高考数学一轮复习第九章解析几何第七节抛物线教案理苏教版.docx

第七节 抛物线1抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线：(1)在平面内；(2)动点到定点F的距离与到定直线l的距离相等；(3)定点不在定直线上2抛物线的标准方程和几何性质标准方程y22px (p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)焦点FFFF离心率e准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下焦半径(其中P(x0，y0)PFx0PFx0PFy0PFy0小题体验1抛物线2x2y0的准线方程为_解析：抛物线的标准方程为x2y，2p， ，故准线方程为y.答案：y2若抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是_解析：M到准线的距离等于M到焦点的距离，又准线方程为y，设M(x，y)，则y1，所以y.答案：3若抛物线y22px上一点P(2，y0)到其准线的距离为4，则抛物线的标准方程为_解析：由题意知，抛物线的准线为x.因为点P(2，y0)到其准线的距离为4，所以4，所以p4.所以抛物线的标准方程为y28x.答案：y28x1抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线2抛物线标准方程中参数p易忽视，只有p0才能证明其几何意义是焦点F到准线l的距离，否则无几何意义小题纠偏1平面内到点(1,1)与到直线x2y30的距离相等的点的轨迹是_答案：一条直线2抛物线8x2y0的焦点坐标为_解析：由8x2y0，得x2y.所以2p，p，所以焦点为.答案：典例引领1(2019徐州调研)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y216x上横坐标为1的点到其焦点的距离为_解析：抛物线y216x中，p8，准线方程为x4，抛物线y216x上横坐标为1的点到其焦点的距离即为到其准线的距离，d1(4)5.答案：52若点P为抛物线y2x2上的动点，F为抛物线的焦点，则PF的最小值为_解析：设点P到准线的距离为d，则有PFd，又抛物线的方程为y2x2，即x2y, 则其准线方程为y， 所以当点P在抛物线的顶点时，d有最小值，即PF的最小值为.答案：3已知直线l1：4x3y60和直线l2：x1，抛物线y24x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是_解析：由题可知l2：x1是抛物线y24x的准线，设抛物线的焦点为F(1,0)，则动点P到l2的距离等于PF，故动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值，即焦点F到直线l1：4x3y60的距离，所以最小值是2.答案：2由题悟法应用抛物线定义的2个关键点(1)涉及抛物线的焦点和准线的有关问题，应充分利用抛物线的定义求解由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化(2)注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离PF|x|或PF|y|.即时应用1(2018南京、盐城二模)在平面直角坐标系xOy中，抛物线y26x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足若直线AF的斜率k，则线段PF的长为_解析：由题意AF与x轴正半轴所成角为120，PAPF，所以PAF为正三角形因为p3，所以PFAF2p6.答案：62(2019镇江调研)已知抛物线y22px(p0)上一点P到焦点的距离为5，到y轴的距离为3，则p_.解析：抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为x，由题意可得P到准线的距离为5，又P到y轴的距离为3，故53，解得p4.答案：4锁定考向抛物线的标准方程及性质是高考的热点常见的命题角度有：(1)根据性质求方程；(2)抛物线的对称性；(3)抛物线性质的实际应用 题点全练角度一：根据性质求方程1顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P(4，2)的抛物线的标准方程是_解析：设抛物线为y2mx，代入点P(4，2)，解得m1，则抛物线方程为y2x；设抛物线为x2ny，代入点P(4，2)，解得n8，则抛物线方程为x28y.答案：y2x或x28y角度二：抛物线的对称性2已知双曲线1(a0，b0)的两条渐近线与抛物线y22px(p0)分别交于O，A，B三点，O为坐标原点若双曲线的离心率为2，AOB的面积为，则p_.解析：双曲线的渐近线方程为yx，因为双曲线的离心率为2，所以 2，.由解得或由曲线的对称性及AOB的面积得，2，解得p2，即p.答案：角度三：抛物线性质的实际应用3如图所示是抛物线形拱桥，当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m，水位下降1 m后，水面宽_ m.