数值分析第8讲正交多项式.ppt

数值分析,Numerical Analysis, ,河北理工大学 HEBEI POLYTECHNIC UNIVERSITY,第三章,函数逼近,H,函 数 逼 近,函数逼近的基本概念,1,正交函数系的性质,正交多项式的构造,函数的最佳平方逼近,正交多项式的基本概念,H,第1节 函数逼近的基本概念,H,函数逼近,（足够的小）,N维空间,H,N+1维空间,定理1,Weierstrass,H,范数与赋范空间,内积与内积空间,N维数量空间内积,H,推而广之,H,内积空间常用的范数为：,H,内积空间的重要结论,定理2,Cauchy-Schwarz不等式,特别地,H,定理3,Gram矩阵,H,第2节 正交多项式,H,定义6.2,一、正交多项式的概念,H,三角函数系：,正交性：,回忆傅氏级数的结论,H,H,区间a,b上关于权函数的正交函数系必定线性无关,证明,证毕,定理6.2,二、正交多项式的性质,H,证明：,定理6.3,H,证毕,H,三、正交多项式系的主要特征,H,四、正交多项式系的构造,H,Clearx,f f0=1; fk_:=xk-Sum(Integratexk*fi,x,0,1)/ (Integratefi2, x,0,1)*fi,i,0,k-1 Tablefk,k,0,6/N; Expand%/N; MatrixForm% Fi_,j_:=Integratefifj,x,0,1 TableFi,j,i,0,6,j,0,6; MatrixForm%,程序设计,H,请同学们写出,H,正交性验证：,H,请同学们写出,H,及其结构特点,五、勒让德(Legendre)正交多项式,H,H,H,请同学们写出,3.23切夫多项式,六、切比雪夫(Chebyshev)正交多项式,H,及其结构特点,H,H,请同学们写出,H,七、拉盖尔（Laguerre）正交多项式,H,第3节 函数的最佳平方逼近,H,为定义在a,b上的一组线性无关的连续函数。,如果函数,使得,一、最佳平方逼近的概念,设函数f(x)在区间a,b上连续，,H,特别地,H,二、最佳平方逼近函数的求解,根据多元函数取极值的必要条件得：,H,注意,H,Clearg,f,G fx_:=？ gn_:=xn; Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1 GFi_:=Integratefxgi,x,0,1 A=TableGi,j,i,0,n,j,0,n; MatrixForm% b=TableGFi,i,0,n; MatrixForm% LinearSolveA,b/N F=%.Tablegi,i,0,n,程序设计,H,求 在0,1上的一次最佳平方逼近多项式,【解】,H,正规方程组为,所以 在0,1上的一次最佳平方逼近多 项式为,H,注 意,若用正交多项式，正则方程组较简单,H,求 在0,1上的二次最佳平方逼近多项式,首先构造正交多项式,【解】,H,H,Clearg,f,G,F fx_:=SinPi*x; gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,0,1) /(Integrategi2, x,0,1)*gi,i,0,k-1 Tablegk,k,0,2; MatrixFormExpand% Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1 TableGi,j,i,0,2,j,0,2; MatrixForm% GFi_:=Integratefxgi,x,0,1 Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,2; Fn/N; Expand%,程序设计,H,求,利用已知的正交多项式系,Legendre多项式是-1,1上正交多项式系,【解】,H,正规方程组的解为：,H,Clearg,f,G fx_:=Expx; gn_:=xn; Gi_,j_:=Integrategigj,x,-1,1 GFi_:=Integratefxgi,x,-1,1 A=TableGi,j,i,0,3,j,0,3; MatrixForm% b=TableGFi,i,0,3; MatrixForm% LinearSolveA,b/N; F=%.Tablegi,i,0,3,程序设计,H,Clearg,f,G,F fx_:=Expx; gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,-1,1)/(Integrategi2, x,-1,1)*gi,i,0,k-1 Tablegk,k,0,3; MatrixFormExpand% Gi_,j_:=Integrategigj,x,-1,1 TableGi,j,i,0,3,j,0,3; MatrixForm% GFi_:=Integratefxgi,x,-1,1 Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,3; Fn/N; Expand%,程序设计,H,OK! Thats the end!,H,H,程序设计,Clearg,f,G,F fx_:=SinPi*x; gk_:=xk-Sum(Integratexk*gi,x,0,1)/(Integrategi2, x,0,1)*gi,i,0,k-1 Tablegk,k,0,2; MatrixFormExpand% Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1 TableGi,j,i,0,2,j,0,2; MatrixForm% GFi_:=Integratefxgi,x,0,1 Fn_:=SumGFn/Gn,n*gn,n,0,2; Fn/N; Expand%,H,程序设计,Clearg,f,G fx_:=Sqrtx; gn_:=xn; Gi_,j_:=Integrategigj,x,0,1 GFi_:=Integratefxgi,x,0,1 A=TableGi,j,i,0,2,j,0,2; MatrixForm% b=TableGFi,i,0,2; MatrixForm% LinearSolveA,b/N; F=%.Tablegi,i,0,2,H,程序设计,H,Clearg,f,G fx_:=CosPi*x