高考数学总复习直线、平面、简单几何体和空间向量第57讲直线、平面垂直的判定与性质练习理新人教A版.docx

第57讲直线、平面垂直的判定与性质夯实基础【p130】【学习目标】1掌握空间中线面垂直位置关系的定义、判定定理与有关性质；运用公理、定理证明或判定空间图形的垂直关系的简单命题不论何种“垂直”都能化归到“线线垂直”2会应用“化归思想”进行“线线垂直问题、线面垂直问题、面面垂直问题”的互相转化【基础检测】1已知互相垂直的平面，交于直线l.若直线m，n满足m，n，则()Aml Bmn Cnl Dmn【解析】对于A，m与l可能平行或异面，故A错；对于B、D，m与n可能平行、相交或异面，故B、D错；对于C，因为n，l，所以nl，故C正确【答案】C2已知直线a，则是a的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】由面面垂直的判定定理可得a，a，反之不成立，直线a，则是a的必要不充分条件【答案】B3下面命题中：两平面相交，如果所成的二面角是直角，则这两个平面垂直；一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面一定垂直；一直线与两平面中的一个平行与另一个垂直，则这两个平面垂直；一平面与两平行平面中的一个垂直，则与另一个平面也垂直；两平面垂直，经过第一个平面上一点垂直它们交线的直线必垂直第二个平面其中正确命题的个数有()A2个B3个C4个D5个【解析】由直线与平面、平面与平面垂直的判定和性质知，命题正确【答案】C4在下列四个正方体中，能得出ABCD的是()ABCD【解析】在中，设平面BCD上的另一个顶点为A1，连接BA1，易得CDBA1，CDAA1，则CD平面ABA1，故CDAB，均不能推出ABCD.【答案】A5、是两个不同的平面，m、n是平面及之外的两条不同直线，给出四个论断：mn；n；m.以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题_【解析】考虑如图所示的直观模型，将图固定，图进行平移或旋转，从而把与的位置关系转化为研究m、n的位置关系，于是易得如下正确命题：(1)m或m，又mmn.(2)n或n，又n.【答案】(或)【知识要点】1直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的定义(1)如果两条异面直线所成的角是直角，则这两条异面直线垂直(2)如果一条直线和平面内_任意一条直线_都垂直，那么这条直线和这个平面垂直(3)两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么这两个平面互相垂直2直线与平面、平面与平面垂直的判定定理(1)直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面即a，b，abP，la，lbl.(2)平面与平面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直即a，a.3直线与平面、平面与平面垂直的性质定理(1)直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行即a，bab(2)平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面即，l，al，aa.典例剖析【p131】考点1直线与平面垂直的判定与性质如图、，已知异面直线a，b的公垂线为AB，试证：(1)若a，b都平行于平面，则AB；(2)若a，b分别垂直于平面，设c，则ABc.【解析】(1)在平面内任取一点P，设直线a与P确定的平面与相交于a，直线b与P确定的平面与相交于b.a，b，aa，bb，又ABa，ABb，ABa，ABb，AB.(2)过B作直线BB，则BB与b是相交直线，设BB与b确定平面.c，BBAB，ABc.【点评】1.证明线面垂直的方法主要有：利用线面垂直的定义：a与内任何直线垂直a；利用判定定理：l.利用第二个判定定理：ab，ab；利用面面平行的性质定理：，aa.利用面面垂直的性质定理：，l，a，ala.2由已知想性质，即根据条件得出结论应用性质考点2平面与平面垂直的判定与性质如图，在矩形ABCD中，AB2AD，E是AB的中点，沿DE将ADE折起(1)如果二面角ADEC是直二面角，求证：ABAC；(2)如果ABAC，求证：平面ADE平面BCDE.【解析】(1)如图，过点A作AMDE于点M，则AM平面BCDE，所以AMBC.又ADAE，所以M是DE的中点取BC的中点N，连接MN，AN，则MNBC.又AMBC，AMMNM，所以BC平面AMN，所以ANBC.又因为N是BC的中点，所以ABAC.(2)如图，取BC的中点N，连接AN.因为ABAC，所以ANBC.取DE的中点M，连接MN，AM，所以MNBC.又ANMNN，所以BC平面AMN，所以AMBC.又M是DE的中点，ADAE，所以AMDE.又因为DE与BC是平面BCDE内的相交直线，所以AM平面BCDE.因为AM在平面ADE内，所以平面ADE平面BCDE.