解析：建立如图所示的平面直角坐标系，设水面与拱桥的一个交点为A，则点A的坐标为(2，2)设抛物线方程为x22py(p0)，则222p(2)，得p1.所以抛物线方程为x22y.设水位下降1 m后水面与拱桥的交点坐标为(x0，3)，则x6，解得x0，所以水面宽为2 m.答案：2通法在握求抛物线标准方程的方法(1)抛物线的标准方程有四种不同的形式，要掌握焦点到准线的距离，顶点到准线、焦点的距离，通径长与标准方程中系数2p的关系(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2mx或x2my(m0)(3)焦点到准线的距离简称为焦准距，抛物线y22px(p0)上的点常设为.提醒求抛物线的标准方程时，一定要先确定抛物线的焦点坐标，即抛物线标准方程的形式，否则极易发生漏解的情况演练冲关1已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，焦点在直线3x4y120上，则该抛物线的方程为_解析：由题意知，抛物线的焦点在x轴上直线3x4y120交x轴于点(4,0)，抛物线的焦点为(4,0)设抛物线方程为y22px(p0)，由4，得p8，该抛物线的方程为y216x.答案：y216x2已知点P是抛物线y22x上的一个动点，则点P到点A(0，2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为_解析：依题意设P在抛物线准线的射影为P，抛物线的焦点为F，则F，由抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离PPPF，则点P到点A(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和dPFPAAF.答案：典例引领已知抛物线C：y22px(p0)的焦点为F，抛物线C与直线l1：yx的一个交点的横坐标为8.(1)求抛物线C的方程；(2)不过原点的直线l2与l1垂直，且与抛物线交于不同的两点A，B，若线段AB的中点为P，且OPPB，求FAB的面积解：(1)易知直线与抛物线的交点坐标为(8，8)，所以(8)22p8，所以2p8，所以抛物线的方程为y28x.(2)由直线l2与l1垂直，且不过原点，故可设直线l2：xym，A(x1，y1)，B(x2，y2)，且直线l2与x轴的交点为M.由得y28y8m0，6432m0，所以m2.y1y28，y1y28m，所以x1x2m2.由题意可知OAOB，即x1x2y1y2m28m0，所以m8或m0(舍去)，所以直线l2的方程为xy8，M(8,0)故SFABSFMBSFMAFM|y1y2|324.由题悟法解决直线与抛物线的位置关系问题的常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系(2)有关直线与抛物线相交的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式AB|xA|xB|p或AB|yA|yB|p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”“整体代入”等解法提醒涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解即时应用已知过点(2,0)的直线l1交抛物线C：y22px(p0)于A，B两点，直线l2：x2交x轴于点Q.(1)设直线QA，QB的斜率分别为k1，k2，求k1k2的值；(2)点P为抛物线C上异于A，B的任意一点，直线PA，PB交直线l2于M，N两点， 2，求抛物线C的方程解：(1)设直线l1的方程为xmy2，点A(x1，y1)，B(x2，y2)联立方程得y22pmy4p0，则y1y22pm，y1y24p.由题意知，点Q(2,0)，所以k1k20.(2)设点P(x0，y0)，直线PA：yy1(xx1)，当x2时，yM，同理yN.因为2，所以4yNyM2，即2，故p，所以抛物线C的方程为y2x.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1在平面直角坐标系xOy中，若抛物线y22px(p0)上横坐标为2的点到焦点的距离为4，则该抛物线的准线方程为_解析：抛物线y22px(p0)的焦点坐标为，准线方程x，由抛物线的定义可知，24，则p4，抛物线的准线方程为x2.答案：x22(2018扬州期末)若抛物线y22px(p0)的焦点也是双曲线x2y28的一个焦点，则p_.解析：抛物线y22px的焦点为，双曲线x2y28的右焦点为(4,0)，故4，即p8.答案：83已知P为抛物线y28x上动点，定点A(3,1)，F为该抛物线的焦点，则PFPA的最小值为_解析：易知点A在抛物线内部，抛物线的准线方程为x2，过点P作准线的垂线，垂足为M，则PFPAPMPA，当A，P，M三点共线时取得最小值，所以PFPA3(2)5.答案：54(2018前黄中学检测)已知抛物线y22px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线焦点坐标为_解析：由于抛物线y22px(p0)的准线方程为x，由题意得1，p2，所以焦点坐标为 (1,0) .