域分析.ppt

第9章 动态电路的时域分析,9.1 换路定律与初始值 9.2 一阶电路的响应 9.3 一阶电路的三要素法 9.4 一阶电路的阶跃函数与阶跃响应 9.5 二阶动态电路的分析 习题9,9.1 换路定律与初始值,引起过渡过程的电路变化叫换路。 为了表示简化起见， 通常认为换路是在瞬间完成的， 若把换路瞬间作为计时起点， 即t0， 那么换路前的终了时刻记为t=0-， 换路后的初始时刻记为t=0+， 换路经历的时间为00。,9.1.1 换路定律 1. 具有电容元件的电路 对于线性电容元件， 在任意时刻t， 设q、 uC和iC分别为电容上的电荷、 电压和电流， 且电流由电容的正极板指向负极板， 电压与电流是关联方向。 由 得,（9-1）,由 得,（9-2）,令t0=0-， t=0+， 代入式（9-1）和式（9-2）得,（9-3） （9-4）,如果在换路瞬间， 即0到0瞬间， 电流iC(t)为有限值， 则式（9-3）和式（9-4）中积分项 ， 此时电容上的电荷和电压不发生跃变， 即,q(0+)=q(0-) （9-5） uC(0+)=uC(0-) （9-6）,由此得出结论： 在换路后的一瞬间， 如果流入电容的电流保持为有限值， 则电容上的电荷和电压应当保持换路前一瞬间的原有值而不能跃变。 这就是具有电容元件的换路定律。 对于一个换路前不带电荷（或电压）的电容来说， 在换路的一瞬间， uC(0+)=uC(0-)=0， 电容相当于短路； 而对于一个换路前携带电荷（或电压）的电容来说， 在换路的一瞬间， uC(0+)=uC(0-)=U0， 电容的电压不变, 相当于电压源。,2. 具有电感元件的电路 对于线性电感元件， 在任意时刻t， 设、 uL和iL分别为电感上的磁链、 电压和电流, 且电压和电流与磁链的参考方向满足右手螺旋定则。 由 得,（9-7）,即,由 得,（9-8）,同样令t0=0-， t=0+， 代入式（9-7）和式（9-8）得,（9-9）,（9-10）,如果在换路瞬间， 即00的瞬间， 电压uL为有限值， 则式（9-9）和式（9-10）中积分项 ， 此时电感上磁链和电流不发生跃变， 即,(0+)=(0-) （9-11） iL(0+)=iL(0-) （9-12）,由此得出结论： 在换路后的一瞬间， 如果电感两端的电压保持为有限值， 则电感中的磁链和电流应当保持换路前一瞬间的原有值而不能跃变。 这就是具有电感元件的换路定律。,9.1.2 初始值的计算 分析动态电路的过渡过程的方法之一是根据KCL、 KVL和支路的VCR建立描述电路的方程， 建立的方程是以时间为自变量的线性常微分方程， 然后求解， 从而得到电路的所求变量（电压或电流）。 此方法称为经典法， 它是一种在时间域中进行的分析方法。 用经典法求解常微分方程时， 必须根据电路的初始条件确定解答中的积分常数。 若在t=0时换路， 则初始值就是指电路中的所求变量（电压或电流）在t=0+时刻的值。,1. 初始值的计算步骤 （1） 根据KCL、 KVL和VCR等电路定理及元件约束关系计算换路前一瞬间的uC(0-)和iL(0-)。 （2） 应用换路定律计算独立的初始值uC(0+)和iL(0+)。 （3） 再根据KCL、 KVL和VCR等电路定理及元件约束关系计算换路后一瞬间的非独立初始值。,2. 应用举例 例9.1 如图9.1（a）所示的电路处于稳态， 当t0时， 开关S断开， 求开关断开后的初始值i1(0+)、 i2(0+)、 iC(0+)及uL(0+)。,图 9.1 例9.1图,例9.2 如图9.2所示的电路， 已知Us10 V， R16 ， R24 ， L2 mH， 求当开关S闭合后, t=0+时各支路电流及电感电压的初始值（开关S闭合前电路处于稳态）。,图9.2 例9.2图,例9.3 试计算图9.3（a）所示电路中各支路电流及动态元件电压的初始值， 设换路前电路处于稳态。,图 9.3 例9.3图,【思考与练习题】 1. 总结一下， 电感和电容在直流稳态、 交流稳态及动态电路中的工作状态。 2. 