高考数学第四章三角函数、平面向量与复数第22讲简单三角恒等变换练习文.docx

第22讲简单三角恒等变换夯实基础【p52】【学习目标】1能利用两角和与差以及二倍角的正弦、余弦、正切公式进行简单的恒等变换；2掌握常用的变换的思路：变换角，变换函数名与次幂，变换解析式结构【基础检测】1计算coscossinsin的值为()A. B. C. D1【解析】由两角和与差的余弦公式得coscossinsincoscos，选B.【答案】B2已知tan 2，则3sin2cos sin 1()A3 B3 C4 D4【解析】3sin2cos sin 14sin2cos sin cos23.【答案】A3计算的值是()A. B. C. D.【解析】，故选D.【答案】D4若2 020，则tan 2()A2 021 B2 020 C2 019 D2 018【解析】tan 22 020.【答案】B【知识要点】三角变换的基本题型化简、求值和证明(1)化简三角函数式化简的一般要求：三角函数种数尽量少；项数尽量少；次数尽量低；尽量使分母不含三角函数式；尽量使被开方数不含三角函数式；能求出的值应尽量求出值依据三角函数式的结构特点，常采用的变换方法：弦切互化、异角化同角；异名化同名；异次化同次；降幂或升幂(2)求值常见的有给角求值，给值求值，给值求角给角求值的关键是正确地分析角(已知角和未知角)之间的关系，准确地选用公式，注意转化为特殊值给值求值的关键是分析已知式与待求式之间角、名称、结构的差异，有目的地将已知式、待求式的一方或两方加以变换，找出它们之间的联系，最后求待求式的值给值求角的关键是求出该角的某一三角函数值，讨论角的范围，求出该角(3)证明它包括无条件的恒等式和附加条件的恒等式的证明无条件恒等式的证明，证明时要认真分析等式两边三角函数式的特点，角度、函数、结构的差异，一般由繁的一边往简的一边证，逐步消除差异，最后达到统一，对于较难的题目，可以用分析法帮助思考，或分析法和综合法联用有附加条件的恒等式的证明，关键是恰当地利用附加条件，要认真分析条件式和结论式中三角函数之间的联系，从分析过程中寻找条件等式向待证等式转化的途径典 例 剖 析【p52】考点1三角函数求值(1)sin cos 的值为()A0 B C2 D.【解析】sin cos 22sin2sin.【答案】B(2)若是第四象限角，且cos ，则tan 2()A B C. D.【解析】由题意有： sin ，tan ，结合二倍角公式： tan 2.故选C.【答案】C(3)化简：sin 50的值为_【解析】sin 501.【答案】1【小结】1.已知切求弦，则可切化弦；已知弦求切，则弦化切，但弦化切需为齐次式2注意角的变形3三角函数式的化简要遵循“三看”原则，一看角，二看名，三看式子结构特征4三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点考点2三角函数化简化简：sin2sin2cos2cos2cos 2cos 2.【解析】法一：(复角单角，从“角”入手)原式sin2sin2cos2cos2(2cos21)(2cos21)sin2sin2cos2cos2(4cos2cos22cos22cos21)sin2sin2cos2cos2cos2cos2sin2sin2cos2sin2cos2sin2cos21.法二：(从“名”入手，异名化同名)原式sin2sin2(1sin2)cos2cos 2cos 2cos2sin2(cos2sin2)cos 2cos 2cos2sin2cos 2cos 2cos 2cos2cos 2cos 2cos 2.法三：(从“幂”入手，利用降幂公式先降次)原式cos 2cos 2(1cos 2cos 2cos 2cos 2)(1cos 2cos 2cos 2cos 2)cos 2cos 2.法四：(从“形”入手，利用配方法，先对二次项配方)原式(sin sin cos cos )22sin sin cos cos cos 2cos 2cos2()sin 2sin 2cos 2cos 2cos2()cos(22)cos2()2cos2()1.【小结】三角函数化简一般先看角的变换，再看三角函数名的变换，然后是幂及解析式结构的变换，并要注意它们的综合应用考点3三角恒等式的证明(1)已知锐角，满足sin ，cos ，证明：.【解析】由sin ，cos 且，为锐角，可知cos ，sin ，故cos()cos cos sin sin ，又0，故.(2)已知方程x23ax3a10(a1)的两根分别为tan 、tan ，且、，证明：.【解析】依题意有tan()1.又tan 0且tan 0.0且0，即0，结合tan()1，得.(3)已知，都是锐角，且3sin22sin21，3sin 22sin 20，求证：2.【解析】法一：由已知可得3sin2cos 2，3sin 22sin 2，两式相除，得tan tan.，为锐角，0，02，20，2，2，即2.法二：由已知可得3sin2cos 2，3sin 22sin 2，sin(2)sin cos 2cos sin 2sin 3sin2cos sin 23sin (sin2cos2)3sin ，又由得3sin cos sin 2，22得9sin49sin2cos21，sin ，即sin(2)1，又02，可知2.法三：由已知可得3sin2cos 2，3sin 22sin 2，cos(2)cos cos 2sin sin 2cos 3sin2sin sin 23sin2cos sin 3sin cos 0，又由02，可知2.【小结】通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，有以下原则：(1)已知正切函数值，则选正切函数(2)已知正弦、余弦函数值，则选正弦或余弦函数若角的范围是，则选正弦、余弦皆可；若角的范围是(0，)，则选余弦较好；若角的范围为，则选正弦较好【能力提升】已知tan，tan是方程x2pxq0的二根，求证：pq0.【解析】由根与系数的关系有ptan ，qtantan，pqtantan0.故原等式成立【小结】不论是三角函数式的化简还是恒等证明，观察分析题设三角函数式的结构特征十分重要，主要从三个方面入手：其一是三角函数“名称、种类”，若正弦、余弦、正切均有，一般需要“化弦”；其二是三角函数的“次数”，若次数较高，则需“降次”；其三是角的种类，若角的种类较多，则需“化异角为同角”方 法 总 结【p53】1三角函数的求值与化简要注意观察角、函数名称、式子结构之间的联系，然后进行变换2利用三角函数值求角要考虑角的范围3与三角函数的图象与性质相结合的综合问题借助三角恒等变换将已知条件中的函数解析式整理为f(x)Asin(x)的形式，然后借助三角函数图象解决走 进 高 考【p53】1(2018浙江)已知角的顶点与原点O重合，始边与x轴的