高考数学一轮复习第九章解析几何第一节直线与方程教案理苏教版.docx

第一节 直线与方程1直线的倾斜角(1)定义：在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0.(2)范围：直线l倾斜角的取值范围是0，)2斜率公式(1)直线l的倾斜角为，则斜率ktan_.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上，且x1x2，则l的斜率k.3直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式yy0k(xx0)不含直线xx0斜截式ykxb不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1(x1x2) 和直线yy1(y1y2)截距式1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxByC0，A2B20平面内所有直线都适用小题体验1若过点M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为_答案：12已知a0，直线axmy5m0过点(2,1)，则此直线的斜率为_答案：23已知三角形的三个顶点A(5,0)，B(3，3)，C(0,2)，则BC边上中线所在的直线方程为_解析：由已知，得BC的中点坐标为，且直线BC边上的中线过点A，则BC边上中线的斜率k，故BC边上的中线所在直线方程为y，即x13y50.答案：x13y504已知直线l：axy2a0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a_.解析：令x0，则l在y轴的截距为2a；令y0，得直线l在x轴上的截距为1.依题意2a1，解得a1或a2.答案：1或21点斜式、斜截式方程适用于不垂直于x轴的直线；两点式方程不能表示垂直于x，y轴的直线；截距式方程不能表示垂直于坐标轴和过原点的直线2截距不是距离，距离是非负值，而截距可正可负，可为零，在与截距有关的问题中，要注意讨论截距是否为零3求直线方程时，若不能断定直线是否具有斜率时，应注意分类讨论，即应对斜率是否存在加以讨论小题纠偏1若直线l经过点A(1,2)，且倾斜角是直线yx3的倾斜角的2倍，则直线l的方程为_解析：因为直线yx3的倾斜角为45，所以所求直线l的倾斜角为290，所以直线l的方程为x1. 答案：x12过点M(3，4)，且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为_解析：若直线过原点，则k，所以yx，即4x3y0.若直线不过原点设1，即xya.则a3(4)1，所以直线的方程为xy10.答案：4x3y0或xy10题组练透1(2019启东中学检测)倾斜角为135，在y轴上的截距为1的直线方程是_解析：直线的斜率为ktan 1351，所以直线方程为yx1，即xy10.答案：xy102(2018绥化一模)直线xsin y20的倾斜角的取值范围是_解析：因为直线xsin y20的斜率ksin ，又1sin 1，所以1k1.设直线xsin y20的倾斜角为，所以1tan 1，而0，)，故倾斜角的取值范围是.答案：3若点A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a的值为_解析：因为kAC1，kABa3.由于A，B，C三点共线，所以a31，即a4.答案：44已知线段PQ两端点的坐标分别为P(1,1)和Q(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，则实数m的取值范围是_解析：如图所示，直线l：xmym0过定点A(0，1)，当m0时，kQA，kPA2，kl.结合图象知，若直线l与PQ有交点，应满足2或.解得0m或m0；当m0时，直线l的方程为x0，与线段PQ有交点所以实数m的取值范围为.答案：谨记通法1倾斜角与斜率k的关系当且由0增大到时，k的值由0增大到.当时，k也是关于的单调函数，当在此区间内由增大到()时，k的值由趋近于0(k0)2斜率的2种求法(1)定义法：若已知直线的倾斜角或的某种三角函数值，一般根据ktan 求斜率(2)公式法：若已知直线上两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，一般根据斜率公式k(x1x2)求斜率典例引领(1)求过点A(1,3)，斜率是直线y4x的斜率的的直线方程；(2)求经过点A(5,2)，且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程解：(1)设所求直线的斜率为k，依题意k4.又直线经过点A(1,3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即4x3y130.(2)当直线不过原点时，设所求直线方程为1，将(5,2)代入所设方程，解得a，所以直线方程为x2y10；当直线过原点时，设直线方程为ykx，则5k2，解得k，所以直线方程为yx，即2x5y0.