结构地震反应分析与抗震验算.ppt

第3章 结构地震反应分析与结构抗震验算,本章是全课的重点！,3.1 概述,基本概念：,地震作用与地震作用效应,地震作用：是指地面振动在结构上产生动力荷载，俗称为地震荷载。,注意：是间接作用,地震作用效应：地震作用产生结构的内力和变形,结构动力特性,结构的自振周期、阻尼、振型等。,地震作用简化为三个方向：两个水平方向，一个竖向。,地震作用的简化：,一般分别计算三个方向的地震作用。,是结构地震作用的计算方法 （应属于结构动力学的范畴）,结构的地震反应：,结构的地震反应分析：,结构的 位移、速度、加速度 及内力和变形 。,3.2 单自由度弹性体系的地震反应分析,曾经的问题：一建筑物可假定为刚体，质量为100t，问该建筑的地震力在69度时，分别为多少？,F=ma,新的问题：两个质量相同的实际建筑物，其地震作用（地震力）一样大吗？,地震作用的大小与什么有关？,一、结构的计算简图 水平地震作用下结构的自由度简化,体系的自由度问题,一个自由质点,若不考虑其转动,则相对于空间坐标系有3个独立的唯一分量,因而有三个自由度（上下、左右、前后）,而在平面内只有两个自由度.,如果忽略直杆的轴向变形,则在平面内与直杆相连的质点只有一个位移分量,即只有一个自由度,二、单自由度弹性体系的运动方程,作用于质量m上的水平方向的力： 弹性恢复力 阻尼力,“-”表示与x方向相反,1、运动方程建立,质量m的绝对加速度,由牛顿第二定律,单质点的地震作用,只要求解出 ，就求出了质点的 地震作用。,式中,相当于由地震产生的作用于结构上的强迫力。,整理后,这是一个二阶线性非齐次微分方程，其解为齐次方程的通解与非齐次方程通解之和。,2、关于单自由度振动的几个概念,圆频率 周期 频率 阻尼比 一般结构的阻尼比0.010.1之间，一般取0.05。,3、齐次方程的通解（有阻尼自由振动）,当 很小时,解为,为有阻尼的圆频率,注意其解与结构的初位移和初速度有关。,非齐次微分方程的解为齐次方程的通解与非齐次方程的特解之和。,有阻尼自由振动,无阻尼自由振动,齐次方程的通解,4、非其次方程的特解,非齐次方程的特解杜哈米积分,思路： 1、利用齐次方程的通解 2、将地震的地面加速度分成有限个脉冲 3、讨论在单一脉冲作用后结构的响应 4、单一脉冲作用后结构的响应为自由振动，解的形式已知（只是初速度不同）。 5、在所有脉冲作用下结构的响应为每一自由振动的叠加（积分）,在脉冲下结构的响应,地面运动的加速度 曲线是一个不能用数学表达式表示的曲线。我们可以将其分为无限个微分脉冲。每一个微分脉冲将产生一个自由振动（一个位移dx ），无限个微分脉冲产生的位移积分即是方程的特解。 由dt时间的脉冲 产生的自由振动在t时刻的位移为：,初位移 初速度,将所有脉冲积分, 非齐次方程的特解也称为杜哈米积分,非齐次方程的特解与齐次方程的通解相加构成非齐次方程的通解，一般情况下，初位移和初速度均为零，故其解为杜哈米积分。,齐次方程的通解,非齐次方程的特解,求出位移反应的解后，微分后还可求出速度反应。,同理可写出加速度反应,进一步求出,得到结构的地震作用,三、关于反应谱的计算,由于地震的运动是一个复杂的问题，我们关 心地震反应的最大值比随时间的反应更有意义。 可写出最大反应：简化时取,加速度最大值,速度 最大值,位移 最大值,当地面运动 及结构的阻尼 确定后，可以看出结构的反应仅与结构的自振周期 有关。绘出的曲线称为反应谱。加速度反应谱，速度反应谱，位移反应谱。,四、反应谱理论的意义,根据已有的大量地震地面运动的记录，再运用结构动力学中弹性振动理论，通过计算结构的地震反应来确定地震作用。 （将计算结果以地震反应随结构自振周期的变化规律曲线的方式表达，供设计时查用。有最大加速度反应谱、最大速度反应谱、最大位移反应谱等。）