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1,第四章 随机信号的功率谱估计,2019年8月1日,2,引言,作用：功率谱起着类似于频谱的作用 应用：遍及通信、噪声监测、信号检测与估计、模式识别、振动分析等领域 出发点：观测数据 理论基础：平稳随机过程的自相关函数与功率谱密度之间存在傅立叶变换关系 注意：随机信号不能直接进行傅立叶变换,3,主要内容,经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 MA模型谱估计 ARMA模型谱估计 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计 空间谱估计,4,一、经典谱估计与现代谱估计,经典谱估计 现代谱估计,5,经典谱估计,基本思想：以傅立叶变换为基础，附以平均、加窗、平滑等预处理或后处理 优缺点 优点：简单易行、计算效率高 缺点：分辨率低、旁瓣效应，数据短时缺点更突出 适用范围：长数据 主要方法：BT法、周期图法 相互关系 二者存在联系，均采用加窗来改善特性 FFT的出现使二者获得新生，并引入细化FFT 都存在致命缺点：分辨率低,6,经典谱估计,具体步骤： （1）从无限长随机序列x(n)中截取长度N的有限长序列xN(n)。 （2）由N长序列xN(n)求(2M-1)点的自相关函数序列 。即 是双边序列。 （3）由相关函数的傅氏变换求功率谱。即,B-T法,7,经典谱估计,以上过程中经历了二次截断，一次是将x(n)截成N长，称为加数据窗，一次是将Rx(m)截成(2M-1)长，称为加延迟窗。 FFT问世后，可利用快速相关法求得 。,B-T法,8,经典谱估计,周期图法又称直接法，它是从随机信号x(n)中截取N长的一段，把它视为能量有限信号，直接取xN(n)的傅氏变换，得到频谱XN(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为对x(n)真实功率谱Sx(ejw)的估计 的抽样 。 周期图法包含了二条假设： 1. 认为随机序列是广义平稳且各态遍历的，可以用其一个样本x(n)中的一段xN(n)来估计该随机序列的功率谱。这必然带来误差。 2. 由于对xN(n)采用DFT，就默认xN(n)在时域是周期的，以及XN(k)在频域是周期的。这种方法把随机序列样本x(n)看成是截得一段xN(n)的周期延拓，这也就是周期图法这个名字的来历。,周期图法,9,经典谱估计,相关法： 1. 当 而 时， 是Rx(m)的一致估计。 2. 矩形窗时， 是Sx(ejw)的有偏估计。但对于满足一定条件的窗比如三角窗且 时， 趋于无偏。 3. 时， 的方差较小，当M=N时，方差相对较大。 4. 不是Sx(ejw)的一致估计。 周期图法： 1. 当N有限长时 是有偏的。当 时， 是无偏的，这种情况叫渐进无偏。 2. 当 时， 的方差趋于 ，总大于等于 估值均值的平方。 3. 不是 的一致估计。,相关法与周期图法的比较,10,经典谱估计,B-T法和周期图法都不是Sx(ejw)的一致估计，主要问题是方差大。改进方法：主要的途径有改善窗口形状、平均和平滑。 相关法的两次截断就是两次加矩形窗，这将造成泄漏效应。影响到分辨率和方差。为了减少泄漏和提高谱估计的分辨率，改善窗的形状是必要的。对窗函数谱的总的要求是希望它的主瓣尽可能窄以改善分辨力，旁瓣尽可能小以减少能量外泄、改善方差。但实现时两者往往是矛盾的，任何减小旁瓣的努力都要以牺牲主瓣宽度为代价，两者只能兼顾，不可兼得。常用的窗有汉宁窗、海明窗、三角窗等。,改进方法,11,经典谱估计,周期图法得出的估计谱方差特性不好：当数据长度N太大时，谱线的起伏加剧；N太小时谱的分辨率又不好。对其改进的主要方法有两种，即平均和平滑，平均就是将截取的数据段xN(n)再分成L个小段，分别计算功率谱后取功率谱的平均，这种方法使估计的方差减小，但偏差加大，分辨率下降。平滑是用一个适当的窗函数W(ejw)与算出的功率谱 进行卷积，使谱线平滑。这种方法得出的谱估计是无偏的，方差也小，但分辨率下降。现比较常用的是Welch法，又叫加权交叠平均法（WOSA)，它以加窗（加权）求取平滑，以分段重叠求得平均，集平均与平滑于一体，是一种折衷。