2013版高中全程复习方略配套课件：9.5排列与组合(人教A版·数学理)浙江专用.ppt

第五节 排列与组合,三年9考 高考指数: 1.理解排列、组合的概念. 2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 3.能解决简单的实际问题.,1.排列与组合的应用是考查重点； 2.常与其他知识交汇命题，考查分类讨论思想； 3.题型以选择题和填空题为主，在解答题中和概率相结合进行 考查.,1.排列与排列数公式 （1）排列与排列数,顺序,个数,（2）排列数公式： =_= . （3）排列数的性质： =_;0!=_.,n(n-1)(n-2)(n-m+1),_,n!,1,【即时应用】 (1)思考：排列与排列数有什么区别？ 提示：排列与排列数是两个不同的概念，排列是一个具体的排 法，不是数，而排列数是所有排列的个数，是一个正整数.,（2）设x,mN*，且m19x,则(x-m)(x-m-1)(x-19)用排 列符号可表示为_. 【解析】由排列数公式的特征，下标是“连乘数”最大数x-m， 上标是“连乘数”的个数，即(x-m)-(x-19)+1=20-m. 答案：,(3)从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工 作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有_种. 【解析】从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派 方案共有 （种）. 答案：186,(4)一条铁路原有m个车站，为了适应客运需求新增加了2个车站，则客运车票增加了58种，那么原有车站_个. 【解析】根据题意得： 即(m+2)(m+1)-m(m-1)=58,即m=14. 答案：14,2.组合与组合数公式 （1）组合与组合数,合成一组,个数,（2）组合数公式： = = . （3）组合数的性质： =_; =_; =_.,_,_,1,【即时应用】 (1)若 则x=_. (2)某校开设10门课程供学生选修，其中A、B、C三门课程由于 上课时间相同，所以至多只能选一门.学校规定，每位同学选修 三门，则每位同学不同的选修方案种数是_. (3)某班级要从4名男生、2名女生中选派4人参加某次社区服 务，如果要求至少有1名女生，那么不同的选派方案种数为 _.,【解析】(1)由2x-7=x或2x-7+x=20，得x=7或x=9. (2)分两类：第一类A、B、C三门课程都不选，有 种方 案；第二类A、B、C三门课程中选一门，剩余7门课程中选两 门，有 种方案.故共有35+63=98种方案.,(3)方法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男两种情 况，故不同的选派方案种数为 方法二：从4男2女中选4人共有 种选法，4名都是男生的选法 有 种，故至少有1名女生的选派方案种数为 答案：(1)7或9 （2）98 （3）14,3.排列问题与组合问题的区别 区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键是看所选的元素 与顺序是否有关，若交换某两个元素的位置对结果产生影响， 则是_问题，否则是_问题.,排列,组合,【即时应用】 （1）由1，2，3，4，5这五个数字组成的没有重复数字的三位 数中，三位数字之和为奇数的共有_个.（用数字作答） (2)今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将 这9个球排成一列有_种不同的方法.（用数字作答）,(3)某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程 甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工 程丁必须在工程丙完成后才能进行.那么安排这6项工程的不同 排法种数是_.（用数字作答）,【解析】(1)根据题意，所选的三位数字有两种情况：3个数 字都是奇数，有 种方法；3个数字中有一个是奇数，有 种，故共有 24个. (2)由题意，可知因同色球不加以区分，实际上是一个组合问 题，共有 种. (3)根据题意，共有 20种不同排法. 答案：(1)24 (2)1 260 (3)20,排列数、组合数公式的应用 【方法点睛】 排列数、组合数公式的特点及适用范围 （1）排列数公式右边第一个因数为n，后面每个因数都比它前 面那个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数.公式 主要用于含有字母的排列数的式子的变形与论证；,（2）组合数公式有乘积形式与阶乘形式两种，乘积形式分母 为m！，分子左边第一个因数为n,后面每个因数都比它前面那 个因数少1，最后一个因数是n-m+1,共m个因数，多用于数字计 算.阶乘形式多用于对含有字母的组合数的式子进行变形和论 证.,【例1】(1)组合数 (nr1,n、rN*)恒等于 ( ) （A） （B） （C） （D） (2)若 则x=_. (3) =_.,【解题指南】（1）（2）利用排列数和组合数的公式及意义求解，（3）中注意n的取值范围. 【规范解答】(1)选D. =,(2)原方程即 也就是 化简得x2-21x+104=0, 解得x=8或x=13,又因为2x9,且xN*, 所以x=8. 答案：8,(3)若 有意义， 则 解得2n4 . 当n=2时，有 当n=3时，有 当n=4时，有 答案：4或7或11,【互动探究】在本例的（2）中，若将条件改为 ,求x的取值范围. 【解析】原不等式即 也就是 化简得x2-21x+1040. 