什么叫独立初始值， 什么叫非独立初始值， 为什么说电容上端电压和电感上的电流是独立初始值。 3. 在图9.4所示电路中， 试求开关S断开后的uC(0+)、 iC(0+)及uL(0+)和iL(0+)（已知S断开前电路处于稳态）。,图 9.4 题3图,4. 在图9.5所示电路中， 已知电感线圈的内阻 R2 ， 电压表的内阻为2.5 k， 电源电压Us4 V， 其串联电阻R018 。 试求开关S断开瞬间电压表两端的电压（换路前电路处于稳态）, 并说明， 这样做电压表是否安全？要想安全断电， 应怎样处理。,图9.5 题4图,9.2 一阶电路的响应,若一个电路中的独立电源不作用（电压源短路， 电流源开路）， 而最终可以化简成为一个RC回路或RL回路， 对于这样的电路， 电压和电流的关系满足一阶微分方程， 我们把这样的电路叫一阶动态电路， 简称一阶电路。 对于一阶电路， 回路上的响应又可分为零输入响应、 零状态响应和全响应。 这些响应都遵循固定的规律， 这一节我们将一一介绍。,9.2.1 一阶电路的零输入响应 在换路后， 若电源对动态元件所在回路输入为零， 则动态元件所在回路的响应叫零输入响应。 1. RC串联电路的零输入响应 如图9.6所示的电路在换路前处于稳态， 在t0时， 开关S由1点置于2点, 这时电容C储存电场能量， 电阻R与电容C构成串联电路。 电阻R吸收电能， 即电容C通过电阻R放电， 回路中的响应属于零输入响应。,图9.6 RC零输入响应,换路后， 根据KVL可得 uC-Ri=0 而i=-C duC/dt代入上述方程得,这是一个一阶常系数齐次微分方程。 令此方程的通解为uC=Aept， 代入上式得 (RCp+1)Aept=0 相应的特征方程为 RCp+1=0 其特征方程的根为,代入uC=Aept得,由如图9.6所示的电路可得uC(0-)=U0， 由于电容上电压不能跃变， 电压uC的初始值uC(0+)=uC(0-)=U0, 代入uC=Ae-(1/RC)t中得,即,这样， 求得满足初始值的微分方程的解为,（9-13）,这就是电容在零输入电路中的电压表达式。 电路中的电流,即,电阻上的电压,由uC、 uR和i的表达式可以看出， 它们都按照同样的指数规律衰减, 其衰减的快慢取决于指数中的1/RC的大小。 若电阻R的单位为， 电容C的单位为F， 则RC的单位为s。 而式RC只与电路结构和电路参数有关， 一旦电路确定下来， RC就为一个常数。 令=RC， 称为RC串联电路的时间常数。,引入后， 电容电压uC和电流i可以分别表示为,时间常数反映了一阶电路过渡过程的进展速度， 因此， 它是一阶电路的一个非常重要的参数。 当t0时， uC=U0e0=U0; 当t=时， uC=U0e-1=0.368U0。 表9-1列出了t取不同值时， 电容电压uC的值。,表9-1 电容电压与时间关系表,在理论上， 需要经过无限长的时间， 电容的电压uC才衰减到零， 电容放电结束。 但从表9-1可以看出， 当t=3或t=5时， 电容的电压已经衰减到原来电压的5%或0.7%, 因此在工程上一般认为换路后， 经过35的时间就可以认为过渡过程基本结束了。 图9.7给出了uC和i随时间变化的曲线。,图 9.7 uC和i随时间变化的衰减曲线,图9.8 的几何意义,时间常数也可以从uC或i的衰减曲线上用几何法求得。 如图9.8所示, A为曲线上任意一点， AC为过A点的切线。 由图可知,对于时间常数=RC， 理论计算时可以扩展。 其中电容C可扩展到多个电容串、 并联的等效电容。 电阻R可以看成是电路中所有电源都不作用， 从电容C两端等效的等效电阻。,例9.4 试求图9.9所示电路的时间常数。 已知C1=C2=C3=300 F， R1400 ， R2600 ， R3260 。,图 9.9 例9.4图,解 换路后等效电路,若电路中电源不作用， 图9.9（a）可等效成图9.9（b）， 从C两端等效的等效电阻,时间常数 =RC=50020010-6=0.1 s,在RC串联零输入整个过渡过程中， 电容储存的电场能量将全部被电阻消耗， 直到电容的端电压为零。 