高考数学一轮复习第三章导数及其应用第一节导数的概念及导数的运算教案文苏教版.docx

第一节 导数的概念及导数的运算1导数的概念(1)平均变化率一般地，函数f(x)在区间x1，x2上的平均变化率为.(2)函数yf(x)在xx0处的导数定义：设函数yf(x)在区间(a，b)上有定义，x0(a，b)，若x无限趋近于0时，此值无限趋近于一个常数A，则称f(x)在xx0处可导，并称该常数A为函数f(x)在xx0处的导数，记作f(x0)几何意义：函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f(x)在各点的导数也随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数2基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)xf(x)x1f(x)sin xf(x)cos_xf(x)cos xf(x)sin_xf(x)ax(a0，且a1)f(x)axln_af(x)exf(x)f(x)logax(a0，且a1)f(x)f(x)ln xf(x)3导数的运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)Cf(x)Cf(x)(C为常数)；(3)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(4)(g(x)0)小题体验1设f(x)xln x，若f(x0)2，则x0的值为_解析：由f(x)xln x得f(x)ln x1.根据题意知ln x012，所以ln x01，因此x0e.答案：e2曲线yx3x3在点(1,3)处的切线方程为_答案：2xy103已知yf(x)是可导函数，如图，直线ykx2是曲线yf(x)在x3处的切线，令g(x)xf(x)，g(x)是g(x)的导函数，则g(3)_.解析：由题图可知曲线yf(x)在x3处切线的斜率等于，所以f(3)，因为g(x)xf(x)，所以g(x)f(x)xf(x)，所以g(3)f(3)3f(3)，又由题图可知f(3)1，所以g(3)130.答案：01利用公式求导时要特别注意不要将幂函数的求导公式(x)x1与指数函数的求导公式(ax)axln a混淆2求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者3曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别小题纠偏1函数yxcos xsin x的导数为_解析：y(xcos x)(sin x)xcos xx(cos x)cos xcos xxsin xcos xxsin x.答案：xsin x2已知直线yx1是函数f(x)ex图象的切线，则实数a_.解析：设切点为(x0，y0)，则f(x0)e1，所以ea，又ex01，所以x02，ae2.答案：e23若存在过点(1,0)的直线与曲线yx3和yax2x9都相切，则a_.解析：因为yx3，所以y3x2，设过(1,0)的直线与yx3相切于点(x0，x)，则在该点处的切线斜率为k3x，所以切线方程为yx3x(xx0)，即y3xx2x，又(1,0)在切线上，则x00或x0，当x00时，由y0与yax2x9相切，可得a，当x0时，由yx与yax2x9相切，可得a1.答案：1或题组练透求下列函数的导数(1)f(x)x3x；(2)f(x)sin xx；(3)f(x)excos x；(4)f(x)ln x.解：(1)f(x)(x3x)(x3)(x)3x21.(2)f(x)cos x1.(3)f(x)excos xexsin xex(cos xsin x)(4)f(x).谨记通法求函数导数的3种原则锁定考向导数的几何意义是把函数的导数与曲线的切线联系在一起，一般不单独考查，在填空题中会出现，有时也体现在解答题中，难度偏小常见的命题角度有：(1)求切线方程；(2)求切点坐标；(3)求参数的值(范围) 题点全练角度一：求切线方程1(2019泰州检测)若函数f(x)2在点(a，f(a)处的切线与直线2xy40垂直，则该切线方程为_解析：切线与直线2xy40垂直，切线的斜率是.f(x)2，f(x)x，f(a)a.解得a4，则f(4)4，故函数f(x)在点(4,4)处的切线方程为x2y40.答案：x2y402已知曲线y与y的交点为C，两曲线在点C处的切线分别为l1，l2，则切线l1，l2与y轴所围成的三角形的面积为_解析：由解得即C(4,2)，由y，得y()，则直线l1的斜率k1，l1：yx1.同理可得l2：yx4，如图，易知SABC346，即所求的面积为6.