【点评】1.证明面面垂直的方法有：利用定义：和所成的二面角为直二面角；利用判定定理：a，a.2掌握性质定理：，l，a，ala，用来证明线面垂直，也用来确定点到平面的垂线段；，点P，Pa，aa.3注意转化思想的灵活应用考点3垂直关系中的探索性问题如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形D为线段AC的中点(1)求证：BD平面ACC1A1；(2)求证：直线AB1平面BC1D；(3)设M为线段BC1上任意一点，在BC1D内的平面区域(包括边界)是否存在点E，使CEDM？请说明理由【解析】(1)三棱柱ABCA1B1C1中，各个侧面均是边长为2的正方形，CC1BC，CC1AC，CC1平面ABC，又BD平面ABC，CC1BD，又底面为等边三角形，D为线段AC的中点，BDAC，又ACCC1C，BD平面ACC1A1.(2)连接B1C交BC1于O，连接OD，则O为B1C的中点，D是AC的中点，ODAB1，又OD平面BC1D，AB1平面BC1D，直线AB1平面BC1D.(3)在BC1D内的平面区域(包括边界)存在点E，使CEDM，此时E在线段C1D上，证明如下：过C作CEC1D交线段C1D与E，由(1)可知，BD平面ACC1A1，而CE平面ACC1A1，BDCE，由CEC1D，BDC1DD，得CE平面BC1D，DM平面BC1D，CEDM.【点评】解决探究某些点或线的存在性问题，一般方法是先研究特殊点(中点、三等分点等)、特殊位置(平行或垂直)，再证明其符合要求，一般来说是与平行有关的探索性问题常常寻找三角形的中位线或平行四边形对于是否存在问题，首先要分析条件，看结论需要的条件已有哪些，分析欲使结论成立，还需要什么条件，结合所求，不难作出辅助线方法总结【p132】1证明直线与平面垂直常运用判定定理，即转化为线线的垂直关系来证明2证明线面垂直的方法主要有(以下A，P表示点，m，n，l，a，b表示直线，表示平面)：(1)利用线面垂直的定义：a与内任何直线垂直a；(2)利用判定定理：l；(3)利用第二判定定理：ab，a，则b；(4)利用面面平行的性质定理：，a，则a.(5)利用面面垂直的性质定理：，l，a，al，则a.3面面垂直的证明方法：(1)利用定义：和所成的二面角为直二面角；(2)利用判定定理：若a，a，则.4性质定理的恰当应用：(1)若，l，a，al，则a，用来证明线面垂直，也用来确定点到平面的垂线段；(2)若，点P，Pa，a，则a.5垂直关系的转化程序线线垂直线面垂直面面垂直走进高考【p132】1(2018全国卷)如图，边长为2的正方形ABCD所在平面与半圆弧所在平面垂直，M是上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值【解析】(1)由题设知，平面CMD平面ABCD，交线为CD.因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM.因为M为上异于C，D的点，且DC为直径，所以DMCM.又BCCMC，所以DM平面BMC.而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC.(2)以D为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz.当三棱锥MABC体积最大时，M为的中点由题设得D(0，0，0)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，M(0，1，1)，(2，1，1)，(0，2，0)，(2，0，0)设n(x，y，z)是平面MAB的法向量，则即可得n(1，0，2)是平面MCD的法向量，因此cosn，sinn，所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是.2(2018全国卷)如图，在三棱锥PABC中，ABBC2，PAPBPCAC4，O为AC的中点(1)证明：PO平面ABC；(2)若点M在棱BC上，且二面角MPAC为30，求PC与平面PAM所成角的正弦值【解析】(1)因为APCPAC4，O为AC的中点，所以OPAC，且OP2.连结OB.因为ABBCAC，所以ABC为等腰直角三角形，且OBAC，OBAC2.由OP2OB2PB2知POOB.由OPOB，OPAC知PO平面ABC.(2)如图，以O为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz.由已知得O(0，0，0)，B(2，0，0)，A(0，2，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，(0，2，2)，取平面PAC的法向量(2，0，0)设M(a，2a，0)(0a2)，则(a，4a，0)设平面PAM的法向量为n(x，y，z)由n，n0，得可取n(a4)，a，a)，所以cos，n.由已知得|cos，n|.所以.解得a4(舍去)，a.所以n.又(0，2，2)，所以cos，n.所以PC与平面PAM所成角的正弦值为.