这时电容的储能为零， 电路上电流为零， 电阻不再耗能， 电路进入新的稳定状态， 即,图9.10 例9.5图,例9.5 图9.10所示电路中， U010 V， C10 F， R110 k， R2R320 k， 在t0时, 开关S闭合。 试求 （1） 放电时的最大电流； （2） 时间常数； （3） uC(t)。,解 （1） 根据换路定律得 uC(0+)=uC(0-)=U0=10 V 当t=0+时, 电容端电压最大， 故放电电流也最大， 从电容两端等效的等效电阻,(2） =RC=201031010-6=0.2 s （3）,2. RL串联电路的零输入响应 如图9.11所示电路， 开关S闭合时电路处于稳态， 电感上的电流iL(0-)=U0/R0， 设I0=iL(0-)。 在t0时， 开关S打开， 电阻R与电感L组成串联回路， 且电源输入为零， 因此， 电路的响应属于RL串联电路的零输入响应。 当t0时， uR+uL=0 将uR=-RiL， uL=-L diL/dt， 代入上式得,图9.11 RL零输入响应,这是一个一阶常系数齐次微分方程。 令iL=Aept， 代入上式得特征方程 LpAept+RAept=0 即 Lp+R=0 其特征根为p=-R/L， 将其代入iL=Aept中得,根据iL(0+)=iL(0-)=I0， 代入上式得,故,（9-14）,由此得电阻电压,电感电压,与RC电路类似， 令=L/R， 若电感L的单位为H， 电阻R的单位为， 则的单位为s。 它是一个只与电路结构和电路参数有关的物理量， 因此， 我们把叫做RL串联电路的时间常数。 代入上述各式得,有关RL串联电路的物理意义与RC串联电路的完全相同， 这里不再赘述。 图9.12给出了iL、 uR和uL随时间变化的曲线。,图9.12 RL电路的零输入响应曲线,9.2.2 一阶电路的零状态响应 动态元件初始储能为零， 叫零初始状态。 电路在零初始状态下， 由外加激励引起的响应叫零状态响应。 1. RC串联电路的零状态响应 如图9.13所示的电路中， 在t0时， uC(0-)=0， 即电容C处于零初始状态; 在t=0时， 开关S闭合， 这时回路的响应属于零状态响应。 电容电压uC由无到有， 属于充电过程。,图9.13 RC电路的零状态响应,根据KVL有 uR+uC=Us 而uR=Ri， i=C duC/dt代入上式得,对图9.13所示的电路来说， 当电路的过渡过程结束时， 电容上的电压为Us， 此为非齐次方程的特解， 即 uC =Us 而非齐次方程对应的齐次方程， 其通解为,其中, =RC。 这样， 方程的全解为,电路的初始条件是换路前uC(0-)=0。 根据换路定律， 电容电压的初始值为 uC(0+)=uC(0-)=0 将其代入全解中得,即 Us+A=0 A=-Us 将A=-Us代入全解中得,（9-15）,图9.14 RC零状态响应的组成,图9.15 i, uR随时间变化的曲线,电路中的电流,电阻上的电压,电流i、 电阻上的电压uR随时间变化的曲线如图9.15所示。 由图中曲线可以看出， i和uR按指数规律衰减， 其衰减的快慢仍取决于时间常数。 表9-2给出了在不同时刻， RC串联电路的零状态响应。,表9-2 RC串联电路的零状态响应,由表9-2可以看出， 当t时， uC=Us， uR=0， i=0, 电路进入稳定状态。 但在工程上仍认为， 当t=3或t=5时， 电路的过渡过程结束。 RC电路接通直流电压源的过程也就是电源通过电阻对电容充电的过程。在充电过程中， 电源供给的能量一部分转换成电场能量储存于电容中， 一部分被电阻转变为热能消耗， 电阻消耗的电能为,例9.6 在图9.16（a）所示的电路中， U9 V， R16 k， R23 k， C1000 pF， uC(0-)=0。 试求t0时的电压uC。,图 9.16 例9.6图,解 应用戴维南定理， 可将换路后的电路化简为图9.16（b）。 其等效电阻,等效电源电压,2. RL串联电路的零状态响应 如图9.17所示的电路中， 在开关S打开时， 电感上的电流iL=0， 因此电感处于零状态， 开关S闭合后, 回路上的响应属于零状态响应。 