（新课标）高考数学第二章函数、导数及其应用2_12导数的综合应用课时规范练理新人教A版.docx

2-12 导数的综合应用课时规范练(授课提示：对应学生用书第241页)A组基础对点练1(2016高考全国卷)设函数f(x)ln xx1.(1)讨论f(x)的单调性；(2)证明当x(1，)时，1x；(3)设c1，证明当x(0,1)时，1(c1)xcx.解析：(1)由题设，f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，令f(x)0，解得x1.当0x1时，f(x)0，f(x)单调递增；当x1时，f(x)0，f(x)单调递减(2)证明：由(1)知，f(x)在x1处取得最大值，最大值为f(1)0.所以当x1时，ln xx1.故当x(1，)时，ln xx1，ln1，即1x.(3)证明：由题设c1，设g(x)1(c1)xcx，则g(x)c1cxln c，令g(x)0，解得x0ln .当xx0时，g(x)0，g(x)单调递增；当xx0时，g(x)0，g(x)单调递减由(2)知1c，故0x01.又g(0)g(1)0，故当0x1时，g(x)0.所以当x(0,1)时，1(c1)xcx.2设函数f(x)exax2.(1)求f(x)的单调区间；(2)若a1，k为整数，且当x0时，(xk)f(x)x10，求k的最大值解析：(1)f(x)的定义域为(，)，f(x)exa.若a0，则f(x)0，所以f(x)在(，)上单调递增若a0，则当x(，ln a)时，f(x)0.所以，f(x)在(，ln a)上单调递减，在(ln a，)上单调递增(2)由于a1，所以(xk)f(x)x1(xk)(ex1)x1.故当x0时，(xk)f(x)x10等价于k0)令g(x)x，则g(x)1.由(1)知，函数h(x)exx2在(0，)上单调递增而h(1)0，所以h(x)在(0，)上存在唯一的零点故g(x)在(0，)上存在唯一的零点设此零点为，则(1,2)当x(0，)时，g(x)0，所以g(x)在(0，)上的最小值为g()，又由g()0，可得e2，所以g()1(2,3)由于式等价于k1)，g(x)90，即g(x)在(1，)上单调递减，则g(x)g(1)0，即当x1时，9ln x9x.故当x1时，f(x).4(2016高考全国卷)设函数f(x)cos 2x(1)(cos x1)，其中0，记|f(x)|的最大值为A.(1)求f(x)；(2)求A；(3)证明|f(x)|2A.解析：(1)f(x)2sin 2x(1)sin x.(2)当1时，|f(x)|cos 2x(1)(cos x1)|2(1)32f(0)因此A32.当01时，将f(x)变形为f(x)2cos2x(1)cos x1.令g(t)2t2(1)t1，则A是|g(t)|在1,1上的最大值，g(1)，g(1)32，且当t时，g(t)取得极小值，极小值为g.令1.当0时，g(t)在1,1内无极值点，|g(1)|，|g(1)|23，|g(1)|g(1)|，所以A23.当0，知g(1)g(1)g.又|g(1)|0，所以A.综上，A(3)证明：由(1)得|f(x)|2sin 2x(1)sin x|2|1|.当0时，|f(x)|1242(23)2A.当1时，A1，所以|f(x)|10时，x.又xln x1，即ln x1，当且仅当x1时，等号成立2已知函数f(x)x33x2ax2，曲线yf(x)在点(0,2)处的切线与x轴交点的横坐标为2.(1)求a；(2)证明：当k0.当x0时，g(x)3x26x1k0，g(x)单调递增，g(1)k10时，令h(x)x33x24，则g(x)h(x)(1k)xh(x)h(x)3x26x3x(x2)，h(x)在(0,2)单调递减，在(2，)单调递增，所以g(x)h(x)h(2)0.所以g(x)0在(0，)没有实根综上，g(x)0在R上有唯一实根，即曲线yf(x)与直线ykx2只有一个交点3(2017邢台摸底考试)已知函数f(x)axex(e为自然对数的底数)(1)当a时，求函数f(x)的单调区间及极值；(2)当2ae2时，求证：f(x)2x.解析：(1)当a时，f(x)xex.令f(x)ex0，得x1，当x1时，f(x)0；当x1时，f(x)0，所以，函数f(x)的单调递增区间为(，1)，单调递减区间为(1，)，当x1时，函数f(x)有极大值，没有极小值(2)证明：令F(x)2xf(x)ex(a2)x，当a2时，F(x)ex0，所以f(x)2x.当2a2e时，F(x)ex(a2)exeln(a2)，当xln(a2)时，F(x)0；当xln(a2)时，F(x)0，所以F(x)在(，ln(a2)上单调递减，在(ln(a2)，)上单调递增，所以F(x)F(ln(a2)eln(a2)(a2)ln(a2)(a2)1ln(a2)因为2a2e，所以a20,1ln(a2)1ln(2e)20，所以F(x)0，即f(x)2x，综上，当2ae2时，f(x)2x.4(2017开封模拟)已知函数f(x)xln xax(aR)(1)若函数f(x)在区间e2，)上为增函数，求a的取值范围；(2)若对任意x(1，)，f(x)k(x1)axx恒成立，求正整数k的值解析：(1)由f(x)xln xax，得f(x)ln xa1，函数f(x)在区间e2，)上为增函数，当xe2，)时，f(x)0，即ln xa10在区间e2，)上恒成立，a1ln x.当xe2，)时，ln x2，)，1ln x(，3a3.(2)若对任意x(1，)，f(x)k(x1)axx恒成立，即xln xaxk(x1)axx恒成立，也就是k(x1)xln xaxaxx恒成立，x(1，)，x10，则问题转化为k对任意x(1，)恒成立设函数h(x)，则h(x)，再设m(x)xln x2，则m(x)1.x(1，)，m(x)0，则m(x)xln x2在(1，)上为增函数，m(1)1ln 121，m(2)2ln 22ln 2，m(3)3ln 321ln 30，m(4)4ln 422ln 40，x0(3,4)，使m(x0)x0ln x020.当x(1，x0)时，m(x)0，h(x)0，当x(x0，)时，m(x)0，h(x)0，h(x)在(1，x0