2018届高三数学一轮复习复数算法推理与证明第四节直接证明和间接证明课件理.pptx

理数 课标版,第四节 直接证明和间接证明,1.直接证明,教材研读,2.间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法,反证法是一种常用的间 接证明方法. (1)反证法的定义:假设原命题 不成立 (即在原命题的条件下,结论 不成立),经过正确的推理,最后得出 矛盾 ,因此说明假设错误,从 而证明 原命题成立 的证明方法. (2)用反证法证明的一般步骤:(i)反设假设命题的结论不成立;(ii)归 谬根据假设进行推理,直到推出矛盾为止;(iii)结论断言假设不 成立,从而肯定原命题的结论成立.,3.数学归纳法的步骤 (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值 n0(n0N*) 时命题成立; (2)(归纳递推)假设 n=k (kn0,kN*)时命题成立,证明当n= k+1 时命题也成立. 只要完成以上两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都 成立.,1.用分析法证明时出现:欲使AB,只需CD,这里是的 ( ) A.充分条件 B.必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 B 由题意可知,应用,故是的必要条件.,2.用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”,假设 正确的是 ( ) A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角都大于60度 C.假设三个内角至多有一个大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 答案 B 根据反证法的定义,假设是对原命题结论的否定,故假设三个 内角都大于60度.故选B.,3.设a,b,c都是正数,则a+ ,b+ ,c+ 三个数 ( ) A.都大于2 B.都小于2 C.至少有一个不大于2 D.至少有一个不小于2 答案 D + + = + + 6, 当且仅当a=b=c时取等号, 三个数中至少有一个不小于2.,4.已知点An(n,an)为函数y= 图象上的点,Bn(n,bn)为函数y=x图象上的 点,其中nN*,设cn=an-bn,则cn与cn+1的大小关系为 . 答案 cncn+1 解析 由题意知,an= ,bn=n, cn= -n= . 显然,cn随着n的增大而减小, cncn+1.,5.用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1时,左 边表达式是 ;从kk+1需增添的项是 . 答案 1+2+3;4k+5(或(2k+2)+(2k+3) 解析 用数学归纳法证明等式1+2+3+(2n+1)=(n+1)(2n+1)时,当n=1 时,2n+1=3,所求左边表达式是1+2+3;从kk+1需增添的项是4k+5(或(2k +2)+(2k+3).,考点一 综合法 典例1 (2016天津,18,13分)已知an是各项均为正数的等差数列,公差 为d.对任意的nN*,bn是an和an+1的等比中项. (1)设cn= - ,nN*,求证:数列cn是等差数列; (2)设a1=d,Tn= (-1)k ,nN*,求证: .,考点突破,证明 (1)由题意得 =anan+1,有cn= - =an+1an+2-anan+1=2dan+1,因此cn+1-cn= 2d(an+2-an+1)=2d2,所以cn是等差数列. (2)Tn=(- + )+(- + )+(- + ) =2d(a2+a4+a2n) =2d =2d2n(n+1). 所以 =,= = .,方法技巧 用综合法证明是从已知条件出发,逐步推向结论,综合法的适用范围:(1) 定义明确的问题,如判断函数的单调性、奇偶性;(2)已知条件明确,并且 容易通过分析和应用条件逐步逼近结论的题型,在使用综合法证明时, 易出现的错误是因果关系不明确,逻辑混乱. 1-1 设a,b,c0,证明: + + a+b+c. 证明 因为a,b,c0,根据基本不等式, 有 +b2a, +c2b, +a2c, 三式相加, + + +a+b+c2(a+b+c), 即 + + a+b+c.,1-2 (2016山东临沂模拟)在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知 sin Asin B+sin Bsin C+cos 2B=1. (1)求证:a,b,c成等差数列; (2)若C= ,求证:5a=3b. 证明 (1)由已知得sin Asin B+sin Bsin C=2sin2B, 因为sin B0,所以sin A+sin C=2sin B, 由正弦定理,有a+c=2b,即a,b,c成等差数列. (2)由C= ,c=2b-a及余弦定理得,(2b-a)2=a2+b2+ab,即有5ab-3b2=0, 所以 = ,即5a=3b.,考点二 分析法 典例2 已知函数f(x)=3x-2x,求证:对于任意的x1,x2R,均有 f . 