§1.1随机事件、频率与概率.ppt

概率论与数理统计,南昌大学理学院 数学系,2,概率论的研究内容,概率论是数学的一个分支，它从数量侧面研究随机现象的规律性。 何为随机现象？ 自然界和人类社会中无时无刻不在发生着许许多多的现象，这些现象大体可以分为两类： 确定性现象和随机现象。,3,1 确定性现象,在一定条件下必然出现（或必然不出现）某种结果的现象叫确定性现象。 确定性 例如， (1) 在标准大气压下，纯水加热到100时必然会沸腾 ； (2) 在以地球为参照系下，太阳从东方升起，从西方落下。 (3) 在离地面一定高度抛一石块，会落到地面上,4,2 随机现象,在一定的条件下，可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果，而且在事先无法预知确切结果的现象，称为随机现象。 偶然性 例如， (1) 从一定高度掷一枚硬币，可能正面朝上，也可能反面朝上； (2) 从一批含有两件次品的产品中任意抽出3件，取到次品的件数可能为0，1，2 ； (3) 某时间段车站等车人数； (4) 新生的婴儿的性别。,5,3 随机现象的规律性,对于随机现象，就每次观察而言，其结果的出现具有偶然性； 经过人们长期的实践和深入观察，发现在保持基本条件不变的情况下，经过大量重复观察时，所得的结果呈现某种规律性。 例如， (1) 多次重复掷一均匀的硬币，得到正面朝上的次数大约占总投掷次数的一半; (2) 多次测量一物体的长度，其测量结果的平均值随着测量次数的增加，逐渐稳定于某一常数 。,6,种种事实表明，随机现象也有其规律性，它可以在相同条件下的大量重复观察下呈现出来。 这种规律性称为随机现象的统计规律性。 概率论就是研究这些随机现象统计规律性的学科。,7,概率论的起源和发展,概率论的起源与赌博问题有关。16世纪，意大利的学者吉罗拉莫卡尔达诺 (Girolamo Cardano, 1501-1576) 开始研究掷骰子等赌博中的一些简单问题。 17世纪中叶，法国宫廷贵族里盛行着掷骰子游戏，游戏规则是玩家连续掷 4 次骰子，如果其中没有 6 点出现，玩家赢，如果出现一次 6 点，则庄家赢。按照这一游戏规则，从长期来看，庄家扮演赢家的角色，而玩家大部分时间是输家，因为庄家总是要靠此为生的，因此当时人们也就接受了这种现象。,8,后来为了使游戏更刺激，游戏规则发生了些许变化，玩家这回用 2 个骰子连续掷 24 次，不同时出现2个6点，玩家赢，否则庄家赢。当时人们普遍认为，2 次出现 6 点的概率是一次出现 6 点的概率的 1 / 6 ，因此 6 倍于前一种规则的次数，也既是 24 次赢或输的概率与以前是相等的。 然而事实却刚好相反，从长期来看，这回庄家处于输家的状态，于是他们去请教当时的数学家帕斯卡，求助其对这种现象作出解释, 这个问题的解决直接推动了概率论的产生。,9,随着18、19世纪科学的发展，人们注意到在某些生物、物理和社会现象与机会游戏之间有某种相似性，从而由机会游戏起源的概率论被应用到这些领域中；同时这也大大推动了概率论本身的发展。 使概率论成为数学的一个分支的奠基人是瑞士数学家 j.伯努利，他建立了概率论中第一个极限定理，即伯努利大数定律，阐明了事件的频率稳定于它的概率。,10,随后a.de 棣莫弗和 p.s. 拉普拉斯 又导出了第二个基本极限定理（中心极限定理）的原始形式。拉普拉斯在系统总结前人工作的基础上写出了分析的概率理论，明确给出了概率的古典定义，并在概率论中引入了更有力的分析工具，将概率论推向一个新的发展阶段。 19世纪末，俄国数学家 p.l.切比雪夫、a.a.马尔可夫、a.m.李亚普诺夫等人用分析方法建立了大数定律及中心极限定理的一般形式 。,11,如何定义概率，如何把概率论建立在严格的逻辑基础上，是概率理论发展的困难所在，对这一问题的探索一直持续了3个世纪。 1933年，苏联数学家柯尔莫哥洛夫在他的概率论基础一书中第一次给出了概率的测度论的定义和一套严密的公理体系。他的公理化方法成为现代概率论的基础，使概率论成为严谨的数学分支，对概率论的迅速发展起了积极的作用。,12,概率论的应用范围,早期主要用于赌博和人口统计模型。随着人类的社会实践，人们需要了解各种不确定现象中隐含的必然规律性，并用数学方法研究各种结果出现的可能性大小。