答案：6角度二：求切点坐标3(2019扬州模拟)曲线f(x)x3x3在点P处的切线平行于直线y2x1，则P点的坐标为_解析：f(x)3x21，令f(x)2，则3x212，解得x1或x1，所以P(1,3)或(1,3)，经检验，点(1,3)，(1,3)均不在直线y2x1上，符合题意答案：(1,3)和(1,3)角度三：求参数的值(范围)4(2018常州高三期末)已知函数f(x)bxln x，其中bR.若过原点且斜率为k的直线与曲线yf(x)相切，则kb的值为_解析：设切点为(x0，bx0ln x0)，f(x)b，则kb，故切线方程为y(bx0ln x0)(xx0)，将(0,0)代入，可得x0e，则kb，kb.答案：通法在握与切线有关问题的处理策略(1)已知切点A(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，kf(x0)(2)已知斜率k，求切点A(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点M(x1，y1)的切线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求x0.演练冲关1曲线f(x)2xex与y轴的交点为P，则曲线在点P处的切线方程为_解析：曲线f(x)2xex与y轴的交点为(0，1)且f(x)2ex，所以f(0)1.所以所求切线方程为y1x，即xy10.答案：xy102(2018南京、盐城高三二模)在平面直角坐标系xOy中，曲线y(m0)在x1处的切线为l，则点(2，1)到直线l的距离的最大值为_解析：把x1代入y，得y，则切线l过点.y，切线的斜率ky|x1.切线l的方程为y(x1)，即mx4y3m0.点(2，1)到直线l的距离d ，当且仅当m，即m4时取“”，故所求最大值为.答案：3已知函数f(x)x3(1a)x2a(a2)xb(a，bR)(1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率为3，求a，b的值；(2)若曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，求a的取值范围解：f(x)3x22(1a)xa(a2)(1)由题意得解得b0，a3或a1.(2)因为曲线yf(x)存在两条垂直于y轴的切线，所以关于x的方程f(x)3x22(1a)xa(a2)0有两个不相等的实数根，所以4(1a)212a(a2)0，即4a24a10，所以a.所以a的取值范围为.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019常州调研)函数f(x)exx2sin x的导函数f(x)_.答案：ex2xcos x2(2018镇江调研)函数f(x)(x1)2(x1)在x1处的导数等于_解析：由f(x)(x1)2(x1)x3x2x1，得f(x)3x22x1，所以f(1)3214.答案：43(2018苏州暑假测试)曲线yex在x0处的切线方程为_解析：因为yex，所以yex在x0处的切线斜率ke01，因此切线方程为y11(x0)，即xy10.答案：xy104已知函数f(x)cos x，则f()f_.解析：因为f(x)cos x(sin x)，所以f()f(1).答案：5(2019苏州调研)已知函数f(x)x3ax2b(a，bR)图象上任意一点处的切线的斜率都小于1，则实数a的取值范围是_解析：f(x)3x22ax32，当x时，f(x)取到最大值.1，解得a.答案：(，)6(2018苏北四市调研)已知f(x)x32x2x6，则f(x)在点P(1,2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积等于_解析：因为f(x)x32x2x6，所以f(x)3x24x1，所以f(1)8，故切线方程为y28(x1)，即8xy100，令x0，得y10，令y0，得x，所以所求面积S10.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1设函数f(x)的导函数为f(x)，且f(x)x22xf(1)，则f(2)_.解析：因为f(x)x22xf(1)，所以f(x)2x2f(1)，令x1，得f(1)22f(1)，解得f(1)2，则f(x)2x4，所以f(2)2240.答案：02已知f(x)ax4bcos x7x2.若f(2 018)6，则f(2 018)_.解析：因为f(x)4ax3bsin x7.所以f(x)4a(x)3bsin(x)74ax3bsin x7.所以f(x)f(x)14.又f(2 018)6，所以f(2 018)1468.