换路后， 根据KVL得 uR+uL=Us 而uR=RiL， uL=L diL/dt， 代入上式得,则它的通解可写为,图9.17,根据初始条件iL(0+)=iL(0-)=0， 代入上式得,故,（9-16）,电路中各段电压分别为,RL零状态响应随时间变化的曲线如图9.18所示。,图9.18 RL零状态响应曲线,9.2.3 一阶电路的全响应 当一个非零初始状态的电路受到外接激励时， 电路的响应为全响应。 对于线性电路， 全响应是零输入响应与零状态响应的和。 如图9.19所示的电路中， 已知uC(0-)=U0， 在t0 时， 开关S闭合， 这个电路的响应属于全响应。 根据KVL， 得 uR+uL=Us,图9.19 RC串联的全响应,而uR=Ri， i=C duC/dt代入上式得,令,其中, uC 是方程的特解。 由图9.19可知uC =Us； uC是原方程对应的齐次方程的通解。 令,则,代入初始条件uC(0+)=uC(0-)=U0, 得,故,（9-17）,由此可以看出 全响应强制分量自由分量零输入响应零状态响应 全响应的其他各量分别为,全响应的电流i可以看成是强制分量（此电路为零）和自由分量的叠加, 或看成是零输入响应和零状态响应的叠加。,uR也可以按上述方法叠加。 也就是说， 一阶电路的全响应都可以分解为强制分量和自由分量, 或分解为零输入响应和零状态响应的叠加。 uR、 uC和i随时间变化的曲线如图9.20所示。,图 9.20 RC串联的全响应 (a) UsU0电容充电； (b) UsU0电容放电； (c) Us=U0电容稳态,例9.7 如图9.21（a）所示的电路中， 已知 Us20 V， R1R21 k， C2 F。 当开关S打开时电路处于稳态， 在t0时， 开关S闭合。 试求开关S闭合后， uC和iC的表达式， 并画出其曲线图。,图 9.21 例9.7图,图 9.22 例9.7的uC , iC曲线,【思考与练习题】 1. 已知图9.23所示的电路在换路前处于稳态， 试判断换路后各电路的响应属于零输入响应、 零状态响应还是全响应？,图 9.23 题1图,2. 试写出上述四个电路的电容C上的电压表达式。 3. 若图9.23各图中的电容C分别用电感L代替， 试重新判断各电路在换路后的响应类型，并写出电感上的电流表达式。,9.3 一阶电路的三要素法,通过上一节的学习， 可以看出， 若电路中只有一个存储元件， 这时根据KVL列出的方程为一阶微分方程。 我们把这样的电路叫做一阶电路。 分析一阶电路的过渡过程， 就是求微分方程的特解（稳态分量）和对应齐次微分方程的通解（暂态分量）的过程。 稳态分量是电路在换路后达到新的稳态时的解； 暂态分量的形式通常为Ae-t/， 常数A由电路的初始条件来确定， 时间常数由电路的结构和参数来计算。,图9.24 RC串联电路,一阶电路的过渡过程通常是电路变量由初始值向新的稳态值过渡， 并且是按照指数规律逐渐趋向新的稳态值。 指数曲线弯曲程度与反映趋向新稳态值的速率与时间常数密切相关。 这样， 我们找出一种方法， 只要知道换路后的稳态值、 初始值和时间常数这三个要素就能直接写出一阶电路过渡过程的解， 这就是一阶电路的三要素法。,我们还是以RC串联电路为例， 如图9.24所示， 设uC(0-)=U0， 开关S在t0时闭合。 由上一节推导知,上式中的Us为电路在换路后进入稳态时的电容电压， 记为uC()。 U0为电路在换路前电容两端的电压， 根据uC(0+)=uC(0-)=U0， 可记为uC(0+)， 即为电容电压的初始值。 这样， 电容电压就可以表示为,也就是说， 电容电压是由初始值、 新稳态值和时间常 数决定的。,同理， 可以推导出一阶电路的响应， 它们的形式和电容电压的表示形式完全相同。 若用f(t)表示电路的响应， f(0+)表示该量的初始值， f()表示该量的新稳态值， 表示电路的时间常数， 则三要素表示法的通式为,当f()=0时， 上式f(t)=f(0+)e-t/， 此为零输入响应。 当f(0+)=0时， 上式f(t)=f()-f()e-t/, 此为零状态响应。