高考数学一轮复习第三章导数及其应用第二节导数与函数的单调性教案文苏教版.docx

第二节 导数与函数的单调性函数的单调性在(a，b)内可导函数f(x)，f(x)在(a，b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0f(x)在(a，b)上为增函数f(x)0f(x)在(a，b)上为减函数小题体验1函数f(x)exx的减区间为_答案：(，0)2已知a0，函数f(x)x3ax在1，)上是增函数，则实数a的取值范围为_答案：(0,31求函数单调区间与函数极值时没有列表的习惯，会造成问题不能直观且有条理的解决2注意两种表述“函数f(x)在(a，b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a，b)”的区别小题纠偏1函数yx2ln x的单调递减区间为_解析：yx(x0)，令y0得0x1.所以函数的单调递减区间为(0,1)答案：(0,1)2已知函数f(x)x2bln x在区间2，)上是减函数，则b的取值范围是_解析：由题意得，f(x)x0在2，)上恒成立，即bx2在2，)上恒成立，函数g(x)x2在2，)上单调递增，g(x)ming(2)4，b4.答案：(，4典例引领(2018南京学情调研)已知函数f(x)ax2bxln x，a，bR.(1)当ab1时，求曲线yf(x)在x1处的切线方程；(2)当b2a1时，讨论函数f(x)的单调性解：(1)因为ab1，所以f(x)x2xln x，从而f(x)2x1.因为f(1)0，f(1)2，所以曲线yf(x)在x1处的切线方程为y02(x1)，即2xy20.(2)因为b2a1，所以f(x)ax2(2a1)xln x(x0)，从而f(x)2ax(2a1).当a0时，由f(x)0，得0x1；由f(x)0，得x1，所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减当0a时，由f(x)0，得0x1或x；由f(x)0，得1x，所以f(x)在(0,1)和上单调递增，在上单调递减当a时，因为f(x)0(当且仅当x1时取等号)，所以f(x)在(0，)上单调递增当a时，由f(x)0，得0x或x1；由f(x)0得x1，所以f(x)在和(1，)上单调递增，在上单调递减由题悟法判断函数单调性的步骤(1)确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f(x)，并求方程f(x)0的根；(3)利用f(x)0的根将函数的定义域分成若干个子区间，在这些子区间上讨论f(x)的正负，由f(x)的正负确定f(x)在相应子区间上的单调性提醒研究含参数函数的单调性时，需注意依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论即时应用已知函数f(x)x3ax1，讨论f(x)的单调性解：f(x)的定义域为R.f(x)3x2a.当a0时，f(x)0恒成立，所以f(x)在R上为增函数当a0时，令3x2a0，得x，当x或x时，f(x)0；当x时，f(x)0.因此f(x)在，上为增函数，在上为减函数综上可知，当a0时，f(x)在R上为增函数；当a0时，f(x)在，上为增函数，在上为减函数典例引领已知函数f(x)(x2axa)ex，其中aR，e是自然对数的底数(1)当a1时，求曲线yf(x)在x0处的切线方程；(2)求函数f(x)的单调减区间解：(1)当a1时，f(x)(x2x1)ex，所以f(0)1.因为f(x)(x23x2)ex，所以f(0)2.所以切线方程为y12(x0)，即2xy10.(2)因为f(x)x2(a2)x2aex(xa)(x2)ex，当a2时，f(x)(x2)2ex0，所以f(x)无单调减区间当a2，即a2时，列表如下：x(，2)2(2，a)a(a，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调减区间是(2，a)当a2，即a2时，列表如下：x(，a)a(a，2)2(2，)f(x)00f(x)极大值极小值所以f(x)的单调减区间是(a，2)综上，当a2时，f(x)无单调减区间；当a2时，f(x)的单调减区间是(2，a)；当a2时，f(x)的单调减区间是(a，2)由题悟法求函数的单调区间的2方法法一：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数f(x)；(3)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式f(x)0，解集在定义域内的部分为单调递减区间法二：(1)确定函数yf(x)的定义域；(2)求导数f(x)，令f(x)0，解此方程，求出在定义区间内的一切实根；(3)把函数f(x)的间断点(即f(x)的无定义点)的横坐标和上面的各实数根按由小到大的顺序排列起来，然后用这些点把函数f(x)的定义区间分成若干个小区间；(4)确定f(x)在各个区间内的符号，根据符号判定函数在每个相应区间内的单调性即时应用1(2018常州期中)已知函数f(x)x2axa2ln x.(1)求f(x)的单调区间；(2)若f(x)0恒成立，求实数a的取值范围解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)，由f(x)0，可得xa或x，当a0时，f(x)0在(0，)上恒成立，f(x)的单调递增区间是(0，)，无单调递减区间当a0时，由f(x)0，解得xa，函数f(x)单调递增；由f(x)0，解得0xa，函数f(x)单调递减，f(x)的单调递减区间是(0，a)，单调递增区间是(a，)当a0时，由f(x)0，解得x，函数f(x)单调递增；由f(x)0，解得0x，函数f(x)单调递减，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.