ch2控制系统数学模型.pptVIP

第二章 控制系统的数学模型,2-1 时域数学模型（微分方程）,2-2 复域数学模型（传递函数）,2-3 系统的结构图与信号流图,本章内容及重点：,主要内容：建模：微分方程和传递函数， 结构图和信号流图,重点：掌握建立系统微分方程和传递函数模型的方法，掌握从结构图和信号流图计算系统传递函数的方法和步骤。,1.定义：数学模型是指系统内部物理量（或变量）之间关系的数学表达式。,2.建立数学模型的目的 建立系统的数学模型，是分析和设计控制系统的首要工作（或基础工作）。 自控系统的组成可以是电气的、机械的、液压或气动的等等，然而描述这些系统发展的模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研究自动控制系统，可以摆脱各种不同类型系统的外部特征，研究其内在的共性运动规律。,一.数学模型的有关问题：,建模,3.建模方法,微分方程（或差分方程） 传递函数（或结构图） 频率特性 状态空间表达式（或状态模型）,5.由数学模型求取系统性能指标的主要途径,4.常用数学模型,微分方程的列写步骤：,1）确定系统的输入、输出变量,引入适当中间变量； 2）从输入端开始，按照信号的传递顺序，根据各变量所遵循的物理或化学规律，写出各微分方程； 3）消去中间变量，写出输入、输出变量之间的微分方程； 4）整理变换成标准形式。,二.时域数学模型（微分方程）,试列写质量m在外力F作用下位移y(t)的运动方程。,例1 图为机械位移系统。,例2 如图RLC电路，试列写以ur(t)为输入量，uc(t)为输出量的网络微分方程。,整理得:,解: 阻尼器的阻尼力: 弹簧弹性力:,解:,传递函数的定义,线性定常系统在零初始条件下，输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比，称为传递函数，用G(s)表示。,三.复域数学模型（传递函数）,1.一般形式： 设线性定常系统（元件）的微分方程是：,其中：c(t)为系统的输出，r(t)为系统输入，则零初始条件下，对上式两边取拉氏变换，得到系统传递函数为：,例 如图RLC电路，试列写网络传递函数 Uc(s)/Ur(s).,解:1)零初始条件下取拉氏变换：,传递函数：,2)变换到复频域来求。,1) 传递函数是复变量S的有理真分式函数，分子多项式的次数m 低于或等于分母多项的次数n，所有系数均为实数； 2) 传递函数只取决于系统和元件的结构，与输入信号无关； 3) 传递函数与微分方程有相通性，可经简单置换而转换； 4) 传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应。 5) 传递函数是在零初始条件下定义的，它只反应系统的零状态特性；零初始条件含义要明确。,2.传递函数的性质,1.定义：传递函数分子多项式与分母多项式经因式分解可写为如下形式：,K称为传递系数或增益，在频率法中使用较多。,3.传递函数的零点和极点形式,零、极点分布图。,传递函数分子多项式与分母多 项式也可分解为如下形式：,传递函数分子多项式的根zi称为传递函数的零点；分母多项式的根pj称为传递函数的极点。K*称为传递系数或根轨迹增益。,例 具有相同极点不同零点的两个系统 ,它们零初始条件下的单位阶跃响应分别为,极点决定系统响应形式（模态），零点影响各模态在响应中 所占比重。,2. 传递函数的零点和极点对输出的影响,比例环节 : G(s)=K 积分环节 : G(s)=1/s 微分环节 G(s)=s,3.典型环节的传递函数,惯性环节: 一阶微分环节: 振荡环节 :,1）比例环节:其输出量和输入量的关系，由下面的代数方程式来表示,特点：输入输出量成比例，无失真和时间延迟。,3.典型环节的传递函数,实例：电子放大器，齿轮，电阻(电位器)，感应式变送器等。