《静电场IB》PPT课件.ppt

2019年8月8日星期四,电磁场与电磁波,Field and Wave Electromagnetics,主讲：李龙,2019/8/8,L,Review,矢量分析 场的基本概念；标量场的梯度；矢量场的散度、旋度；亥姆霍兹定理；圆柱坐标系与球坐标系中的梯度、散度和旋度。 1. 基本要求 （1）熟练掌握场的基本概念，掌握标量场的梯度、矢量 场的散度和旋度的定义、运算。 （2）了解圆柱坐标系与球坐标系中梯度、散度和旋度运算。 2. 重点、难点 重点：场的基本概念；梯度、散度和旋度的定义、运算 和物理意义 难点：矢性微分算符、亥姆霍兹定理、矢量公式。,2019/8/8,L,Review,旋无散,梯无旋,Gauss公式,Stokes公式,2019/8/8,L,亥姆霍兹定理(Helmholtz Theorem),源分两类： 散度源，也称通量源； 旋度源，也称涡旋源。 一个矢量场的性质由激发该场的源来确定； 亥姆霍兹定理：若矢量场F在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有限空间区域中，则矢量场由其散度和旋度唯一确定，并且可以表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和， 即,若已知一个矢量场散度和旋度能否唯一确定该矢量场？,2019/8/8,L,第3讲 静电场（I）,库仑定律 电场强度 静电场的高斯定理 静电场的电位,2019/8/8,L,第3讲 静电场（I）,静电场是指相对于观察者而言静止的电荷所产生的场。 人们对静电现象的认识可以追溯到两千多年前，早在公元前585年，希腊哲学家泰勒斯（Thales）就记载了用木块摩擦过的琥珀可以吸引细小的物体。 对静电场系统性、科学性研究开始于1785年法国科学家库仑（Chavles Augustin Coulomb，17361806）发现了以其名字命名的“库仑定律”。 库仑定律和迭加原理一起，构成了静电场的理论基础。 这节课将从库仑定律和迭加原理出发，得出描述真空中静电场的基本方程，进而讨论介质中的静电场，静电场的基本解法以及静电场的能量。,2019/8/8,L,库仑定律,库仑定律(Coulombs law) 是实验定律，是在大量实验结果的基础上，总结抽象出的描述真空中两个静止的点电荷间相互作用力的定律。 点电荷是指带电体的尺寸远小于彼此间的距离，而认为电荷集中于一点的一种理想化模型。库仑定律可用矢量式表示为： R=r-r表示从r到r的矢量；R是r到r的距离 0表征真空电性质，称为真空的介电常数，其值为,2019/8/8,L,库仑定律,2019/8/8,L,库仑定律,库仑定律表明，真空中两个点电荷之间的作用力 大小与两点电荷电量之积成正比，与距离平方成反比； 力的方向沿着它们的连线； 同号电荷之间是斥力， 异号电荷之间是引力； 点电荷q受到q的作用力为F，且F= F.,2019/8/8,L,库仑定律,迭加原理 当真空中存在两个以上的点电荷时，实验表明，任何两个点电荷间的作用力不受其它点电荷的影响 点电荷所受的力是其它所有点电荷对它的作用力的矢量和，即满足迭加性。 其中， 表示 处的点电荷 对q的作用力,2019/8/8,L,库仑定律,例1有三个点电荷电量分别为 ，它们处于边长1m的等边三角形顶点上，如图示，求 q3所受的力。 解,2019/8/8,L,库仑定律,分布电荷 实际上，带电体总具有一定尺寸，一般不能看成点电荷，而应认为电荷连续分布于一定区域内。 分布于一定区域内的电荷称为分布电荷。 如果电荷分布在一个体积内，则称之为体电荷； 如果电荷分布在一个曲面上，则称之为面电荷； 如果电荷分布在一条曲线上，则称之为线电荷。