解得x8或x13,又因为2x9,且xN*, 所以x=2,3,4,5,6，7.,【反思感悟】1.在排列数、组合数计算过程中要注意阶乘的运算及组合数性质的运用，注意含有排列数或组合数的方程都是在某个正整数范围内求解. 2.应注意 或x+y=n两种情况.,【变式备选】计算 的值. 【解析】 = = = = =,排列问题的应用 【方法点睛】 解决排列类应用题的主要方法 （1）直接法：把符合条件的排列数直接列式计算； （2）特殊元素（或位置）优先安排的方法，即先排特殊元素或 特殊位置；,（3）捆绑法：相邻问题捆绑处理的方法，即可以把相邻元素看 作一个整体参与其他元素排列，同时注意捆绑元素的内部排 列； （4）插空法：不相邻问题插空处理的方法，即先考虑不受限制 的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当 中；,（5）分排问题直排处理的方法； （6）“小集团”排列问题中先集体后局部的处理方法； （7）定序问题除法处理的方法，即可以先不考虑顺序限制，排 列后再除以定序元素的全排列.,【例2】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排 列方法总数. （1）选其中5人排成一排； （2）排成前后两排，前排3人，后排4人； （3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾； （4）全体排成一排，女生必须相邻； （5）全体排成一排，男生互不相邻； （6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.,【解题指南】（1）无限制条件的排列问题直接应用公式； （2）先排前排再排后排；（3）“在”与“不在”的问题，采 用“优先法”；（4）（5）（6）“邻”与“不邻”的问题，采 用“捆绑法”或“插空法”.,【规范解答】（1）从7个人中选5个人来排列，有 43=2520种. （2）分两步完成，先选3人排在前排，有 种方法，余下4人排 在后排，有 种方法，故共有 种.事实上，本小题 即为7人排成一排的全排列，无任何限制条件.,（3）（优先法） 方法一：甲为特殊元素.先排甲，有5种方法；其余6人有 种方法，故共有5 =3 600种. 方法二：排头与排尾为特殊位置.排头与排尾从非甲的6个人中选2个排列，有 种方法，中间5个位置由余下4人和甲进行全排列，有 种方法，共有 =3 600种.,（4）（捆绑法）将女生看成一个整体，与3名男生在一起进行 全排列，有 种方法，再将4名女生进行全排列，也有 种方 法，故共有 =576种. （5）（插空法）男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女 生，有 种方法，再在女生之间及首尾空出的5个空位中任选3 个空位排男生，有 种方法，故共有 =1 440种.,（6）把甲、乙及中间3人看作一个整体，第一步先排甲、乙两 人有 种方法，再从剩下的5人中选3人排到中间，有 种方 法，最后把甲、乙及中间3人看作一个整体，与剩余2人全排 列，有 种方法，故共有 种.,【互动探究】本例中第（5）问改为“甲、乙两人相邻，但都不 与丙相邻”，其他条件不变，应如何求解？ 【解析】先排甲、乙、丙以外的4人，有 种方法，由于甲、乙 要相邻，故再把甲、乙排好，有 种方法，最后把排好的甲、 乙视为一个整体与丙分别插入原先排好的4人之间及其首尾的5 个空位，有 种方法.所以，总共有 种.,【反思感悟】无限制条件的排列问题，直接利用排列数公式 即可，但要看清是全排列还是选排列问题；有限制条件的排列 问题，用直接法或间接法.,【变式备选】1.用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位 数，则其中数字1，2相邻的偶数有_个（用数字作答）,【解析】可以分情况讨论：若末位数字为0，则1、2为一组， 且可以交换位置，3、4各为1个数字，共可以组成2 =12个五 位数；若末位数字为2，则1与它相邻，其余3个数字排列，且 0不是首位数字，则有2 =4个五位数；若末位数字为4，则 1、2为一组，且可以交换位置，3、0各为1个数字，且0不是首 位数字，则有2（2 ）=8个五位数，所以全部合理的五位 数共有24个. 答案：24,2.电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不 同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有_种不 同的播放方式（结果用数值表示）. 【解析】分两步：第一步，首尾必须播放公益广告的有 种； 第二步，中间4个为不同的商业广告有 种，所以不同的播放 方式共有 48种. 答案：48,组合问题的应用 【方法点睛】 组合问题的常见题型 （1）“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取 出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再 从剩下的元素中去选取.,（2）“至少”、“最多”的问题：解这类题必须十分重视“至 少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解.用直接 法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向 思维，用间接法处理.,【例3】要从12人中选出5人去参加一项活动. (1)A，B，C三人必须入选有多少种不同选法？ (2)A，B，C三人都不能入选有多少种不同选法？ (3)A，B，C三人只有一人入选有多少种不同选法？ (4)A，B，C三人至少一人入选有多少种不同选法？ (5)A，B，C三人至多二人入选有多少种不同选法？,【解题指南】 (1) (2)是“在”与“不在”的问题，采用“直 接法”； (3)可分两步； (4) (5)是“至少”、“至多”型问 题，采用“间接法” . 【规范解答】(1)只需从A，B，C之外的9人中选择2人，即有 种选法. (2)由A，B，C三人都不能入选只需从余下9人中选择5人，即 有 种选法.,(3)可分两步，先从A，B，C三人中选出1人，有 种选法，再从 余下的9人中选4人，有 种选法，所以共有 378种选法. (4)可考虑间接法，从12人中选5人共有 种，再减去A，B，C 三人都不入选的情况 种，共有 666种选法. (5)可考虑间接法，从12人中选5人共有 种，再减去A，B，C 三人都入选的情况有 种，所以共有 756种选法.,【反思感悟】1.对“组合问题”恰当地分类计算，是解组合 题的常用方法； 2.解题时既要灵活选用直接法或间接法，又要常常结合两种计 数原理.,【变式训练】1.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙 所选的课程中至少有1门不相同的选法共有 ( ) （A）6种 （B）12种 （C）30种 （D）36种 【解析】选C.从反面考虑： 66630（种）.,2.(2012承德模拟）现有1个碱基A，2个碱基C，3个碱基G，由 这6个碱基组成的不同的碱基序列有 ( ) （A）20个 （B）60个 （C）120个 （D） 90个,【解析】选B.构成一个碱基序列需分三步， 第一步先排1个碱基A，所有的方法有 ， 第二步排2个碱基C，由于两个C相同，所有的方法有 ， 第三步排3个G，所有的方法有 ， 由这6个碱基组成的不同的碱基序列有 （个）,故选B.,排列、组合问题的综合应用 【方法点睛】 解排列组合的应用题应注意的问题 （1）仔细审题，判断是排列问题还是组合问题，要按元素的性 质分类，按事件发生的过程进行分类； （2）深入分析，注意分清是乘还是加，要防止重复和遗漏； （3）对限制条件较复杂的排列组合应用题，可分解成若干简单 的基本问题后用两种计数原理来解决；,（4）由于排列组合问题的答案一般数目较大，不易直接验证， 因此在检查结果时，应着重检查所设计的解决方案是否完备， 有无重复和遗漏，也可采用多种不同的方法求解，看看结果是 否相同. 【提醒】排列组合的综合题目，一般是先取出符合要求的元素 组合(分组)，再对取出的元素排列，分组时要注意“平均分组” 与“不平均分组”的差异及分类的标准.,【例4】（1）(2012南京模拟）某地奥运火炬接力传递路线共 分6段，传递活动分别由6名火炬手完成如果第一棒火炬手只 能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两 人中产生，则不同的传递方案共有_种（用数字作答） （2）(2012泰安模拟）有4张分别标有数字1，2，3，4的红色 卡片和4张分别标有数字1，2，3，4的蓝色卡片，从这8张卡片 中取出4张卡片排成一行如果取出的4张卡片所标数字之和等 于10，则不同的排法共有_种（用数字作答）,【解题指南】（1）根据题意，先安排第一棒，再安排最后一 棒，由于甲既可以传第一棒，又可以传最后一棒，因此应分类 讨论，然后再逐类安排. （2）根据题意，先将数字之和是10的数分类，然后再逐类安 排.,【规范解答】（1）甲传第一棒，乙传最后一棒，共有 种方案； 乙传第一棒，甲传最后一棒，共有 种方案； 丙传第一棒，共有 种方案. 由分类加法计数原理，共有 + + =96种方案.,（2）取出的4张卡片所标数字之和等于10，共有三种情况： 1144，2233，1234； 所取卡片是1144的共有 种排法； 所取卡片是2233的共有 种排法；,所取卡片是1234，则其中卡片颜色可为无红色，1张红色，2张红色，3张红色，全是红色，共有排法 （种）， 所以共有排法18 =184321=432（种）. 答案：（1）96 （2）432,【互动探究】本例（1）条件中关于第一棒与最后一棒的产生方 法改为只能从甲、乙、丙三人中产生，则不同的传递方案共有 多少种？ 【解析】先确定第一棒与最后一棒再排中间4棒，方案共有 （种）.,【反思感悟】解有条件限制的排列与组合问题的思路： (1)正确选择原理，确定是分类还是分步计数； (2)特殊元素、特殊位置优先考虑； (3)再考虑其余元素或其余位置.,【变式备选】1.12名同学合影，站成前排4人后排8人，现摄影 师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不 变，则不同调整方法的总数是 ( ) （A） （B） （C） （D）,【解析】选C.从后排8人中选2人共 种选法，这2人插入前排4 人中且保证前排人的顺序不变，则先从4人之间及首尾的5个空 中插入一人，有5种插法，余下的一人则要插入前排5人之间及 首尾的空中，有6种插法，故为 ；综上故选C.,2.5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_种.(以数字作答) 【解析】两老一新时, 有 种排法; 两新一老时, 有 种排法, 即共有48种排法. 答案：48,【创新探究】几何图形中的排列组合问题 【典例】(2011湖北高考）给n个自上而下相连的正方形着黑 色或白色.当n4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形 互不相邻的着色方案如下图所示：,由此推断，当n=6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有_ 种，至少有两个黑色正方形相邻的着色方案共有_种.（结果 用数值表示）,【解题指南】由n=1，2，3,4时，黑色正