故所求直线方程为2x5y0或x2y10.由题悟法求直线方程的2个注意点(1)在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件(2)对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零)即时应用1过点P(6，2)，且在x轴上的截距比在y轴上的截距大1的直线方程为_解析：设直线方程的截距式为1，则1，解得a2或a1，则直线方程为1或1，即2x3y60或x2y20.答案：2x3y60或x2y202在ABC中，已知A(5，2)，B(7,3)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则直线MN的方程为_解析：设C(x0，y0)，则M，N.因为点M在y轴上，所以0，所以x05.因为点N在x轴上，所以0，所以y03，即C(5，3)，所以M，N(1,0)，所以直线MN的方程为1，即5x2y50.答案：5x2y50锁定考向直线方程的综合应用是常考内容之一，它常与函数、导数、不等式、圆相结合，命题多为客观题常见的命题角度有：(1)与基本不等式相结合的最值问题；(2)与导数的几何意义相结合的问题；(3)与圆相结合求直线方程的问题 题点全练角度一：与基本不等式相结合的最值问题1(2019如皋检测)过点P(2,1)的直线l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B两点(1)当OAOB最小时，求直线l的方程；(2)当2OAOB最小时，求直线l的方程解：设直线l的方程为y1k(x2)(k0)，则l与x轴，y轴正半轴分别交于A，B(0,12k)两点(1)OAOB(12k)4(4k)428，当且仅当4k，即k时取得最小值8.故当OAOB最小时，所求直线l的方程为y1(x2)，即x2y40.(2)2OAOB2(12k)5(2k)52 9，当且仅当2k，即k1时取得最小值9.故当2OAOB最小时，所求直线l的方程为y1(x2)，即xy30.角度二：与导数的几何意义相结合的问题2设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，则点P横坐标的取值范围为_解析：由题意知y2x2，设P(x0，y0)，则k2x02.因为曲线C在点P处的切线倾斜角的取值范围为，所以0k1，即02x021，故1x0.答案：角度三：与圆相结合求直线方程的问题3(2018徐州调研)已知点P是圆O：x2y24上的动点，点A(4,0)，若直线ykx1上总存在点Q，使点Q恰是线段AP的中点，求实数k的取值范围解：设P(2cos ，2sin )，则AP的中点坐标为Q(cos 2，sin )，因为点Q在直线ykx1上，所以sin k(cos 2)1，即k，即k表示单位圆上的点(cos ，sin )与点(2,1)连线的斜率设过点(2,1)的直线方程为y1k(x2)，若要满足题意，则圆心到直线kxy2k10的距离d1，解得k.通法在握处理直线方程综合应用的思路(1)含有参数的直线方程可看作直线系方程，这时要能够整理成过定点的直线系，即能够看出“动中有定”(2)求解与直线方程有关的最值问题，先求出斜率或设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值演练冲关1已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.解析：由已知画出简图，如图所示因为l1：ax2y2a4，所以当x0时，y2a，即直线l1与y轴交于点A(0,2a)因为l2：2xa2y2a24，所以当y0时，xa22，即直线l2与x轴交于点C(a22,0)易知l1与l2均过定点(2,2)，即两直线相交于点B(2,2)则四边形AOCB的面积为SSAOBSBOC(2a)2(a22)22.所以Smin，此时a.答案：2已知点P在直线x3y20上，点Q在直线x3y60上，线段PQ的中点为M(x0，y0)，且y0x02，求的取值范围解：依题意可得，化简得x03y020，又y0x02，kOM，在坐标轴上作出两直线，如图，当点M位于线段AB(不包括端点)上时，kOM0，当点M位于射线BN上除B点外时，kOM.所以的取值范围是(0，)一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019南通模拟)将直线y2x绕原点逆时针旋转，则所得直线的斜率为_解析：设直线y2x的倾斜角是，则tan 2，将直线y2x绕原点逆时针旋转，则倾斜角变为，所得直线的斜率ktan3.答案：32(2018南通中学月考)过点P(2,4)且斜率k3的直线l的方程为_解析：由题意得，直线l的方程为y43x(2)，即3xy100.答案：3xy1003若直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限，则实数k的取值范围是_解析：解方程组得因为直线y2x3k14与直线x4y3k2的交点位于第四象限，所以k60且k20，所以6k2.