,2019/8/8,L,库仑定律,电荷密度 为了定量地描述电荷在区域内分布的疏密程度，引入电荷密度的概念。,2019/8/8,L,库仑定律,库仑定律只能直接用于点电荷。 所谓点电荷，是理想化模型。 对于实际带电体， 用电荷密度来定量描述电荷空间分布情况。 电荷体密度 在电荷分布区域内，取体积元V，若其中的电量为q，则电荷体密度为 其单位是库/米3(C/m3)。 V趋于零，指相对于宏观尺度而言很小的体积，以便能精确地描述电荷的空间变化情况； 相对于微观尺度，该体积元又是足够大，载有大量的带电粒子， 这样才可以将电荷分布看作空间的连续函数。,2019/8/8,L,库仑定律,电荷面密度 如果电荷分布在宏观尺度h很小的薄层内，则可认为电荷分布在一个几何曲面上，用面密度描述其分布。若面积元S内的电量为q，则面密度为 电荷线密度 对于分布在一条细线上的电荷用线密度描述其分布情况。若线元l内的电量为q，则线密度为,2019/8/8,L,库仑定律,分布电荷对点电荷的作用力 以体电荷为例 取 处体积元 ，则 中电量为： 将 看作点电荷，则对电荷q的作用力为： 由迭加原理可知体积V对电荷q的作用力为：,2019/8/8,L,库仑定律,分布电荷对点电荷的作用力可以统一地表示为：,2019/8/8,L,电场强度,电场强度(Electric field intensity) 两个电荷之间互不接触却能相互作用，这种作用是通过电场进行的。 电场是一种特殊的物质，看不见摸不着，但可以通过带电体的相互作用来检验它，也可以由相互作用的强弱来度量电场的强弱。 用来描述电场强弱的物理量是电场强度。我们定义位于该点处的单位正电荷所受的力为该处的电场强度。用E表示，其单位为牛顿/库仑（N/C）。(V/m) 定义: 在 处放置点电荷q（试探电荷），它所受的力为 ，则该处的电场强度为：,2019/8/8,L,电场强度,Note1：试探电荷电量应足够小，以使得试探电荷的引入 不致影响原来的电场； Note2：以带“撇”的分量表示源点，不带“撇”的分量表示 观察点； Note3： 处点电荷 ，在 处的 为： 处点电荷 组成的点电荷系在 处的 为： 分布电荷在 处产生的 为：,2019/8/8,L,电场强度,例2 一圆环均匀分布总量Q的电荷，求其轴线上距圆心d处的电场强度。 解,2019/8/8,L,电场强度,电力线 为形象地描述电场，引入电力线的概念； 电力线是这样的一组曲线，其上任一点处的切线方向都与该点处的电场方向一致，电力线的密度正比于电场强度的大小； 电力线的方程为： 电力线具有以下特点： 1起始于正电荷，终止于负电荷。 2在空间无电荷区域，电力线不相交。,2019/8/8,L,电力线图示,2019/8/8,L,高斯定理(Gausss Law),电通量 垂直穿过某一曲面的电力线的数目称为穿过该曲面的电通量。 在S上取一面元 ，它在与电力线垂直方向上的投影为 ，则穿过的电通量为： 穿过面积S的电通量为： 若S为闭合曲面，则：,2019/8/8,L,高斯定理,高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系。 引例 计算位于球心处的点电荷q所产生的电场中穿过半 径为r的球面的电通量。 解点电荷在球面上的电场强度为： 所以可知： 显然，矢径方向与面元法向一致，则： 穿出以q为球心的球面的电通量与球面大小无关。,2019/8/8,L,高斯定理,推广至包围Q的任意封闭曲面 穿过S1和S2的电力线数目都是 ，而穿过S1和S2的电力线必穿过S； 穿出S1和S2的电力线数目相等，故穿入S的电力线没有增多也没有减少地穿出S； 穿过S的电通量必为 外部电荷效应是 可见，对于点电荷不论S是什么样闭合曲面， 总有：,2019/8/8,L,高斯定理,根据迭加原理，对于多个点电荷或分布电荷，仍有： 其中Q是所包围的总电荷。 