,改进方法,12,经典谱估计,不管数据记录有多长，周期图和自相关法得到的估计都不是功率谱的良好估计。事实上，随着记录长度增加，这两种估计的随机起伏反而会更加严重。此外，它们还存在以下两个难以克服的固有缺点。 （1）频率分辨率（区分两个邻近频率分量的能力）不高，这是因为它们的频率分辨率反比于数据记录长度，而实际应用中一般不可能获得很长的数据记录。 （2）经典谱估计方法在工程中都是以离散傅立叶变换（DFT）为基础的，它隐含着对无限长数据序列进行加窗处理（加了一个有限宽的矩形窗）。矩形窗容易造成“泄漏”效应。 为了克服以上缺点，人们提出平均、加窗平滑等办法，在一定程度上改善了经典谱估计的性能。实践证明，对于长数据记录来说，以傅立叶变换为基础的经典谱估计方法，的确是比较实用的。但是，经典方法始终无法根本解决频率分辨率和谱估计稳定性之间的矛盾，特别是在数据记录很短的情况下，这一矛盾显得尤为突出。这就促进了现代谱估计方法研究的开展。,小结,13,现代谱估计,算法基础 以随机过程或信号的的参数模型为基础,故称为参数模型法或参数法 历史沿革 从非工程领域(如实验数据和观测数据的处理、统计学) 的时间序列分析(早已有之)到工程领域的现代谱估计 现代谱估计始于60年代，经历了从线性预测滤波 最大熵谱估计(Burg,1967) 自回归谱估计方法(1968) Pisarenko谐波分解 多信号分类算法(MUSIC,1981) HOS方法,14,主要内容,经典谱估计与现代谱估计 参数模型法概述 基于AR模型的谱估计法 MA模型谱估计 ARMA模型谱估计 最小方差谱估计 基于矩阵特征分解的谱估计 高阶谱估计 空间谱估计,15,二、参数模型法概述,基本概念 信号模型,16,基本概念,通常，人们会或多或少地掌握关于被估计过程的某些先验知识，从而有可能对它作出某些合理的假定。例如，为它建立一个准确或至少近似的模型，而不必像经典谱估计方法那样主观武断地认为凡未观测到的数据都等于零。这就从根本上摈弃了对数据序列加窗的隐含假设。 以参数模型为基础的谱估计方法一般按下列3个步骤进行: （1）为被估计的随机过程确定或选择一个合理的模型。这有赖于对随机过程进行的理论分析和实验研究； （2）根据已知观测数据估计模型的参数。这涉及到对各种算法的研究。通常，模型参数的数据量比观测数据的数据量少很多，因此，为数据压缩创造了条件； （3）用估计得到的模型参数计算功率谱。 实际应用中所遇到的随机过程大多数可以用有理传输函数模型很好地逼近。,17,基本概念,参数模型法的基础:信号的参数模型(即信号模型),而信号模型又以描述信号的离散随机过程的统计特性为基础。 离散随机过程的统计描述,概率描述 统计平均描述 均值 均方差或方差 (自)相关函数与(自)协方差函数 功率谱密度（简称功率谱）函数,18,信号模型,基本考虑,思路,假设所研究的过程x(n)是由u(n)激励一个线性系统 H(z) 所产生的输出； 由已知的x(n)或其自相关函数rx(n)来估计H(z)的参数； 由H(z)的参数来估计x(n)的功率谱。,好处：对一个研究对象建模是现代工程常用的方法,使所研究的对象有一个简洁的数学表达式 通过对模型的研究，使我们对研究对象有更深入的了解,约束,H(z)是稳定因果移不变系统，单位脉冲响应是确定性的 x(n)可为平稳随机序列,亦可为确定性时间序列,取决于u(n),19,信号模型,AR模型 (自回归模型，Autogressive，全极点模型) MA模型(滑动平均模型,Moving-Average,全零点模型) ARMA模型(自回归滑动平均模型),基本模型,20,信号模型,模型与系统 信号模型不同于FIR系统和IIR系统，主要不同如下：,信号模型激励源为(白)噪声,其输出为(平稳)随机序列 信号模型具有两重性:本身是系统, 描述的是信号。 因此，对信号模型来说， - 既要研究模型的系统特性（这不是主要的） - 又要研究信号的统计特性（由模型所描述的）,平稳性与稳定性：系统稳定性与信号平稳性等价。,21,信号模型,AR模型与MA模型、ARMA模型的关系 Wold分解定理：任何一个具有有限方差的ARMA过程或MA过程都可以表示成唯一的、阶数有可能无穷大的