,例9.8 在图9.25所示的电路中， Us10 V， Is2 A， R2 ， L4 H。 试求S闭合后电路中的电流iL。,图9.25 例9.8图,例9.9 如图9.26所示的电路中， 当t0时， 开关S置于位置1； 当t=2 ms时， 开关S又置于位置2。 求两个时间区间内的电流i(t)， 并画出i(t)的曲线。,图9.26 例9.9图,图9.27 例9.9的i(t)曲线,例9.10 如图9.28（a）所示的电路中， t0时开关S闭合， 已知uC(0+)=-2 V， Is=1 A， R1=1 ， R2=2 ， C= F， 求电容电压uC。,图 9.28 例9.10图,例9.11 如图9.29（a）所示的电路为RL电路在正弦激励下的零状态响应情况， t0时开关S闭合， 正弦电压源满足us=Um sin(t+u)， u的取值由t0时电源电压的值决定， 称为接入初相。 求电路中的电流i。,图 9.29 例9.11图,【思考与练习题】 1. 试用三要素法写出图9.30所示电压曲线的表达式uC。,图 9.30 题1图,2. 已知全响应 。 试在同一坐标平面下分别作出其稳态分量、 暂态分量、 零输入响应、 零状态响应和全响应曲线。,9.4 一阶电路的阶跃函数与阶跃响应,9.4.1 单位阶跃函数 单位阶跃函数是一种奇异函数(见图9.31), 其数学表达式为,它在（0-, 0+）时域内发生了单位阶跃。,图9.31 单位阶跃函数,单位阶跃函数可以用来描述1 V或1 A的直流电源在t=0时接入电路的情况， 如图9.32所示。 对于图9.32(a)来说， 若开关S在t=0时闭合到“2”， 则一端口电路N的端口电压可写为 u(t)=(t) 对于图9.32(b)来说， 若开关S在t=0时闭合到“2”， 则一端口电路N的端口电流可写为 i(t)=(t),图 9.32 单位阶跃电压与电流,如果在t=0时接入电路的直流电源幅值为A， 则电路受到的激励可表示为A(t)， 其波形如图9.33(a)所示， 称为阶跃函数。 如果单位直流电源接入的瞬间为t0， 则可写为,称其为适时阶跃函数， 其波形如图9.33(b)所示。,图 9.33 阶跃函数和适时阶跃函数,利用阶跃函数和适时阶跃函数可以方便地表示某些信号。 图9.34(a)的矩形脉冲信号可看作是图9.34(b)和图9.34(c)所示的两个阶跃信号之和， 即 f(t)=(t)-(t-t0) 图9.35(a)的矩形信号可看作是图9.35(b)、 (c)和(d)所示的三个阶跃信号之和， 即 f(t)=(t)-2(t-1)+(t-2),图9.34 矩形脉冲信号,利用单位阶跃函数还可“起始”任意一个f(t)。 设f(t)是对所有t都有定义的一个任意函数， 如图9.36(a)所示， 若想使其在t0时为零， 则可乘以(t), 写为f(t)(t)， 波形如图9.36(b)所示。 若要使其在tt0时为零， 则可乘以(t-t0)， 写为f(t)(t-t0)， 波形如图9.36(c)所示。,图 9.35 矩形信号,图 9.36 单位阶跃函数对任意信号f(t)的起始作用,9.4.2 阶跃响应 当激励为单位阶跃函数(t)时， 电路的零状态响应称为单位阶跃响应， 简称阶跃响应， 用s(t)表示。 由于单位阶跃函数作用于电路时， 相当于单位直流电源接入电路， 因此求阶跃响应就是求单位直流电源（1 A或1 V）接入电路时的零状态响应， 即有 (t)s(t) 根据线性电路的性质， 若激励扩大a倍， 则响应也要扩大a倍， 即有 a(t)as(t),若电路激励延时了t0时间接入， 那么， 其零状态响应也延时t0时间， 即有 (t-t0)s(t-t0),图9.37 例9.12图,例9.12 如图9.37所示的电路中， 开关S置在位置1时， 电路已达到稳定状态。 t=0时， 开关由位置1置于位置2， 在t=RC时， 又由位置2置于位置1。 求t0时的电容电压uC(t)。 解 此题可用两种方法求解。 方法一： 将电路的工作过程分段求解。 