变异函数及结构分析.pptVIP

地统计学的工具,第四章 变异函数及结构分析,一、协方差函数的计算公式,第一节 协方差函数和变异函数的性质,设区域化变量Z(x)满足(准)二阶平稳假设，h为两样本点空间分隔距离，Z(xi)与Z(xi+h)分别是Z(x)在空间位置xi和xi+h上的观测值(i=1,2,N(h),则计算协方差的公式为：,协方差函数曲线图：以h为横坐标，C#(h)为纵坐标作图,二、协方差函数的性质,区域化变量Z(x)在二阶平稳假设下，其协方差函数存在且平稳，定义为,1.C(0) = VarZ(x) 0，即先验方差不能小于零,2.C(h) =C(-h) ，即C(h)对h=0的直线对称，是一个偶函数,证：,令x-h=y，则x=y+h，带入上式得,图形特征及含义,3.|C(h)| C(0) ，即协方差函数绝对值小于等于先验方差,证：,4.|h|时,C(h) 0，或写作C() =0，即当空间距离很大时，协方差函数值很小,意义(空间局限性)：当距离很大时，Z(x)和Z(x+h)之间的线性相关基本不存在,5.C(h)必须是一个非负定函数，由C(xi-xj）构成的协方差函数矩阵必须是非负定矩阵,正定条件(positive definite condition),区域化变量Z(x)二阶平稳，其数学期望为m，协方差为C(h),变异函数为(h)，令Y是该类型区域化变量的任意有限线性组合，即：,较难理解,则由C(xi-xj）(i,j=1,2n)构成的协方差函数矩阵是非负定矩阵，即C(h)为非负定函数,二阶平稳区域化变量的协方差函数是有条件的,三、实验(经验)变异函数(experimental variogram)的计算公式,设区域化变量Z(x)满足(准)二阶平稳条件或(准)本征假设，h为两样本点空间分隔距离，Z(xi)与Z(xi+h)分别是Z(x)在空间位置xi和xi+h上的观测值(i=1,2,N(h),则计算实验变异函数的公式为：,变异函数曲线图：以h为横坐标， #(h)为纵坐标作图,变异函数计算实例,（1）一维变异函数的计算,以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔距离h=1米，计算 #(h),两方面理解：变异性的理解与相关性的理解,作业：,以下为一研究对象在水平方向上的采样数据，满足二阶平稳或本征假设，采样值如图所示，点间分隔距离h=1米，计算 #(1), #(2), #(3),（2）二维变异函数的计算,下图为正方形网格状的采样数据，*号处为无数据点，点间距离h为100米，请分别计算南北、东西、西北和东南方向上的变异函数值。,西北和东南方向上的变异函数值的计算，注意分隔距离h的确定和样本数据对的查找,作业：,下图为正方形网格状的采样数据，网格交叉空白处为无数据点，点间距离h为a米，请分别计算南北方向 #(a), 西北东南方向上 #( a)。,四、变异函数的性质,区域化变量Z(x)满足二阶平稳或本征假设条件，则变异函数存在且平稳，计算公式为,1. (0) = 0，即在h=0时，变异函数为零,2. (h) = (-h) ，即(h)对h=0的直线对称，是一个偶函数,3. (h) 0,即研究现象的变异性只能大于或等于零,4.|h|时, (h) C(0)，或写作() =C(0)，即当空间距离很大时，变异函数值接近先验方差,5.- (h)必须是一个条件非负定函数，即由- (xi-xj)构成的变异函数矩阵必须是条件非负定矩阵。,区域化变量Z(x)二阶平稳，其数学期望为m，协方差为C(h),变异函数为(h)，令Y是该类型区域化变量的任意有限线性组合，即：,区域化变量Z(x)的 变异函数(h)是有条件的，即需满足条件非负定条件,五、协方差函数与变异函数的关系,协方差函数和变异函数的曲线图,问题：为什么只画出了h0的关系图？,当h足够大(即存在a0，当ha)时，可以使C(h) =0,(h)=C(0),a称为变程(range),1、变程a表示区域化变量从存在空间相关状态(当|h| a时)的转折点,2、变程a的大小反映区域化变量影响范围的大小，或说反映该变量自相关范围的大小。也可说变程a是区域化变量空间变异尺度或空间自相关尺度,变程a的意义：,第二节 变异函数的功能,一、变异函数通过“变程”反映变量的影响范围 变异函数的跃迁现象,变异函数(h)是一个单调递增函数，当h超过某一数值(变程a)后， (h)不再继续单调地增大，而往往稳定在一个极限值() 附近，这种现象称为“跃迁现象”(transition phenomena),()极限值称为基台值(sill),即C(0)【二阶平稳条件】，基台值的大小反映变量变化幅度的大小,凡具有一个变程a和一个基台值的变异函数，称为“跃迁型”的变异函数,“变程”反映变量的影响范围(图示）,二、不同方向上的变异函数图可反映区域化变量的各向异性 变异函数表示的各向异性,如果在各个方向上区域化变量的变异性相同或相近，则称区域化变量是各向同性的，反之称为各向异性,通过作出各个方向上的变异函数图，并放到一起来比较、分析、研究，就可以确定区域化变量的各向异性（包括有无各向异性，及各向异性的类型等）,三、块金常数C0的大小可反映区域化变量的随机性大小 变异函数的块金效应,当h=0时，变异函数(h)0，而等于一个常数C0 ，这种现象称为“块金效应”(nugget effect), C0称为块金常数或块金方差(nugget variance),块金效应的图形表示,“块金效应” 