,加速度反应谱的意义,五、地震反应谱示例（ Elcentro波 ）,速度反应谱,加速度反应谱,位移反应谱,场地影响,六、反应谱的特征,1.加速度反应随结构自振周期增大而减小。 2.位移随周期增大而增大。 3.阻尼比的增大使地震反应减小。 4.场地的影响，软弱的场地使地震反应的峰值范围加大。,3.3 单自由度弹性体系的水平地震作用及其反应谱,一、单自由度弹性体系的水平地震作用,(2)利用它 的最大值来对结构进行抗震计算,把动力问题转化为静力问题计算.,将惯性力看为反映地震对结构影响的等效力，取最大值。,G为重力，质点的重力荷载，单位KN（力）,大致为多少？,（二）影响水平地震作用的因素,1、G，结构的重量（或称为重力荷载代表值）。 G越大，地震作用越大。,2、K，称为地震系数。表示地面震动的大小。 K与烈度有关。规范根据烈度所对应的地面加速度峰值进行调整后得到。,3、，称为动力系数。 与结构的动力特性和外激励有关。,简谐激励,地震激励,与地震作用频率组成（场地）有关；与结构的自振周期有关；与结构的阻尼有关。,通过大量的分析计算，我国地震规范取最大的动力系数max为2.25。,4、为计算简便令=k。是一个无量纲的系数，称为水平地震影响系数。,问题：如何减小结构的地震作用？,二、抗震设计反应谱（标准反应谱） 地震是随机的，每一次地震的加速度时程曲 线都不相同，则加速度反应谱也不相同。 抗震设计时，我们无法预计将发生地震的时 程曲线。用于设计的反应谱应该是一个典型的具 有共性的可以表达的一个谱线。,标准化,规范给出的设计反应谱，考虑了场地的类型、地震分组、结构阻尼等影响。 1、抗震设计反应谱（地震影响系数）,注意书上的错误,2、各系数意义 （1）反应谱是-T关系谱， 实质是加速度谱。,（2）为一无量纲系数， T的量纲为秒。,（3）Tg为特征周期值，与场地类别和地震分组有关。,-曲线下降段的衰减指数；,-直线下降段的斜率调整系数；,-阻尼调整系数，小于 0.55时，应取0.55。,2010年新规范,3、抗震设计反应谱（ 谱）的特点,5）特征周期Tg ，坚硬场地Tg 小，软 弱的场地Tg 大。,1）T的区间，0 6 s。一般建筑T 都小于6.0s。,2）存在最大值，T=0.1Tg 之间， = max。,3）TTg后， 随T而减小。,4）T=0，=0.45 max。T 0.1S 之间，按直线增大。,6）的大小与地震烈度（ max）、结构的自振 周期T、特征周期Tg及结构的阻尼等有关。,三、用于设计的max 值（多遇烈度，罕遇烈度）,多遇烈度=基本烈度-1.55度(1/2.82) 罕遇烈度=基本烈度+1度左右(相当于2.13倍、1.88倍和1.56倍）,四、计算地震作用时结构重量G的计算,计算地震作用时，采用的建筑结构的重量称 为重力荷载代表值。,重力荷载代表值 = 结构自重标准值 + Ei可变荷载标准值,Ei为组合值系数，考虑地震与可变荷载同时出现的可能性。,组合值系数,单自由度体系的水平地震作用的计算,现在可计算单自由度结构的地震作用,计算G,计算结构的自振周期T和阻尼比,计算,确定设防烈度max,确定建设场地及地震分组（Tg）,计算FEK,进行后续计算,作业：单质点体系，质点的重量为1000kN. 分别计算下列情况结构的多遇烈度地震作用（用表格计算），并将计算结果表示在图上。根据计算结果讨论不同因素对地震作用大小的影响。设计地震分组为1组。 1.设防烈度分别为7、8、9度。 2.场地类型分别为、类。 3.结构的自振周期分别为0.3S、0.6S、1.2S。 4.结构的阻尼比分别为0.05、0.1、0.15。