在0t区间为RC电路的零状态响应， 则有 uC(0+)=uC(0-)=0,其中， =RC。,在t区间为RC电路的零输入响应， 则有,方法二： 用阶跃函数表示激励， 求阶跃响应。 根据开关的动作， 电路的激励us(t)可以用图9.38(a)所示的矩形脉冲表示， 按图9.38(b)可写为 us(t)=Us(t)-Us(t-) RC电路的单位阶跃响应为,故,当0t时， (t)=1, (t-)=0, 代入上式得,当t时， (t)=1, (t-)=1, 代入得,图 9.38 矩形脉冲信号,图 9.39 题3图,【思考与练习题】 1. 什么是单位阶跃函数、 阶跃函数和延时阶跃函数？ 2. 若线性电路施加单位阶跃函数(t)的激励时， 其响应为s(t), 那么， 若在同一个电路t0时刻施加激励A时， 其响应是多少？ 3. 如图9.39(a)所示， 其激励is的波形如图9.39(b)所示。 求t0时的电感电流iL。,9.5 二阶动态电路的分析,当电路包含两个独立的动态元件时， 描述电路的方程是二阶线性常系数微分方程。 这时，给定的初始条件有两个， 它们都是由储能元件的初始值决定的。 这一节我们将着重讨论典型的二阶电路RLC串联电路的零输入响应。,图9.40 RLC放电电路,如图9.40所示， 已知电容上原有电压为U0， 电感上原有电流为I0， 在t=0时， 开关S由1置于2点， 此电路的放电过程就是二阶电路的零输入响应。 根据KVL可得 -uC+uR+uL=0 由于 ， 故,（9-19）,把它们代入上式得,（9-19）,式（9-19）是以uC为未知量的RLC串联电路放电过程的微分方程。 这是一个线性常系数二阶齐次微分方程。 求解这类方程时， 仍然先设uC=Aept， 然后再确定其中的p和A。,将uC=Aept代入式（9-19）， 得特征方程 LCp2+RCp+1=0 解出特征根为,根号前有两个符号， 所以p有两个值。 为了兼顾这两个 值， 电压uC可写成,（9-20）,其中,由上式可见， 特征根p1、 p2仅与电路参数和结构有关， 而与激励和初始值无关。,由于uC(0+)=uC(0-)=U0, 代入式（9-20）得 A1+A2=U0 又由于 ， i(0+)=i(0-)=I0， 因此有,代入式（9-20）得,与上式联立解得A1、 A2。 若U00, I0=0， 即已充电电容C通过R、 L放电情况。 这时， 可解得,将A1、 A2代入式（9-20）， 就可求得RLC串联电路的零 输入响应的表达式。,1. , 非振荡放电过程 当(R/2L)2-1/LC0， 即 时， 特征根p1、 p2是两个不等的负实数， 电容上的电压为,（9-21）,电流为,因为p1p2=1/LC， 代入上式得,电感电压为,（9-22）,（9-23）,图9.41给出了uC, uL, i随时间t变化的曲线。 从图中可以看出， uC0, i0, 表明电容在整个过程中一直释放储存的电能。 我们把电容的这种放电过程称为非振荡放电， 也称为过阻尼放电。 电流i从零增大， 达到最大值时再减小， 最后， 当t时， i0。 由图可以看出， 当ttm时， 电感释放能量， 磁场逐渐衰减， 直到为零。 其中， 电流达到最大值的时刻tm可由di/dt=0决定。,图9.41 非振荡放电过程中uC, uL, i的曲线,tm点正是电感电压过零点。,例9.13 如图9.42所示的电路中， 已知Us=10 V， C=1 F, R=4 k, L=1 H， 开关S原来闭合在触点1处， 在t=0时， 开关S由触点1接至触点2处。 求（1） uC, uR, i和uL； （2） imax。,图9.42 例9.13图,2. ， 振荡放电过程 当(R/2L)2-1/LC0， 即 时， 特征根p1、 p2是一对共轭复数。 若令,则,于是有,p1=-+j, p2=-j,令 ， 即 , , 则,=0 cos, =0 sin p1=-0e-j, p2=-0ej,这样,根据式（9-22）得电路电流,根据式（9-23）得电感电压,图9.43 欠阻尼振荡中uC, i, uL的波形图,在理想情况下， 如果电路中没有电阻， 即R=0， 则衰减常数及振荡角频率分别为,例9.14 在由L=40 H, C=250 pF, R=6 三个元件组成的串联回路中， 试求其振荡放电时的振荡角频率和衰减系数。