主要有两种来源：,1、区域化变量在小于抽样尺度h时所具有的变异性,2、采样分析误差,当样点间的距离大于微域结构的范围，或样点的大小大于微域结构的范围就会出现块金效应（Webester，1985）,四、变异函数在原点处的性状可反映区域化变量的空间连续性,变异函数在原点处的性状主要有五种类型，每种类型反映了变量的不同程度的空间连续性,1、抛物线型（parabolic type）,当|h|0时, (h)A|h|2(A为常数)，即变异函数曲线在原点处趋向一条抛物线，反映区域化变量是具有高度连续性的，如矿层厚度,2、线性型（linear type）,当|h|0时, (h)A|h|(A为常数)，即变异函数曲线在原点处趋向一条直线，或说在原点处有斜向的切线存在，反映区域化变量是具有平均的连续性，如金属品位,3、间断型（discontinuous type）,当|h|0时, (h)C0，即变异函数曲线在原点处间断，说明块金效应存在，又称“块金效应型”，反映区域化变量的连续性很差，但当h增大时，(h) 又变的较为连续了，如金品位,4、随机型（random type）,这种变异函数可看成具有基台值C0和无穷小变程a的跃迁型变异函数，则无论h多小，h总大于a，故Z(x)与Z(x+h)总是互不相关,又称纯块金效应型，反映了区域化变量完全不存在空间相关的情况，则本质上此区域化变量为普通随机变量,此时，C0=C(0),5、过渡型：介于抛物线型和随机型间,当|h|0时, (h)C0，即有块金效应； 当|h|=a时, (a)=C(0)，即有基台值(C0+C)和变程a,C称为“拱高”,过渡型是实际研究工作中最常遇到的一种类型,第三节 变异函数的理论模型,思考：是否有了采样数据及变异函数计算公式就可以获知任意距离h的区域化变量变异性？,设Z(x)具有各向同性的变异函数 (h)，则常见的变异函数模型如下：,变异函数的理论模型,有基台值模型,无基台值模型,可以有或无基台值模型：孔穴效应模型,球状模型、指数模型,高斯模型,线性有基台模型,纯块金效应模型,幂函数模型,对数模型,线性无基台模型,一、有基台值模型,1、球状模型（spherical model）,若模型满足二阶平稳假设，且有有限先验方差， (h)值随h的变大而增大，当h达一定值(ha)时，(h)达到一定值基台值，则称此类模型为有基台值模型,式中：C0为块金常数，(C0+C)为基台值，C为拱高，a为变程,当C0=0，C=1，称为标准球状模型，其图形为：,原点处切线的斜率为3/2a,与基台值线交点的横坐标为2a/3,球状模型是地统计学应用最广的理论模型，许多区域化变量的理论模型都可以用球状模型来拟合,2、指数模型（exponential model）,式中：C0，C意义同前，但a不是变程,当C0=0，C=1，称为标准指数模型，其图形为：,由于1-e-3=1-0.05=0.951，则变程为3a,3、高斯模型（gaussian model）,式中：C0，C意义同前，但a不是变程,由于1-e-3=1-0.05=0.951，则变程为3 a,当C0=0，C=1，称为标准高斯函数模型，其图形为：,三种模型的比较,4、线性有基台值模型（linear with sill model）,式中：C0，C意义同前，A为常数，表示直线的斜率，变程为a,5、纯块金效应模型（pure nugget effect model）,此时，C0=C(0),此种模型意味着区域化变量为随机分布，样点间的协方差函数对于所有距离h均等于0，即变量不存在空间相关性,二、无基台值模型,1、幂函数模型（power model）,若与模型相应的区域化变量不满足二阶平稳假设，仅满足本征假设，(h)值随h的变大而增大，但不能达到一定值，即无基台值，则称此类模型为无基台值模型,当改变参数时，可以表示原点处的各种性状,2、线性无基台值模型（linear without sill model）,3、对数模型（power model）,三、孔穴效应模型(hole effect model),当变异函数(h)在大于一定距离后，并非单调递增，而具有一定周期波动，此种模型称为孔穴效应模型,第四节 变异函数的结构分析,一、结构分析、套合结构概念,采样数据,计算#(h),试验变异函数曲线,对区域化变量进行分析,合适的理论模型,实际中区域化变量的变化性很复杂：(1)可能在不同方向上有不同的变异性；(2)在同一方向上包含不同尺度上的多层次的变异性,这么复杂！？,矿床或矿体的变异性往往由多种原因引起,采样、样品制备及分析等过程所产生的误差,原因,矿物成分的变化，如金矿等品位变化剧烈的矿床上尤为明显,矿层与夹层的交替变化,矿床分布引起的变异,0,1n cm,米至百米,公里,尺度,不同原因引起的变异特性，其变异尺度的大小不同,显然，大尺度的变异总是包含着小尺度的变异，小尺度的变异在大尺度变异曲线上只能作为“块金效应”出现,土壤的空间变异性与土壤母质、气候、水文、地形和生物等因素相关,h0,h1m,h100m,取样和测定误差,+其它因素，如水分,+地形影响,合适的理论模型！？,结构分析,结构分析:就是构造一个变异函数模型对于全部有效结构信息作定量化的概括，以表征区域化变量的主要特征。,结构分析的主要方法:套合结构,套合结构(nested structure):就是把分别出现在不同距离h上和(或）不同方向上同时起作用的变异性组合起来,套合结构表达式:套和结构可以表示为多个变异函数