2020版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用第2节函数的单调性与最值教学案理新人教版.docx

第二节函数的单调性与最值考纲传真1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质1函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做yf(x)的单调区间2函数的最值前提设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意的xI，都有f(x)M；(2)存在x0I，使得f(x0)M(3)对于任意的xI，都有f(x)M；(4)存在x0I，使得f(x0)M结论M为最大值M为最小值常用结论1对x1，x2D(x1x2)，0f(x)在D上是增函数，0f(x)在D上是减函数2对勾函数yx(a0)的增区间为(，和，)，减区间为，0)和(0，3在区间D上，两个增函数的和仍是增函数，两个减函数的和仍是减函数4函数f(g(x)的单调性与函数yf(u)和ug(x)的单调性的关系是“同增异减”5函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值基础自测1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(2)若定义在R上的函数f(x)有f(1)f(3)，则函数f(x)在R上为增函数()(3)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到()答案(1)(2)(3)(4)2下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ayln(x2) ByCyx DyxAyln(x2)在(2，)上是增函数，故A正确3若函数f(x)ax1在R上单调递减，则函数g(x)a(x24x3)的单调递增区间是()A(2，) B(，2)C(2，) D(，2)B由题意可知a0，而函数g(x)a(x24x3)a(x2)2a，g(x)a(x24x3)的单调递增区间为(，2)4若函数f(x)是R上的减函数，且f(a2a)f(a)，则a的取值范围是()A(0,2) B(，0)(2，)C(，0) D(2，)B由题意得a2aa，解得a2或a0，故选B.5(教材改编)已知函数f(x)，x2,6，则f(x)的最大值为_，最小值为_2易知函数f(x)在x2,6上为减函数，故f(x)maxf(2)2，f(x)minf(6).确定函数的单调性(区间)【例1】(1)(2019石嘴山模拟)函数yln(x22x3)的单调减区间是()A(1,1 B1,3)C(，1 D1，)(2)试讨论函数f(x)(a0)在(1,1)上的单调性(1)B令tx22x3，由t0得1x3，故函数的定义域为(1,3)，要求函数yln(x22x3)的单调减区间，由复合函数单调性可知，只需求tx22x3在(1,3)上的减区间，即1,3)(2)解法一：设1x1x21，f(x)aa，f(x1)f(x2)aa，由于1x1x21，所以x2x10，x110，x210，故当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，函数f(x)在(1,1)上递增法二：f(x).当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上递减；当a0时，f(x)0，函数f(x)在(1,1)上递增规律方法(1)求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.(2)函数单调性的判断方法有：a.定义法；b.图象法；c.利用已知函数的单调性；d.导数法.函数yf(g(x)的单调性应根据外层函数yf(t)和内层函数tg(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.) (1)(2019北京模拟)下列函数中，在区间(0，)上为增函数的是()Ay Bysin xCy2x Dylog(x1)(2)yx22|x|3的单调递增区间为_(1)A(2)(，1，0,1(1)A项是1，)上的增函数，B项不是单调函数，C项是R上的减函数，D项是(1，)上的减函数(2)由题意知，当x0时，yx22x3(x1)24；当x0时，yx22x3(x1)24，二次函数的图象如图由图象可知，函数yx22|x|3的单调递增区间为(，1，0,1求函数的最值【例2】(1)若函数f(x)的最小值为f(0)，则实数a的取值范围是()A1,2 B1,0C1,2 D0,2(2)函数f(x)xlog2(x2)在区间1,1上的最大值为_(3)函数yx(x0)的最大值为_(1)D(2)3(3)(1)当x0时，f(x)xa2a，当且仅当x，即x1时，等号成立故当x1时取得最小值2a，f(x)的最小值为f(0)，当x0时，f(x)(xa)2单调递减，故a0，此时的最小值为f(0)a2，故2aa2得1a2.又a0，得0a2.故选D.(2)f(x)xlog2(x2)在区间1,1上是单调递减，f(x)maxf(1)3log213.(3)令t，则t0，所以ytt22，当t，即x时，ymax.规律方法求函数最值(值域)的常用方法及适用类型(1)单调性法：易确定单调性的函数，利用单调性法研究函数最值(值域).(2)图象法：能作出图象的函数，用图象法，观察其图象最高点、最低点，求出最值(值域).(3)基本不等式法：分子、分母其中一个为一次，一个为二次的函数结构以及两个变量(如x，y)的函数，一般通过变形使之具备“一正、二定、三相等”的条件，用基本不等式法求最值(值域).(4)导数法：若f(x)是三次、分式以及含ex，ln x，sin x，cos x结构的函数且f(x)可求，可用导数法求函数的最值(值域). (1)函数f(x)(x1)的最小值为_(2)对于任意实数a，b，定义mina，b设函数f(x)x3，g(x)log2 x，则函数h(x)minf(x)，g(x)的最大值是_(1)8(2)1(1)f(x)(x1)2228，当且仅当x1，即x4时，f(x)min8.(2)法一：在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)图象，依题意，h(x)的图象如图所示易知点A(2,1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)1.法二：依题意，h(x)当0x2时，h(x)log2 x是增函数，当x2时，h(x)3x是减函数，所以h(x)在x2时取得最大值h(2)1.函数单调性的应用考法1比较大小【例3】已知函数f(x)的图象向左平移1个单位后关于y轴对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为()Acab BcbaCacb DbacD根据已知可得函数f(x)的图象关于直线x1对称，且在(1，)上是减函数所以aff，f(2)f(2.5)f(3)，所以bac.考法2解抽象不等式【例4】f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，则不等式f(x)f(x8)2的解集为_(8,9因为211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2可得fx(x8)f(9)，f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得80，得x4或xf(2x1)成立的x的取值范围是()A.B.(1，)C.D.A法一：分析f(x)的奇偶性和单调性，然后对所给不等式作出等价转化f(x)ln(1|x|)f(x)，函数f(x)为偶函数当x0时，f(x)ln(1x)，在(0，)上yln(1x)递增，y也递增，根据单调性的性质知，f(x)在(0，)上单调递增综上可知：f(x)f(2x1)f(|x|)f(|2x1|)|x|2x1|