现在，概率与统计的方法日益渗透到各个领域，并广泛应用于自然科学、经济学、医学、金融保险甚至人文科学中 。,13,学习本课程的几点要求,课前预习, 分析重点难点； 认真听课, 按时完成作业; 做好笔记, 及时复习； 期末考核：考试成绩占70-80%，平时成绩20-30% (出勤、作业)。,14,第一章 概率论的基本概念,1.1 随机事件、频率和概率,1.2 古典概型,1.3 概率的定义,1.4 条件概率及有关公式,1.5 事件的独立性，独立 试验序列,15,1.1 随机事件、频率与概率,对客观事物的研究总要联系到对研究对 象进行观察。 观察一定条件下发生的现象通常叫做试 验。,一、样本空间与随机事件,16,随机试验,一个试验称为随机试验，如果它满足以下条件： (1) 可重复性：试验可以在相同的条件下重复进行; (2) 可观察性：试验的可能结果不止一个，但事先 已知试验的所有可能结果； (3) 随机性：每次试验总是恰好出现所有可能结果 中的一个，但究竟出现哪一个结果，试验前不能确切 预言。,17,样本空间和样本点,随机试验中每一个可能的结果称为一个样本点。 随机试验的样本点的全体组成的集合称为该随机试验的样本空间。 习惯上用 w 和 W 分别表示样本点与样本空间。,18,例1 掷一枚硬币观察正、反面出现的情况。,掷一次硬币是一次试验，试验的可能结果有2个：正，反，即有两个样本点。这个随机试验的样本空间为 W = 正，反,例2 将一枚硬币投掷两次，观察其正面与反面出现的情况。,掷两次硬币是一次试验，试验的可能结果有4个： (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)，即有四个样本点。这个随机试验的样本空间为 W = (正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反),19,例3 观察一小时中落在地球上某一区域的宇宙射线数。,这个随机试验的样本点为每一个非负整数，所以样本空间为 W = 0，1，2， 。,例4 射击手向某一目标进行一次射击，观察弹着点与目标的偏差。,这个随机试验的样本点为任一个非负实数，所以样本空间为 W = d | d0 。,20,例5 设甲、乙两船在一昼夜内必到达某码头，观察甲、乙两船到达该码头的时间。,设x和y分别表示甲、乙两船到达该码头的时间，则样本点为（x，y），样本空间为 W = （x, y）| 0x24，0y24 。,例6 观察一个新灯泡的寿命，其样本点有无穷多个：t小时, 0t,样本空间为：,21,例7 从包含两件次品（记作a1，a2）和三件正 品（记作b1，b2，b3）的五件产品中任意取出 两件。,一次试验就是具体拿出两件，这样所有的样本点 共有10个，样本空间为 W = a1，a2， a1，b1， a1，b2， a1，b3， a2，b1， a2，b2， a2，b3， b1，b2， b1，b3， b2，b3,22,设A= b1，b2， b1，b3， b2，b3； B= a1，b1， a1，b2， a1，b3， a2，b1， a2，b2， a2，b3， 则A，B均为样本空间的子集。,A表示“没有抽到次品”，B表示“恰好抽到一件次品”。 在一次试验中A出现当且仅当在这次试验中A所包含的3个样本点之一出现；B出现当且仅当B所包含的6个样本点之一出现。,23,随机事件,一般，我们称样本空间的某个子集为随机事件，简称事件。并常用大写字母A, B, C等来表示 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，称这一事件发生,24,样本空间是自身的子集，它包含所有的样本点，因此在每次试验中总是发生的，称为必然事件。 空集作为样本空间的子集，不包含任何样本点，因此在每次试验中都不会发生，称为不可能事件。 必然事件与不可能事件不具有随机性，为研究方便，我们将其作为随机事件的特殊情形来统一处理。,25,二、事件的关系和运算,在实际问题中，需要在一个随机试验下同时研究 几个事件以及它们之间的联系。 我们对应着集合的关系和运算来定义事件的关系 和运算。并根据“事件发生”的含义，给出他们在概率 论中的含义。 