考点集训【p248】A组题1直线a平面，直线b，则a与b的关系是()Aab BabCa、b异面Da、b相交【解析】设法在平面内寻求一条直线与b平行【答案】B2已知m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列说法中：若m，m，则；若m，则m；若m，m，则；若m，nm，则n.所有正确说法的序号是()A BC D【解析】若m，m，则，显然一条直线垂直两不同平面，则这两个平面平行，所以正确；若m，则m，这种情况要排除m在面内，所以错误；若m，m，则，显然成立；若m，nm，则n，此种情况n可以和平行或相交或在内，故错误【答案】B3已知，为不同的平面，m，n为不同的直线，则m的一个充分条件是()Am，B，mC，n，mnDn，n，m【解析】A、B、C项错误，满足条件的m和平面可能平行；D项正确，n，n，结合m知m.【答案】D4如图所示，在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90.将ADB沿BD折起，使平面ABD平面BCD，构成三棱锥ABCD，则在三棱锥ABCD中，下列结论正确的是()A平面ABD平面ABCB平面ADC平面BDCC平面ABC平面BDCD平面ADC平面ABC【解析】在四边形ABCD中，ADBC，ADAB，BCD45，BAD90，BDCD.又平面ABD平面BCD，且平面ABD平面BCDBD，故CD平面ABD，则CDAB.又ADAB，ADCDD，AD平面ADC，CD平面ADC，故AB平面ADC.又AB平面ABC，平面ADC平面ABC.【答案】D5ABCD是正方形，P为平面ABCD外一点，且PA平面ABCD，则平面PAB、平面PBC、平面PDC、平面PAD、平面ABCD这五个平面中，互相垂直的平面有_对【解析】如图，可得平面PAB平面ABCD，平面PAD平面ABCD，平面PAB平面PAD，平面PBC平面PAB，平面PDC平面PAD，共5对【答案】56下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出l面MNP的图形的序号是_(写出所有符合要求的图形序号)【解析】、易判断，中PMN是正三角形且AMAPAN，因此三棱锥APMN是正三棱锥所以图中l平面MNP，由此法，还可否定，AMAPAN.也易否定.故填.【答案】7如图，三棱锥PABC中，PB底面ABC，BCA90，PBBCCA2，E为PC的中点，点F在PA上，且2PFFA.(1)求证：平面PAC平面BEF；(2)求三棱锥ABFC的体积【解析】(1)PB底面ABC，且AC底面ABC，ACPB，由BCA90，可得ACCB，又PBCBB，AC平面PBC.注意到BE平面PBC，ACBE，PBBC，E为PC中点，BEPC，PCACC，BE平面PAC.而BE平面BEF，平面PAC平面BEF.(2)VABFCVFABC，作FHPB，PB平面ABC，FH平面ABC，FH，VFABCSh22.8如图，直三棱柱ABCA1B1C1中(侧棱与底面垂直的棱柱)，ACBC1，ACB90，AA1，D是A1B1的中点(1)求证：C1D平面AA1B1B；(2)当点F在BB1上的什么位置时，AB1平面C1DF？并证明你的结论【解析】(1)ABCA1B1C1是直三棱柱，A1C1B1C11，且A1C1B190.又D是A1B1的中点，C1DA1B1.AA1平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，AA1C1D，C1D平面AA1B1B.(2)作DEAB1交AB1于点E，延长DE交BB1于点F，连接C1F，则AB1平面C1DF，点F即所求事实上，C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，C1DAB1.又AB1DF，DFC1DD，AB1平面C1DF.AA1A1B1，四边形AA1B1B为正方形又D为A1B1的中点，DFAB1，F为BB1的中点，当点F为BB1的中点时，AB1平面C1DF.B组题1某几何体的三视图如图所示，该几何体的各面中互相垂直的面的对数是()A2 B4 C6 D8【解析】由三视图还原直观图，知该几何体是正方体截去两个三棱柱后剩余的平行六面体ABCDA1B1C1D1，如图所示显然，上、下两个底面都与前、后两个侧面垂直，即4对面面垂直；左、右两个侧面均与前、后两个侧面垂直，即4对面面垂直综上得面面垂直的位置关系共有8对【答案】D2在棱长为1的正方体ABCDABCD中，E是AA的中点，P是三角形BDC内的动点，EPBC，则P的轨迹长为()A.B.C.D.【解析】先找到一个平面总是保持与BC垂直，取BB，BC，AD的中点F，H，G. 连接EF，FH，EG，GH，在正方体ABCDABCD中，有BC面EFHG，又P是三角形BDC内的动点，根据平面的基本性质得：点P的轨迹为面EFHG与面BDC的交线段MN，在直角三角形MNH中，NH，MH.MN.【答案】D3如图梯形ABCD中，ADBC，ABC90，ADBCAB234，E，F分别是AB，CD的中点，将四边形ADFE沿直线EF进行翻折，给出四个结论：DFBC；BDFC；平面DBF平面BFC；平