,地震作用,影响因素,设防烈度,场地类型,自振周期,3.4 多自由度弹性体系地震反应分析的 振型分解法,一、多自由度体系振动微分方程建立 二、多自由度体系无阻尼自由振动方程求解（自振周期和振型） 三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分解法）,一、多自由度弹性体系的运动方程,1、计算模型 一般n层结构有n个质点，n个自由度,2、运动微分方程（以两自由度为例） 1）作用于质点上的力 作用于1质点上的惯性力为,作用于1质点上的弹性恢复 力为,作用于1质点上的阻尼力为,2）质点1的动力平衡方程 I1 + D1 + S1 = 0 得：,同理可得到质点2的动力平衡方程,（1）,（2）,将（1）、（2）式用矩阵表示：,其中：,推广到多自由度体系：,微分方程组的求解较困难， 可先求出结构的自振周期和振型，利用无阻尼自由振动方程求周期和振型（小阻尼体系的自振周期与无阻尼相同）。,二、多自由度无阻尼自由振动方程求解,令其解为,代回方程：,1、自振频率和振型分析,将wi依次回代方程可得到相对的振幅Xi， 即为振型。 若为两个自由度,令n=2，则有,系数行列式,可求出n个（圆频率）,解出,将求出的w1、w2分别代回方程，可求出x1 、x2的相 对值 对应于w1为第一振型,对应于w2为第二振型,可见对应于结构的某一自振频率，结构各质点振 动的位移比是一个定值，这就是振型。结构的振 型数与自振频率数相同。,例题3.1,两质点体系，m1=60t，m2=50t， k1=5104 kN/m，k2=3104 kN/m 求该体系的自振周期和振型 k11=k1+k2=8104 kN/m k12=k21=-k2=-3104 kN/m k22= k2 =3104 kN/m,注意：k1、k2及k11、k12、k22的意义。 k1、k2是层间刚度。 k11是1质点产生单位位移（其它点不动）所需的水平力。 k12是2质点发生单位位移时在1质点处产生的水平力。,注意：量纲的对应，质量t， 刚度kN/m,求出：1=17.5 rad/s ，2=40.32 rad/s,T1=2/1=0.358 s , T2=0.156 s,注意:建筑结构自振周期的范围.,将代回方程可求出振型。,将振型写成矩阵,1振型,2、振型的正交性分析,振型关于质量矩阵正交,振型关于刚度矩阵正交,Mj 称为广义质量,Kj 称为广义刚度,以两自由度例题为例：,当jk时,当j=k=1时,称为广义质量,当j=k=1时,称为广义刚度,利用振型正交性的原理可以使微分方程组的求解大大的简化,考察方程及振型的正交性，是否能利用正交性将方程组简化为n个独立的微分方程？,3、振型分解（叠加）原理,多自由度线性体系的振动位移x（t）可以表示为各振型下位移反应的叠加（线性组合）。,按照振型叠加原理，弹性结构体系，每一个质点在振动过程中的位移等于各振型的线性组合：,以两质点为例： 第1质点的位移,1质点1振型,1质点2振型,第2质点的位移,2质点1振型,2质点2振型,写成一般形式：,振型矩阵,进一步有：,振型矩阵：,三、多自由度体系振动微分方程求解（振型分解法） 在具有振型正交性的概念后，可用振型分解法来解多自由度体系振动微分方程。,引入坐标变换：,代回方程得,为了利用振型的正交性，在方程的两边左乘一个,根据振型的正交性有：,假定：,得到如下q的n个独立方程：,当 和 的角标不同时，方程的左边为0。,方程的两边除以,其中：,方程的形式为：,与单质点的方程形式相同,称为振型参与系数,q的解为（对应于j振型）：,或写成：,j振型的反应,j振型的振型参与系数,j振型的圆频率,j振型的阻尼比,分别求出1n个振型的反应,质点的地震反应位移为：,至此，求出多自由度体系的地震反应。,四、 结构自振周期和振型的计算,在进行结构的地震作用计算时，必须求出结 构的自振周期和振型，在进行最简单的计算（底 部剪力法）时，也要计算结构的基本周期。 结构自振周期的计算方法有： 1、理论与近似的计算 2、经验公式 3、试验方法等,求出多自由度体系的地震反应后，即可计算多自由度体系的地震作用。在此之前，我们先讲自振周期和振型的计算方法。