三角形中的三角函数.pptVIP

三角形中的三角函数,三角形中的有关公式,1.内角和定理: 三角形三内角之和为, 即 A+B+C=.,注 任意两角和与第三个角总互补;,任意两半角和与第三个角的半角总互余;,锐角三角形三内角都是锐角,任两角和都是钝角,设 ABC 中, 角 A、B、C 的对边为 a、b、c,任意两边的平方和大于第三边的平方.,三内角的余弦值为正值,已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时, 务必注意可能有两解.,注 正弦定理的一些变式:,(1)a:b:c=sinA:sinB:sinC;,AAS,ASA,SSA?,SSS,SAS,4.射影定理: a=bcosC+ccosB.,应用一: 解三角形,例1 设ABC 的三内角 A, B, C 成等差数列, 三边长 a, b, c 的倒数也成等差数列, 求三内角.,例3 在ABC 中, 若面积为 S, 且 2S=(a+b)2-c2, 求 tanC 的值.,A=B=C=60,提示: 令 A-C=2, 可得:,4cos2-3cos-1=0,得: cos=1,得: A=C.,A=60, B=30, C=90,应用举例,应用二: 判断三角形的形状,例1 ABC 中, 若 sin2Acos2B-cos2Asin2B=sin2C, 判断 ABC 的形状.,直角三角形,例4 在 ABC 中, 已知 (a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sinC, 试判断三角形的形状.,例5 在ABC中, 若 a2sin2B+b2sin2A=2abcosAcosB, (1)试判断三角形的形状; (2)若 cosB=4(1-cosA), 求 ABC 三边 a, b, c的比.,直角三角形或等腰三角形,正三角形,直角三角形或等腰三角形,直角三角形; 8:15:17,应用三: 三角形的证明,提示: (1)法一: 边换角,法二: 角换边,(2)法一: 边换角,法二: 角换边,法三: 构造图形,(3)作差换 c2 即可.,差为: 2(a2+b2)-4absin(C+30),2(a2+b2)-4ab=2(a-b)20.,(正三角形时取等号).,证: 由余弦定理知, cosA, cosB, cosC 为有理数,cos5 即 -cosC 为有理数,而cos=cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB,证明 sinAsinB 为有理数即可,(由正弦定理可证).,或由 coscos5=cos(3-2)cos(3+2),=cos23cos22-sin23sin22,=cos23cos22-(1-cos23)(1-cos22),=cos2Acos2B-(1-cos2A)(1-cos2B),为有理数,且 cos0, cos5 为有理数知:,cos 为有理数.,例2 已知 ABC 的三边均为有理数, A=3, B=2, 试证 cos5 与 cos 均为有理数.,C,2.在 ABC 中, AB 是sinAsinB 成立的_条件.,充要,课后练习,3.在 ABC 中, (1+tanA)(1+tanB)=2, 则 log2sinC= .,4. ABC 中, a, b, c 分别是角 A, B, C 所对的边, 若 (a+b+c) (sinA+sinB-sinC)=3asinB, 则 C= .,60,30,8.在 ABC 中, AB=1, BC=2, 则角 C 的取值范围是_.,45,60B90,0A45 或 135A180.,A+B180,0A45.,cosC=-cos(A+B)=sinAsinB-cosAcosB,解: (1)(a+c)(a-c)=b(b-c), b2+c2-a2=bc.,12.已知 ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列, 求 cosAcosC 的取值范围.,解: ABC 的三个内角 A, B, C 成等差数列,2B=A+C 且 A+B+C=180.,B=60, C=120-A.,cosAcosC=cosAcos(120-A),=cosAcos120cosA+cosAsin120sinA,