,3. ， 临界情况 当(R/2L)2-1/LC=0， 即 时， 特征根p1=p2=-R/2L=-。在此情况下电容电压的通解为 uC(t)=(A1+A2t)e-t 电流为,将初始条件uC(0+)=U0, i(0+)=0, 代入得 A1=U0 A2=A1=U0 于是得 uC(t)=U0(1+t)e-t,由以上两式可以看出， uC的变化是从U0开始保持正值， 逐渐衰减到零； I是从零开始保持正值， 最后为零。 由di/dt=0可以求得I达到极值的时间,例9.15 在图9.40所示的电路中， 已知R=2 k， L=0.5 H,C=0.5 F, uC(0-)=2 V, iL(0-)=0。 求uC, i的零输入响应。,【思考与练习题】 1. 二阶动态电路有什么特点？ 2. 什么是非振荡放电、 振荡放电、 临界放电状态？ 3. 振荡衰减系数如何计算？振荡放电的快慢与衰减系数有何关系？,习 题 9,9.1 电路如图9.44所示， 在t0时， 开关S位于“1”， 已处于稳态， 当t=0时， 开关S由“1”闭合到“2”， 求初始值iL(0+), uL(0+)。,图 9.44 题9.1图,9.2 图9.45所示电路原处于稳态， t=0时， 开关S断开， 求iC(0+), uC(0+)。 9.3 图9.46所示电路在t0时处于稳态， 当t=0时， 开关S闭合。 求iC(0+), uC(0+)及iL(0+), uL(0+)的值。,图 9.45 题9.2图,图9.46 题9.3图,9.4 如图9.47所示， 已知Us=100 V, R1=10 , R2=20 , R3=20 , S闭合前电路处于稳态， 当t=0时， 开关S闭合。 求i2(0+), i3(0+)。 9.5 如图9.48所示， 开关S原是断开的， 电路处于稳态， 当t=0时， 开关S闭合。 求初始值uC(0+), iL(0+), iC(0+), iR(0+)。,图 9.47 题9.4图,图9.48 题9.5图,图 9.49 题9.6图,9.6 求如图9.49所示的电路在换路后的时间常数。 9.7 一个高压电容器原先已充电， 其电压为10 kV， 从电路中断开后， 经过15 min它的电压降为3.2 kV， 问 （1） 再过15 min电压降为多少？ （2） 如果电容C=15 F， 那么它的绝缘电阻是多少？ （3） 需经多少时间， 可使电压降至30 V以下？ （4） 如果以一根电阻为0.2 的导线将电容接地放电， 最大放电电流是多少？ 若认为在5时间内放电完毕， 那么放电的平均功率是多少？,9.8 一个具有磁场储能的电感经电阻释放储能， 已知经过0.6 s后储能减少为原先的一半， 又经过1.2 s后， 电流为25 mA。 试求电感电流i(t)。 9.9 图9.50所示电路为一标准高压电容器的电路模型， 电容C=2 F， 漏电阻R=10 M。 FU为快速熔断器， us=2.3 sin(314t+90) kV， t=0时熔断器烧断。 假设安全电压为50 V， 问从熔断器断开之时起， 经历多少时间后， 人手触及电容器两端才是安全的。,图 9.50 题9.9图,9.10 如图9.51所示， 开关S位于“1”时， 电路处于稳态， 当t=0时， 开关S由“1”闭合到“2”， 求iL(t), uL(t)。 9.11 如图9.52所示， 当t=0时， 开关S闭合。 闭合前电路处于稳态， 求t0时的uC(t)， 并画出其波形。,图 9.51 题9.10图,图9.52 题9.11图,9.12 在日常测试中， 常用万用表R1 k挡检查电容量较大的电容器的质量。 方法是测量前， 先将被测电容器短路使它放电完毕。 测量时， 若指针摆动后， 再返回万用表无穷大刻度处， 则说明电容器是好的； 若指针摆动后， 返回速度较慢， 则说明被测电容器的电容量较大。 试根据RC串联充电过程的原理解释上述现象。,9.13 在RC串联电路中， 已知