,2）惯性环节:其输出量和输入量的关系，由下面的常系数非齐次微分方程式来表示,特点：含一个储能元件，对突变的输入,其输出不能立即发现，输出无振荡。 实例：RC网络，直流伺服电动机的传递函数也包含这一环节。,y(t),r(t),3）积分环节:其输出量和输入量的关系，由下面的微分方程式来表示,传递函数为：,特点：输出量与输入量的积分成正比例，当输入消失，输出具有记忆功能。 实例：电动机角速度与角度间的传递函数，模拟计算机中的积分器等。,4）微分环节：是积分的逆运算，其输出量和输入量的关系，由下式来表示,特点：输出量正比输入量变化的速度，能预示输入信号的变化趋势。 实例：测速发电机输出电压与输入角度间的传递函数即为微分环节。,5）振荡环节：其输出量和输入量的关系，由下面的二阶微分方程式来表示。,传递函数为：,特点：环节中有两个独立的储能元件，并可进行能量交换，其输出出现振荡。 实例：RLC电路的输出与输入电压间的传递函数。,6）延迟环节：其输出量和输入量的关系，由下式来表示,特点：输出量能准确复现输入量，但须延迟一固定的时间间隔。 实例：管道压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节。,以上6种是常见的基本典型环节的数学模型,1）是按数学模型的共性建立的，与系统元件不是一一对应的； 2）同一元件，取不同的输入输出量，有不同的传递函数； 3）环节是相对的，一定条件下可以转化； 4）基本环节适合线性定常系统数学模型描述。,线性定常微分方程的求解：经典法、拉氏变换法。,四.时域响应的求解,拉氏变换法求解步骤： 1. 考虑初始条件，对微分方程中的每一项分别进行拉氏变换，得到变量s的代数方程； 2. 求出输出量拉氏变换函数的表达式； 3. 对输出量拉氏变换函数求反变换，得到输出量的时域表达式，即为所求微分方程的解。,例 已知R1=1，C1=1F，uc(0)=0.1v, ur(t)=1(t)，求 uc(t),解：,零初始条件下取拉氏变换：,例:已知R1=1,C1=1F, 1)求零状态条件下阶跃响应uc(t) ； 2)uc(0)=0.1v， ur(t)=1(t)，求 uc(t) ; 3）求脉冲响应g(t)。,对上式进行拉氏反变换：,解: 1）,3）,2）,(传递函数的拉氏反变换是系统的脉冲响应),线性定常系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是常数。,线性系统的重要性质：满足叠加性和均匀性（齐次性）。即： 如果输入r1(t)输出y1(t)，输入r2(t)输出y2(t) 则输入a r1(t)+b r2(t) 输出a y1(t)+by2(t),1.线性系统用线性微分方程描述。,线性时变系统：用线性微分方程描述，微分方程的系数是随时间 而变化的。,2.非线性系统：用非线性微分方程描述。,五. 线性系统与非线性系统,3. 非线性元件微分方程的线性化,小偏差线性化：用台劳级数展开，略去二阶以上导数项。 1).假设：x,y在平衡点（x0,y0)附近变化，x=x0+x, y=y0+y,2).近似处理,略去高阶无穷小项,严格地说，实际控制系统的某些元件含有一定的非线性特性，而非线性微分方程的求解非常困难。如果某些非线性特性在一定的工作范围内，可以用线性系统模型近似，称为非线性模型的线性化。,3).数学方法,具有两个以上输入量的非线性系统线性化处理方法与前述方法相似。,求线性化微分方程的步骤 按物理和化学定律，列出系统的原始方程式，确定平衡点处各变量的数值。 找出原始方程式中间变量与其它因素的关系，若为非线性函数，在原平衡点邻域内，各阶导数存在并且是唯一的，则可进行线性化处理。 将非线性特性展开为泰勒级数，忽略偏差量的高次项，留下一次项，求出它的系数值。 消去中间变量，在原始方程式中，将各变量用平衡点的值用偏差量来表示。,注意： （1）线性化方