设随机试验的样本空间为，随机事件A，B, Ak, Bk (k=1,2, )为的子集。,26,1. 事件的包含、相等,如果事件A中的每一个样本点都属于事件B，则 称事件B包含事件A，或称事件A被包含于事件B，记作： 含义是：事件 A 发生必然导致事件 B 发生 显然 A。 相等事件：A=B等价于 AB且BA,B,A,27,2. 事件的和(并),由至少属于A，B两事件之一的一切样本点 组成的集合称为A与B的和（并）。记为AB。 含义是：“事件A或事件B发生”或者“事件A 与事件B有一个发生”。 显然, A =A , A=,A,B,28,3. 事件的积(交),同时属于事件A和B的所有样本点组成的集 合，称为A与B的积（交）。记作：AB. 含义是：事件A与事件B同时发生 显然, A= ，A=A,A,B,29,4. 事件的互不相容（互斥),如果 AB= ，则称事件A，B是互不相容 的或互斥的。 含义是：两事件不可能在同一试验发生. 特例：基本事件是两两不相容的,A,B,30,5. 事件的差,由属于事件A，但不属于事件B的样本点 组成的集合，称为事件A与B的差，记作：A-B 含义是：事件 A 发生，但事件 B 不发生 显然, AA= ，A =A，A=,A,B,31,6. 事件的逆事件(对立事件),事件-A称为事件A的对立事件 (或逆事件), 记作 含义是：A不发生 显然有 注意：“A与B相互对立”与“A与B互斥”的区别,A,32,推广,事件的和与积可以推广到有限多个事件情形。,33,事件之间的关系与运算完全和集合之间的关系与运算一致，只是术语不同而已。,记号 概率论 集合论 样本空间,必然事件 空间（全集） 不可能事件 空集 样本点（基本事件） 元素 A 事件 子集 A的对立事件(逆事件) A的补(余)集,34,记号 概率论 集合论 A B 事件A发生必有事件B发生 A是B的子集 A=B 事件A与事件B相等 A与B相等 AB 事件A与事件B至少有一个发生 A与B的并集 AB 事件A与事件B同时发生 A与B的交集 A-B 事件A发生而B不发生 A与B的差集 AB = 事件A和事件B互不相容 A与B不相交,35,例题,设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算 关系表示下列各事件. 1. A发生, B与C不发生 2. A与B都发生,而C不发生,或,或,36,事件运算性质,交换律: AB=BA AB=BA 结合律: (AB)C=A(BC) (AB)C=A(BC) 分配律: A (BC) =(AB)(AC) A(k Bk) = k (A Bk) (AB)C=(AC)(BC) A (k Bk) = k (A Bk),37,对偶率：,38,三、频率和统计规律性,在讨论随机试验的时候，常常需要了解某些事件在一次试验中发生可能性的大小，以便掌握随机现象的内在规律。 例如: 了解发生意外人身事故的可能性大小, 确定保险金额. 了解来商场购物的顾客人数的各种可能性大小, 合理配置服务人员. 了解每年最大洪水超警戒线可能性大小, 合理确定堤坝高度.,39,在相同条件下, 将随机试验重复进行了N次, 若 事件A在这N次试验中发生了n次，则称FN(A)= n/N为 事件A在这N次试验中发生的频率. 由定义可知，频率具有下述基本性质: 1.（非负性） 0FN(A)1; 2.（规范性） FN()=1; 3.（有限可加性）若A1,A2,., Ak是两两互不相容的事件, 则 FN(A1A2.Ak)=FN (A1)+FN (A2)+.+FN(Ak).,频率,40,在任意N次试验中，A发生的次数具有偶然性， 故A发生的频率FN(A)也具有不确定性。,41,从例子中可以看出，当试验的次数较小时, 频率 的波动幅度较大，而当试验次数逐渐增大时，频率 逐渐稳定于某一常数，这种稳定性即统计规律性. 频率所稳定的数值就是相应事件发生可能性大小 的一个客观的定量的度量，称为相应事件的统计概 率，这种确定概率的方法称为频率法。,42,在实际情况中，当概率不易求出时，人们常用试验次数很大时事件的频率作为概率的估计值。例如，若我们希望知道某射手中靶的概率，应对这个射手在相同条件下大量的射击情况进行观察、并记录。,假设他射击N 次，中靶n次，当N很大时，可用频率n/N 作为其中靶概