答案：83(2019淮安调研)曲线y1在点(1，1)处的切线方程为_解析：因为y1，所以y，y所以曲线在点(1，1)处的切线斜率为2，所以所求切线方程为y12(x1)，即y2x1.答案：y2x14(2018无锡期末)在曲线yx(x0)上一点P(x0，y0)处的切线分别与x轴，y轴交于点A，B，O是坐标原点，若OAB的面积为，则x0_.解析：因为y1，切点P，x00，所以切线斜率ky|xx01，所以切线方程是y(xx0)令y0，得x，即A；令x0，得y，即B.所以SOAB，解得x0.答案：5已知f(x)ln x，g(x)x2mx(m0)，直线l与函数f(x)，g(x)的图象都相切，且与f(x)图象的切点为(1，f(1)，则m_.解析：因为f(x)，所以直线l的斜率为kf(1)1，又f(1)0，所以切线l的方程为yx1.g(x)xm，设直线l与g(x)的图象的切点为(x0，y0)，则有x0m1，y0x01，y0xmx0，m0，解得m2.答案：26(2018淮安高三期中)已知函数f(x)x3.设曲线yf(x)在点P(x1，f(x1)处的切线与该曲线交于另一点Q(x2，f(x2)，记f(x)为函数f(x)的导函数，则的值为_解析：由f(x)3x2，得f(x1)3x，所以曲线yf(x)在点P(x1，x)处的切线方程为y3xx2x，由解得Q(2x1，8x)，所以x22x1，所以.答案：7(2019南通一调)已知两曲线f(x)2sin x，g(x)acos x，x相交于点P.若两曲线在点P处的切线互相垂直，则实数a的值为_解析：f(x)2cos x，g(x)asin x设点P的横坐标为x0，则f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)1，即2sin x0acos x0，(2cos x0)(asin x0)1，所以4sin2x01.即 sin x0，因为x0，所以sin x0，cos x0，所以a.答案：8曲边梯形由曲线yx21，y0，x1，x2所围成，过曲线yx21(x1,2)上一点P作切线，使得此切线从曲边梯形上切出一个面积最大的普通梯形，则这一点的坐标为_解析：设P(x0，x1)，x01,2，则易知曲线yx21在点P处的切线方程为y(x1)2x0(xx0)，所以y2x0(xx0)x1，设g(x)2x0(xx0)x1，则g(1)g(2)2x6x02，所以S普通梯形1x3x012，所以P点坐标为时，S普通梯形最大答案：9(2019盐城中学月考)求下列函数的导数：(1)yx2(ln xsin x)；(2)y；(3)yln x.解：(1)y2x(ln xsin x)x22xln x2xsin xxx2cos x.(2)y.(3)yln x.10已知函数f(x)x34x25x4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)求经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程解：(1)因为f(x)3x28x5，所以f(2)1，又f(2)2，所以曲线在点(2，f(2)处的切线方程为y2x2，即xy40.(2)设曲线与经过点A(2，2)的切线相切于点P(x0，x4x5x04)，因为f(x0)3x8x05，所以切线方程为y(2)(3x8x05)(x2)，又切线过点P(x0，x4x5x04)，所以x4x5x02(3x8x05)(x02)，整理得(x02)2(x01)0，解得x02或1，所以经过点A(2，2)的曲线f(x)的切线方程为xy40或y20.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1已知曲线f(x)x3ax在x0处的切线与曲线g(x)ln x相切，则a的值为_解析：由f(x)x3ax得，f(x)3x2a，f(0)a，f(0)，所以曲线yf(x)在x0处的切线方程为yax.设直线yax与曲线g(x)ln x相切于点(x0，ln x0)，g(x)，所以将代入得ln x0，所以x0e，所以ae.答案：e2(2018启东中学高三测试)已知函数f(x)ax33x26ax11，g(x)3x26x12和直线l：ykx9，且f(1)0.(1)求a的值；(2)是否存在实数k，使直线l既是曲线yf(x)的切线，又是曲线yg(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由解：(1)由已知得f(x)3ax26x6a，因为f(1)0，所以3a66a0，解得a2.(2)存在，理由如下：由已知得，直线l恒过定点(0,9)，若直线l是曲线yg(x)的切线，则设切点为(x0,3x6x012)因为g(x0)6x06，所以切线方程为y(3x6x012