证明 要证明 f , 即证明 -2 , 因此只要证明 -(x1+x2) -(x1+x2), 即证明 , 因此只要证明 ,由于x1,x2R,所以 0, 0,由基本不等式知 成立,故原结论成立.,方法技巧 (1)分析法采用逆向思维,当已知条件与结论之间的联系不够明显、直 接,或证明过程中所需要用的知识不太明确、具体时,往往采用分析法, 特别是含有根号、绝对值的等式或不等式,从正面不易推导时,常考虑 用分析法.(2)应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可 逆的,它的常用书面表达形式为“要证只需要证”或“ ”.注意用分析法证明时,一定要严格按照格式书写. 2-1 已知 ABC的三个内角A,B,C成等差数列,A,B,C的对边分别为a,b, c.求证: + = .,证明 要证 + = ,即证 + =3, 也就是 + =1, 只需证c(b+c)+a(a+b)=(a+b)(b+c), 需证c2+a2=ac+b2, 又ABC的三个内角A,B,C成等差数列,故B=60, 由余弦定理,得,b2=c2+a2-2accos 60, 即b2=c2+a2-ac, 故c2+a2=ac+b2成立. 于是原等式成立.,考点三 反证法 典例3 (2015湖南,16,6分)设a0,b0,且a+b= + .证明: (1)a+b2; (2)a2+a0,b0,得ab=1. (1)由基本不等式及ab=1,有a+b2 =2,即a+b2. (2)假设a2+a0得0a1;同理,0b 1,从而0ab1,这与ab=1矛盾.故a2+a2与b2+b2不可能同时成立.,易错警示 用反证法证明不等式要把握三点:(1)必须先否定结论,即肯定结论的反 面;(2)必须从结论的反面出发进行推理,即应把结论的反面作为条件,且 必须依据这一条件进行推证;(3)推导出的矛盾可能多种多样,有的与已 知条件矛盾,有的与假设矛盾,有的与基本事实矛盾等,且推导出的矛盾 必须是明显的. 3-1 已知f(x)=ax2+bx+c,若a+c=0,f(x)在-1,1上的最大值为2,最小值为- .求证:a0且 2. 证明 假设a=0或 2. (1)当a=0时,由a+c=0,得f(x)=bx,由题意得b0, f(x)=bx在-1,1上是单调函数, 所以f(x)在-1,1上的最大值为|b|,最小值为-|b|, 由已知条件,得|b|+(-|b|)=2- =- , 这与|b|+(-|b|)=0相矛盾,所以a0. (2)当 2时,a0,由二次函数f(x)的图象的对称轴为x=- ,知f(x)在-1, 1上是单调函数,故其最值在区间的端点处取得. 所以 或 又a+c=0,则b不存在,所以 2.,由(1)(2),得a0且 2.,考点四 数学归纳法 典例4 已知数列an的各项均为正数,bn=n an(nN+),e为自然对 数的底数.计算 , , ,由此推测计算 的公式,并给出证明. 解析 =1 =1+1=2; = =22 =(2+1)2=32; = =323 =(3+1)3=43. 由此推测: =(n+1)n.(*),下面用数学归纳法证明(*). (1)当n=1时,左边=右边=2,(*)成立. (2)假设当n=k时,(*)成立,即 =(k+1)k. 当n=k+1时,bk+1=(k+1) ak+1,由归纳假设可得 = =(k+1)k(k+1) =(k+2)k+1. 所以当n=k+1时,(*)也成立. 根据(1)(2),可知(*)对一切正整数n都成立.,易错警示 使用数学归纳法需注意的问题: 数学归纳法证明中的两个步骤体现了递推思想,第一步是递推的基础, 第二步是递推的依据,两个步骤缺一不可,否则就会导致错误. (1)第一步中,验算n=n0中的n0不一定为1,根据题目要求,有时可为2或3等. (2)第二步中,证明n=k+1时命题成立的过程中,一定要用到归纳假设,掌 握“一凑假设,二凑结论”的技巧.由k到k+1的证明中寻找由k到k+1的 变化规律是难点,突破难点的关键是掌握由k到k+1的证明方法.在运用 归纳假设时,应分析P(k)与P(k+1)的差异及联系,利用拆、添、并、放、 缩等方法,或从P(k)出发拼凑P(k+1),或从P(k+1)中分离出P(k),再进行局 部调整;也可考虑寻求二者的“结合点”,以便顺利过渡,切实掌握“观 察归纳猜想证明”这一特殊到一般的推理方法.,4-1 已知等差数列an的公差d大于0,且a2,a5是方程x2-12x+27=0的两 根,数列bn的前n项和为Tn且Tn=1- bn. (1)求数列an,bn的通项公式; (2)设数列an的前n项和为Sn,试比较 与Sn+1的大小,并说明理由. 解析 (1)由已知得 又因为an的公差大于0, 所以a5a2,所以a2=3,a5=9, 所以d= = =2,a1=1,所以an=2n-1. 因为Tn=1- bn, 所以b1= , 当n2时,Tn-1=1- bn-1, 因为bn=Tn-Tn-1=1- bn- , 化简,得bn= bn-1, 所以bn是首项为 ,公比为 的等比数列, 故bn= = .,所以an=2n-1,bn= . (2)因为Sn= n=n2, 所以Sn+1=(n+1)2, 以下比较 与Sn+1的大小: 当n=1时, = ,S2=4, 所以 S2, 当n=2时