,1、近似方法1能量法 原理：能量守恒 一个无阻尼的弹性体系在自由振动中任何时 刻的总能量（位能与动能和）不变。 当体系的位移最大时，位能最大为 动能为0。 当体系的速度最大时，动能最大为 为能为0。,(一)理论与近似计算方法,则有：,已知体系无阻尼自由振动的位移和速度为：,体系的最大位能：,体系的最大动能：,多质点体系,多质点体系,当x为某振型时可求出对应频率。 计算基本周期时，则x为第一振型的变形曲线。将集中 质量作为水平荷载求出的位移ui做为第一振型的变形曲线。（假定或近似）,广义刚度,广义质量,体系按基本频率1作自由振动,相应的基本振型取一种近似形式,即假设各质点的重力荷载Gi作为水平作用产生的弹性变形曲线.,在振动过程中,质点i的瞬时位移为,速度为,则有,用周期表示：,ui将各质点的重力荷载视为水平荷载产生的位移（m） Gi质点i的重力荷载(KN),注意,G1=400KN， G2=300KN， K1=14280KN/m， K2=10720KN/m， 计算各层剪力V1=700KN， V2=300KN 计算水平位移 u1=V1/K1=0.049m， u2=V1/K1+V2/K2=0.077m 计算基本周期 =0.508s,例：一两层框架，求其基本周期,2、等效质量法,原理：,振动系统的自振频率分析 （连续系统）,简化为离散系统,单质点体系,多质点体系,两系统求出的自振频率相同并符合实际的条件是总动能等效。 简化系统的刚度和约束条件应与原系统完全相同。,将多质点体系用一个单质点体系代替，使其自 振频率相等。 若使两个体系的自振频率等效，则 应使两个体系的刚度和质量的比（k/m）也等效。,从能量的观点看，势能和动能的相互转换导 致了振动。,系统在动能意义下的质量称为系统的等效质量：,（系统在势能意义下的刚度称为系统的等效刚度）,由动能等效：,等效质量,根据刚度等效，有 并已知第一振型的变形曲线（ ），可计算出等效质量。,最后得到基频,等效质量的另一种推导：将分布i点的质量mi等效集中到另一点j，等效后的质量为me。,等效的原则是：等效前后自振频率相等。,对于多质点体系，邓克莱证明仍可用上式计算，总的等效质量为：,或：,例 用折算质量法计算上例 G1=400KN， G2=300KN， K1=14280KN/m， K2=10720KN/m，,、计算两体系的刚度（或柔度） 在单位力下的侧移（柔度）：原体系 1=1/k1=1/14280 2=1/k2+1=1/10720+ 1/14280,等效体系的柔度： =2 等效体系的刚度：K=1/=6123 KN/m 前面已求出：x1=0.049m，x2=0.077m 、计算折算质量Meq Meq=47.14 t 、计算结构的基本周期,注意公式中的量纲（t，m）,用第2种方法，将G1（m1）等效到顶点,T1=0.56s,折算质量法计算结构的基本周期，常用于 将结构的分布质量或其他位置的质量等效为一单 质量模型。如将单厂的柱、墙、吊车梁等质量等 效到结构顶部，求出一个质量换算系数。 如将纵墙或柱的 质量折算到柱顶，求 出的换算系数为0.25。 （见书P46例3.4）,L,3、顶点位移法,当结构的质量沿高度均匀分布时，可将结构简化为无限质点体系的悬臂杆，求出结构的顶点位移，用顶点位移表示自振周期。 体系按弯曲振动时 剪切型 弯剪型,顶点位移单位为米,可用于计算一般多高层框架结构的基本周期,顶点位移的计算,按照框架在集中于楼盖的重力荷载作为水平作用产生的顶点位移.,弯剪型,弯曲型变形：以弯矩产生的变形为主，如剪力墙结构,剪切型变形：以剪力产生的变形为主，如框架结构,弯剪型变形：弯矩、剪力产生的变形都不能忽略，如 框架剪力墙结构。,4、矩阵迭代法（略）,(二)、经验公式 剪力墙结构体系 框剪结构体系 一般砖混结构的周期为0.3s左右。 (三)、试验方法 1、自由振动法 2、共振法 3、脉动法,5、计算机方法 （略）,N为建筑的层数。,令 则,第i质点的位移,3.5、多自由度体系的水平地震作用 一、振型分解反应谱法,微分方程的解为,多自由度体系的微分方程可写成：,加速度为,惯性力为,这样可计算出多质点体系的地震作用,我们注意到 是随时间变化的。与单质点体系一样， 的计算对于工程设计来说是复杂的。若只计算 的最大值则相对简单的多。,计算 最大值可有不同的方法：,方法1：求出 的所有值取最大值。,该方法太复杂。,方法2： 振型分解反应谱法,将地震作用按振型分解,按某种合理的方式组合,求出各振型下地震作用的最大值（用反应谱法）,地震作用的分解和叠加, j振型地震作用计算： 对于一个按 振型的振动的多质点体系可视为阻尼为 频率为 的单质点体系，用反应谱理论求地震作用。,合理的组合：经研究，将各振型下i质点上的地 震作用产生的作用效应Sj平方和开方作为i质点上 总的地震效应，这样的组合 较合理：,单质点体系,与单质点的差别,振型分解反应谱法的过程：,求多质点体系的自振频率、振型求各振 型下的地震反应效应总效应 例 用振型分解法求结构的 层间剪力。设防烈度为 8度第一组，类场地。,1、求结构的自振周期和振型,T1=0.467s, T2=0.208s, T3=0.134s 第一振型 x1=0.334 0.667 1.00 第二振型 x2=-0.667 -0.666 1.00 第三振型 x3=4.019 -3.035 1.00 2、计算各振型的地震影响系数j amax=0.16, Tg=0.45s 当阻尼比=0.05时，=0.9 ，2=1 计算得 ：a1=0.139 a2=0.16 a3=0.16,3、计算振型参与系数,由振型参与系数 计算得： g1=1.363, g2=-0.428 , g3=0.063 注意:验算g=1 4、计算各振型各楼层的地震作用,第一振型地震作用,F11=167.4KN F12=334.4KN F13=334.2KN 第二振型地震作用 F21=120.9KN F22=120.7KN F23=-120.8KN 第三振型地震作用 F31=107.2KN F32=-80.9KN F33=17.8KN 5、计算各振型的层间剪力Vji（作用效应） 第1层 第2层 第3层 （第1振型） V11=836KN V12=668.6KN V13=334.2KN （第2振型） V21=120.8KN V22=-0.1KN V23=-120.8KN （第3振型） V31=44.1KN V32=-63.1KN V33=17.8KN,6、计算地震效应-层间剪力组合,第一层的剪力V1 V1=845.8KN 同理得 V2=671.6KN V3=335.8KN 注意:组合的地震效应与第一振型的地震剪力分布相近. V11=836KN V12=668.6KN V13=334.2KN （第1振型）,是巧合？还是有内在联系？,二、 计算水平地震作用的底部剪力法,用振型分解反应谱法计算比较复杂，能否采用简单近 似的方法？前面的例题中发现，总的地震作用效应与第 一振型的地震剪力分布相近，用第一振型的地震剪力作 为结构的地震剪力的方法称为底部剪力法。 1、底部剪力法的适用条件和假定： 适用条件：建筑高度不超过40m 以剪切变形为主 质量和刚度沿高度分布均匀 假定：位移反应以第一振型为主，为一直线。,总思路是：首先求出等效单质点的作用力（即底 部剪力），然后再按一定的规则分配到各个质点。最后 按静力法计算结构的内力和变形。,2、底部剪力计算,1 对应基本周期的地震影响系数 Geq 结构等效总重力荷载代表值， c等效系数 单质点：c=1， 多质点：c=0.85,结构底部的总地震剪力,3、各质点的水平地震作用标准值计算,结构底部的地震剪力： 求出结构各层的地震作用和地震剪力。