在真空中，穿过电场中任一封闭曲面的电通量等于它所包围的电荷总量的1/0倍，这就是真空中的高斯定理。 高斯定理描述通过一个闭合面电场强度的通量与闭合面内电荷间的关系。 分析一个点的情形要用微分形式。如果闭合面内的电荷是密度为的体分布电荷，则高斯定理可以写为,2019/8/8,L,高斯定理,例3 如图示，求穿过S的电通量 解 显然，S内仅包含三个点电荷源 q1 ，q2 ，q3 而， q4 ，q5 位于S外，对穿出S的电通量没有贡献； 由高斯定理知，穿过S的电通量应为：,S,2019/8/8,L,高斯定理的应用,利用高斯定理，可直接求出某些对称分布电荷产生的电场强度。此时应能找出一个封闭曲面S，使其满足： 1在S上处处有 ，且E相同； 2在S的一部分S上满足1，在另一部分S上 或 满足以上两条件之一，即可由Gauss定理求出电场强度。 对于1： 对于2：,只能求出S处E,2019/8/8,L,高斯定理的应用,例4 在半径为a的球内分布着密度为的电荷（为常数），求球内、外任一点的电场强度。 解 由对称性知电场只有矢径方向的分量 取S面为所给球体的同心球面，则S上有： 由高斯定理知： 1、若S在球面内： 2、若S在球面外：,2019/8/8,L,高斯定理的应用,例5半径为a的无限长圆柱上轴对称分布密度为(r)= 3r 的电荷，求柱内、外任一点的电场强度。 解 由对称性知电场强度只有r方向分量 柱内可知： 同理可得柱外：,利用高斯定理求解电场，关键在于封闭曲面S的选择,2019/8/8,L,高斯定理的应用,思考题 无限大平面均匀分布着密度为s的电荷，高斯 面应如何选择？,2019/8/8,L,高斯定理的应用,例6已知半径为a的球内、 外电场强度，求电荷分布。 解 由高斯定理微分形式可知电荷密度为 则由球坐标散度公式： 可知：,2019/8/8,L,静电场的旋度与电位,静电场是矢量场，我们已经讨论了其散度与通量，现在开始研究它的旋度与环量。 首先，认识一个常用公式： 再看电场强度： 其中，利用了积分对源点进行，算子对场点进行。,2019/8/8,L,静电场的旋度与电位,电场强度可表示为一个标量位函数的负梯度 由矢量场理论知： 这个标量函数就是静电场的位函数，简称为电位； 电位的单位是伏(V)， 因此电场强度的单位是伏/米(V/m) 分布电荷在场点r处的电位为 (Electric potential) 对于位于源点 r处的点电荷q，其在r处产生的电位为,2019/8/8,L,静电场的旋度与电位,静电场是无旋场，其在任意闭合回路的环量为零； 静电场是保守场，沿某一路径的积分仅与起点和终点位置有关，而与路径无关 称(P)-(P0)为P与P0两点间的电位差(或电压),2019/8/8,L,静电场的旋度与电位,一般选取一个固定点，规定其电位为零，称这一固定点为参考点。当取P0点为参考点时，P点处的电位为 当电荷分布在有限的区域时，选取无穷远处为参 考点较为方便。此时，,2019/8/8,L,电位满足的微分方程 无源区域=0，则电位微分方程变为 上述方程为二阶偏微分方程，称为拉普拉斯方程。其中2在直角坐标系中为,静电场的旋度与电位,2019/8/8,L,静电场的旋度与电位,电场力的功 电荷在电场中要受到电场力的作用，当电荷在电场中移动时，电场力要对它做功。 假设电荷q0在电场中沿路径l 从A点移到B点， 则电场力做功 若电场由点电荷q产生，即 则 ： 在点电荷的电场中，电场力做功与路径无关； 由迭加定理可知，在点电荷系或者分布电荷的电场中，电场力做功与路径无关，这再次证明了静电场是保守场。,2019/8/8,L,静电场的旋度与电位,等位面(equipotential surface) 电场中电位相等的曲面称为等