答案：(6，2)4(2018南京名校联考)曲线yx3x5上各点处的切线的倾斜角的取值范围为_解析：设曲线上任意一点处的切线的倾斜角为(0，)，因为y3x211，所以tan 1，结合正切函数的图象可知，的取值范围为.答案：5(2019无锡模拟)已知直线(a2)y(3a1)x1，若这条直线不经过第二象限，则实数a的取值范围是_解析：若a20，即a2时，直线方程可化为x，此时直线不经过第二象限，满足条件；若a20，直线方程可化为yx，此时若直线不经过第二象限，则0，0，解得a2.综上，满足条件的实数a的取值范围是2，)答案：2，)6(2018南京调研)已知函数f(x)asin xbcos x，若ff，则直线axbyc0的倾斜角为_解析：由ff知函数f(x)的图象关于直线x对称，所以f(0)f，所以ba，则直线axbyc0的斜率为1，故其倾斜角为.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2019泰州模拟)倾斜角为120，在x轴上的截距为1的直线方程是_解析：由于倾斜角为120，故斜率k.又直线过点(1,0)，所以直线方程为y (x1)，即xy0.答案：xy02(2018泗阳中学检测)若直线l与直线y1，x7分别交于点P，Q，且线段PQ的中点坐标为(1，1)，则直线l的斜率为_解析：设P(x,1)，Q(7，y)，则1，1，所以x5，y3，即P(5,1)，Q(7，3)，故直线l的斜率k.答案：3(2019苏州调研)已知R，则直线xsin y10的倾斜角的取值范围是_解析：设直线的倾斜角为 ，则tan sin ，1sin 1，tan ，又0，)，0或.答案：4已知两点A(0,1)，B(1,0)，若直线yk(x1)与线段AB总有公共点，则实数k的取值范围是_解析：yk(x1)是过定点P(1,0)的直线，kPB0，kPA1，所以实数k的取值范围是0,1答案：0,15已知点P(x，y)在直线xy40上，则x2y2的最小值是_解析：因为点P(x，y)在直线xy40上，所以y4x，所以x2y2x2(4x)22(x2)28，当x2时，x2y2取得最小值8.答案：86(2019南京模拟)过点P(2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_解析：若直线的截距不为0，可设为1，把P(2,3)代入，得1，a5，直线方程为xy50.若直线的截距为0，可设为ykx，把P(2,3)代入，得32k，k，直线方程为3x2y0.综上，所求直线方程为xy50或3x2y0.答案：xy50或3x2y07已知直线l：ykx1与两点A(1,5)，B(4，2)，若直线l与线段AB相交，则实数k的取值范围是_解析：易知直线l：ykx1的方程恒过点P(0,1)，如图，kPA4，kPB，实数k的取值范围是(，4.答案：(，48若直线l：1(a0，b0)经过点(1,2)，则直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值是_解析：由直线l：1(a0，b0)可知直线在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b.求直线在x轴和y轴上的截距之和的最小值，即求ab的最小值由直线经过点(1,2)得1.于是ab(ab)3，因为22，所以ab32，故直线l在x轴和y轴上的截距之和的最小值为32.答案：329已知直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为3，分别求满足下列条件的直线l 的方程：(1)过定点A(3,4)；(2)斜率为.解：(1)设直线l的方程为yk(x3)4，它在x轴，y轴上的截距分别是3,3k4，由已知，得(3k4)6，解得k1或k2.故直线l的方程为2x3y60或8x3y120.(2)设直线l在y轴上的截距为b，则直线l的方程是yxb，它在x轴上的截距是6b，由已知，得|6bb|6，所以b1.所以直线l的方程为x6y60或x6y60.10已知直线l的方程为(m22m3)x(2m2m1)y62m0.(1)求实数m的取值范围；(2)若直线l的斜率不存在，求实数m的值；(3)若直线l在x轴上的截距为3，求实数m的值；(4)若直线l的倾斜角是45，求实数m的值解：(1)当x，y的系数不同时为零时，方程表示一条直线，令m22m30，解得m1或m3；令2m2m10，解得m1或m.所以实数m的取值范围是(，1)(1，)(2)由(1)易知，当m时，方程表示的直线的斜率不存在(3)依题意，有3，所以3m24m150，所以m3或m，由(1)知所求m.(4)因为直线l的倾斜角是45，所以斜率为1.由1，解得m或m1(舍去)所以直线l的倾斜角为45时，m.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018无锡期末)过点(2,3)的直线l与x轴的正半轴，y轴的正半轴分别交于A，B两点，当AOB(O为坐标原点)面积最小时，直线l的方程为_解析：设直线l的斜率为k，且