答案：(1,0)5已知点P在抛物线y24x上，且点P到y轴的距离与其到焦点的距离之比为，则点P到x轴的距离为_解析：设点P的坐标为(xP，yP)，抛物线y24x的准线方程为x1，根据抛物线的定义，点P到焦点的距离等于点P到准线的距离，故，解得xP1，所以y4，所以|yP|2.答案：26(2019连云港模拟)设抛物线y22x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于C，BF2，则_.解析：抛物线方程为y22x，焦点F的坐标为，准线方程为x.如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，垂足分别为E，N，则BFBNx22，x2，把x2代入抛物线y22x，得y2，直线AB过点M(，0)与B.则直线AB的方程为xy30，与抛物线方程联立，解得x12，AE2.在AEC中，BNAE，故.答案：二保高考，全练题型做到高考达标1(2019宿迁一模)抛物线x24y的焦点坐标为_解析：抛物线x24y的焦点在y轴上，开口向上，且2p4，1.抛物线x24y的焦点坐标为(0,1)答案：(0,1)2过抛物线x212y的焦点F作直线垂直于y轴，交抛物线于A，B两点，O为抛物线的顶点，则OAB的面积是_解析：由题意F(0，3)，将y3代入抛物线方程得x6，所以AB12，所以SOAB12318.答案：183已知过抛物线y22px(p0)的焦点F且倾斜角为60的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A，B两点，则_.解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知AB所在的直线方程为y，联立得x2x0，解得x1，x2，所以3.答案：34(2019南通调研)已知F是抛物线C：y212x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N，若M是FN的中点，则FN的长度为_解析：F(3,0)，由题意可得M的横坐标为，FM3，FN2FM9.答案：95已知抛物线y22x的弦AB的中点的横坐标为，则AB的最大值为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x23，由抛物线的定义可知，AFBFx1x214，由图可知AFBFAB，AB4，当且仅当直线AB过焦点F时，AB取得最大值4.答案：46一个顶点在原点，另外两点在抛物线y22x上的正三角形的面积为_解析：如图，根据抛物线的对称性得AOx30.直线OA的方程yx，代入y22x，得x26x0，解得x0或x6.即得A的坐标为(6,2)AB4，正三角形OAB的面积为4612.答案：127(2018无锡调研)过点P(2,0)的直线与抛物线C：y24x相交于A，B两点，且PAAB，则点A到抛物线C的焦点的距离为_解析：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，分别过点A，B作直线x2的垂线，垂足分别为D，E(图略)，因为PAAB，所以又得x1，则点A到抛物线C的焦点的距离为1.答案：8抛物线y22px(p0)的焦点为F，O为坐标原点，M为抛物线上一点，且MF4OF，MFO的面积为4，则抛物线的方程为_解析：设M(x，y)，因为OF，MF4OF，所以MF2p，由抛物线定义知x2p，所以xp，所以yp.又MFO的面积为4，所以p4，解得p4(p4舍去)所以抛物线的方程为y28x.答案：y28x9已知抛物线y22x的焦点为F，点P是抛物线上的动点，点A(3,2)，求PAPF的最小值，并求取最小值时点P的坐标解：将x3代入抛物线方程y22x，得y.因为2，所以A在抛物线内部设抛物线上的点P到准线l：x的距离为d，由定义知PAPFPAd.当PAl时，PAd最小，最小值为，即PAPF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y22x，得x2，所以点P的坐标为(2,2)10(2018扬州中学检测)在平面直角坐标系xOy中，直线l与抛物线y24x相交于A，B两点(1)如果直线l过抛物线的焦点，求的值；(2)如果4，证明直线l必过一定点，并求出该定点解：(1)由题意：抛物线焦点为(1,0)，设l：xty1，代入抛物线y24x，消去x，得y24ty40，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24，所以x1x2y1y2(ty11)(ty21)y1y2t2y1y2t(y1y2)1y1y24t24t2143.(2)证明：设l：xtyb，代入抛物线y24x，消去x，得y24ty4b0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y24t，y1y24b，所以x1x2y1y2(ty1b)(ty2b)y1y2t2y1y2bt(y1y2)b2y1y24bt24bt2b24bb24b.令b24b4，得b24b40，解得b2.所以直线l过定点(2,0)三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018连云港二模