,结构各层的地震作用与该层的重力荷载代表值（质量）及该层水平变形有关,前面假定，结构的变形为一直线，则与该层的高度 成正比。,Fi,i层的地震作用：,结构底部的总剪力：,求出：,并代回第1式,各质点的水平地震作用,注意：Hi是从地面到第i层的高度,4、对底部剪力法的修正,底部剪力法是一种近似计算，在一般情况下误差较小。 在有些情况下，误差较大，需进行修正。 1）对于层数较多，自振周期 的建筑,顶部需附加水平地震作用 。,Tg(s) T11.4Tg T1=0.55 0.08T1-0.02,不考虑,2）鞭梢作用：局部突出屋顶的小屋的地震作用效应按计算结果放大3倍，但增大的2倍不向下传递。,顶层：,Fn+13,3）注意当 又有鞭梢作用时， 应作用在主体的顶部，而不作用在小屋顶。,顶部附加作用是考虑高振型 对底部剪力法的修正。 鞭梢作用是考虑刚度突变对 地震作用产生的影响。,例： 用底部剪力法计算如图结构的层间地震剪力。8度第一组，多遇烈度,类场地。层高3.5米。 解：结构的基本周期 T1=0.467s，Tg=0.45s 1)、计算等效总重力荷载代表值： Geq=0.85Gi =5997.6KN （注意：G=M.g）,2)、水平 地震影响系数1,amax=0.16 =0.139 3)、计算FEk FEk=a1Geq = 833.7KN 4)、计算各层的水平地震作用标准值 T1=0.467s1.4Tg=0.63s， n=0,F1=166.7KN F2=333.5KN F3=333.5KN 注意:H1=3.5m, H2=7.0m H3=10.5m,V1=845.8 V2=671.6KN V3=335.8KN,V1=F1+F2+F3=833.7KN V2=F2+F3=667.0KN V3=F3=333.5KN,振型分解法的结果：,5、抗震规范关于地震作用的计算规定,1)、高度40m，以剪切变形为主且质量和刚度沿高度分布均匀的结构，以及近似于单质点的结构，可采用底部剪力法。 2)、除上述规定的建筑外，宜采用振型分解反应谱法。 3)、特别不规则的建筑，甲类建筑及高层建 筑宜采用时程分析法作补充验算。,3.6 结构的地震扭转效应,从抗震要求来讲，要求建筑的平面简单，规则和对 称，竖向体型力求规则、均匀，避免有过大的外挑和内 收。当体型不规则时，需进行结构的扭转地震效应计算。,一、房屋的质心、刚心,当房屋的质心、刚心不重合时，即有偏心距，在水平力作用下，结构产生扭转。,结构的振动为平移扭转耦联振动，x方向，y方 向和转动，角部的线位移最大，破坏严重。 对于n层房屋，有3n个自由度。,二、结构的振动形式,三、地震效应的求解,运动方程振型分解反应谱求反应作用效应组合,四、规则结构的扭转影响 规则结构也有扭转影响，虽然不考虑扭转计算，但抗震规范作了如下规定。,平行于地震作用方向的两个边榀，其地震作用效应宜乘以增大系数，一般情况下，短边为1.15，长边为1.05。当扭转刚度较小时，不小于1.3。,1.15,1.05,哪一个扭转刚度较大？,3.7 地基与结构的相互作用（略）,3.8 竖向地震作用,震害表明：在高烈度地区，竖向地震作用相当可观，为此，抗震规范规定：8度、9度时的大跨度结构。长悬臂结构、烟囱和类似的高耸结构。9度时的高层建筑应考虑竖向地震作用。,地震作用一般简化为三个方向： 两个水平方向和竖向。,一、高层建筑与高耸结构的竖向地震作用,采用反应谱法 1、 竖向地震影响系数的取值 竖向地震影响系数 与水平地震影响系数 的比值为 1/22/3 范围内。 竖向地震和水平地震的平均反应谱形状相差不大。 规范规定：,2、竖向地震作用标准值计算（与底部剪力法相同）,三、长悬臂和其它大跨度结构,二、平板网架和大跨度屋架结构的竖向地震作用计算 规范规定：平板型网架屋盖和跨度大于24m屋架 的竖向地震作用 与烈度和场地有关P65（0.080.25）,3.9 结构地震反应的时程分