2018届高三数学复习三角函数解三角形第七节正弦定理和余弦定理课件文.pptx

文数 课标版,第七节 正弦定理和余弦定理,1.正弦定理和余弦定理,教材研读,2.在ABC中,已知a、b和A时,解的情况,上表中,若A为锐角,当absin A时无解;若A为钝角或直角,当ab时 无解.,3.三角形面积 设ABC的角A、B、C所对的边分别为a、b、c,其面积为S. (1)S= ah(h为BC边上的高). (2)S= absin C= acsin B = bcsin A.,判断下列结论的正误(正确的打“”,错误的打“”) (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比. () (2)在ABC中,若sin Asin B,则AB. () (3)在ABC的六个元素中,已知任意三个元素,可求其他元素. (),(4)当b2+c2-a20时,三角形ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,三角形ABC 为直角三角形;当b2+c2-a20时,三角形ABC为钝角三角形. () (5)在三角形中,已知两边和一角就能求三角形的面积. (),1.在ABC中,若a=2,c=4,B=60,则b等于 ( ) A.2 B.12 C.2 D.28,答案 A 由b2=a2+c2-2accos B,得b2=4+16-8=12,所以b=2 .,2.在ABC中,a=3,b=5,sin A= ,则sin B=( ) A. B. C. D.1 答案 B 根据 = ,有 = ,得sin B= .故选B.,3.(2016甘肃兰州一模)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a= ,b=3,c=2,则A= ( ) A. B. C. D. 答案 C 易知cos A= = = , 又A(0,), A= .故选C.,4.在ABC中,BC=2,AC= ,B= ,则AB= ,ABC的面积是 . 答案 3;,解析 由余弦定理,得AC2=BC2+AB2-2BCABcos ,AB=3(负值舍去), SABC= ABBCsin = .,考点一 利用正、余弦定理解三角形 典例1 (1)(2016课标全国,4,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a, b,c.已知a= ,c=2,cos A= ,则b= ( ) A. B. C.2 D.3 (2)(2016课标全国,9,5分)在ABC中,B= ,BC边上的高等于 BC,则 sin A= ( ) A. B. C. D. (3)(2016课标全国,15,5分)ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若 cos A= ,cos C= ,a=1,则b= . 答案 (1)D (2)D (3),考点突破,sinBAC= .故选D. (3)由cos C= ,0C, 得sin C= . 由cos A= ,0A, 得sin A= . 所以sin B=sin-(A+C)=sin(A+C) =sin Acos C+sin Ccos A= , 根据正弦定理得b= = .,规律总结 (1)在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑用哪个定理更适合,或是 两个定理都要用,要抓住能够利用某个定理的信息.一般地,如果式子中 含有角的余弦或边的二次式,要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的 正弦或边的一次式,要考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑 两个定理都有可能用到. (2)解题中注意三角形内角和定理的应用及角的范围限制.,考点二 利用正、余弦定理判断三角形的形状 典例2 (2013陕西,9,5分)设ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 bcos C+ccos B=asin A,则ABC的形状为 ( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不确定 答案 B 解析 由已知及正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=sin2A,即sin(B+C)= sin2A,又sin(B+C)=sin A,sin A=1,A= .故选B.,方法技巧 (1)判断三角形的形状,应从三角形的边、角两方面进行思考,主要看其 是不是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形、锐角三角 形,要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的 区别. (2)边角转化的工具主要是正弦定理和余弦定理.,变式2-1 若将本例中的条件“bcos C+ccos B=asin A”改为“2sin AcosB =sin C”,试判断ABC的形状. 解析 由条件及正弦定理得2acos B=c,再由余弦定理得2a =c a2=b2a=b,即ABC为等腰三角形.,变式2-2 若将本例中的条件“bcos C+ccos B=asin A”改为“acos A= bcos B”,试判断ABC的形状. 解析 由条件及正弦定理, 得sin Acos A=sin Bcos Bsin 2A=sin 2B, 又A、B均为ABC的内角,所以2A=2B或2A=-2B, 即A=B或A+B= . 所以ABC为等腰三角形或直角三角形.,变式2-3 若将本例中的条件“bcos C+ccos B=asin A”改为“2asin A= (2b+c)sin B+(2c+b)sin C,且sin B+sin C=1”,试判断ABC的形状. 解析 由条件及正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)c, 整理得a2=b2+c2+bc,则cos A=- , sin2A=sin2B+sin2C+sin Bsin C.,又由sin B+sin C=1,可得sin2B+sin2C=1-2sin Bsin C, 由cos A=- ,可得sin A= ,所以sin Bsin C= , 所以sin B=sin C= . 又易知0B ,0C ,故B=C= , 所以ABC是等腰钝角三角形.,考点三 与三角形面积有关的问题 典例3 在ABC中,内角A,B,C的对边长分别为a,b,c,且(2b-c)cos A=a cos C. (1)求角A的大小; (2)若a=3,b=2c,求ABC的面积. 解析 (1)由(2b-c)cos A=acos C, 得2sin Bcos A=sin Acos C+sin Ccos A, 得2sin Bcos A=sin(A+C), 所以2sin Bcos A=sin B, 因为0B,所以sin B0, 所以cos A= ,因为0A,所以A= . (2)因为a=3,b=2c,由(1)知A= , 所以cos A= = = , 解得c= , 所以b=2 . 所以SABC= bcsin A= 2 = .,规律总结 (1)求三角形ABC的面积时,常用公式S= absin C= acsin B= bcsin A,一 般根据已知角具体选择. (2)解决与面积有关的问题,一般要用到正弦定理、余弦定理进行边和 角的转化.,3-1 已知ABC是斜三角形,内角A、B、C所对的边的长分别 为a、b、c.若csin A= acos C. (1)求角C; (2)若c= ,且sin C+sin(B-A)=5sin 2A,求ABC的面积. 解析 (1)根据 = , 可得csin A=asin C, 又csin A= acos C, asin C= acos C, sin C= cos C, tan C