(2)f(x)0恒成立等价于f(x)min0，由(1)知，当a0时，f(x)x20，符合题意；当a0时，f(x)的单调递减区间是(0，a)，单调递增区间是(a，)，f(x)minf(a)a2a2a2ln a0，解得0a1；当a0时，f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是，f(x)minfa2ln0，解得2ea0.综上，实数a的取值范围是2e，12(2019苏州十中检测)设函数f(x)x2exxex.(1)求f(x)的单调区间；(2)若x2,2时，不等式f(x)m恒成立，求实数m的取值范围解：(1)f(x)xex(exxex)x(1ex)若x0，则1ex0，所以f(x)0；若x0，则1ex0，所以f(x)0；若x0，则f(x)0.所以f(x)在(，)上为减函数，即f(x)的单调减区间为(，)(2)因为x2,2时，不等式f(x)m恒成立，所以m f(x)min；由(1)知f(x)在2,2上单调递减，所以f(x)minf(2)2e2.所以当m2e2时，不等式f(x)m恒成立故实数m的取值范围为(，2e2)典例引领(2019木渎高级中学模拟)已知函数f(x)2xln xx2ax(aR是常数)(1)当a2时，求曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程；(2)若f(x)在区间内单调递增，求a的取值范围解：(1)因为a2时，f(x)2xln xx22x，f(x)2(ln x1)2x22ln x2x4，所以f(1)2，f(1)1，故切线方程是y12(x1)，即2xy10.(2)f(x)2ln x2xa2，若f(x)在区间内单调递增，则a22(xln x)在区间内恒成立，设h(x)xln x，x，则h(x)1，由h(x)0，得1xe；由h(x)0，得x1，故h(x)在内单调递减，在(1，e内单调递增，而h1h(e)e1，故a22e2，解得a2e4，所以a的取值范围是2e4，)由题悟法由函数单调性求参数的一般思路(1)利用集合间的包含关系处理：yf(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集(2)转化为不等式的恒成立问题，即“若函数单调递增，则f(x)0；若函数单调递减，则f(x)0”来求解提醒f(x)为增函数的充要条件是对任意的x(a，b)都有f(x)0，且在(a，b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解即时应用已知函数f(x)exax1.(1)求f(x)的单调递增区间；(2)是否存在实数a，使f(x)在(2,3)上单调递减？若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由解：f(x)exa.(1)若a0，则f(x)exa0恒成立，即f(x)在R上单调递增；若a0，令exa0，解得xln a，即f(x)在ln a，)上单调递增，因此当a0时，f(x)的单调递增区间为R；当a0时，f(x)的单调递增区间为ln a，)(2)存在实数a满足条件因为f(x)exa0在(2,3)上恒成立，所以aex在(2,3)上恒成立又因为2x3，所以e2exe3，要使aex在(2,3)上恒成立，只需ae3.故存在实数ae3，)，使f(x)在(2,3)上单调递减一抓基础，多练小题做到眼疾手快1函数f(x)xln x的单调减区间为_解析：函数的定义域是(0，)，且f(x)1，令f(x)0，得0x1.答案：(0,1)2(2018启东中学检测)已知函数f(x)x1(e1)ln x，其中e为自然对数的底数，则满足f(ex)0的x的取值范围为_解析：由f(x)10(x0)，得xe1.当x(0，e1)时，f(x)0，函数f(x)单调递减；当x(e1，)时，函数f(x)单调递增又f(1)f(e)0,1e1e，所以由f(ex)0得1exe，解得0x1.答案：(0,1)3(2019盐城中学检测)若函数f(x)xln x在区间1,2上单调递增，则实数k的取值范围是_解析：函数f(x)xln x在区间1,2上单调递增，f(x)0在1,2上恒成立，kx2x3，yx2x3在1,2上单调递减，ymax13，k.答案：4定义在R上的可导函数f(x)，已知yef(x)的图象如图所示，则yf(x)的增区间是_解析：由题意及题图知f(x)0的区间是(，2)，故函数yf(x)的增区间是(，2)答案：(，2)5(2019响水中学模拟)若函数f(x)ax33x在区间(1，1)上为单调减函数，则a的取值范围是_解析：若函数f(x)ax33x在(1,1)上为单调减函数，则f(x)0在(1,1)上恒成立，即3ax230在(1,1)上恒成立，即ax21在(1,1)上恒成立若a0，满足条件若a0，则只要当x1或x1时，满足条件即可，此时a1，即0a1.综上a1.答案：(，1二保高考，全练题型做到高考达标1若幂函数f(x)的图象过点，则函数g(x)exf(x)的单调递减区间为_解析：设幂函数f(x)x，因为图象过点，所以，2，所以f(x)x2，故g(x)exx2，令g(x)exx22exxex(x22x)0，得2x0，故函数g(x)的单调递减区间为(2,0)答案：(2,0)2函数f(x)(x3)ex的单调递增区间为_解析：函数f(x)(x3)ex的导数为f(x)(x3)exex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，得当f(x)0时，函数f(x)单调递增，此时由不等式f(x)(x2)ex0，解得x2.答案：(2，)3若函数f(x)x3x2ax3a在区间1,2上单调递增，则实数a的取值范围是_解析：因为f(x)x22xa，且函数f(x)在区间1,2上单调递增，所以f(x)0在1,2上恒成立，所以a(x22x)min3，所以a3.答案：(，34(2018淮安期末)若函数f(x)x2aln x在其定义域内的一个子区间(a2，a2)上不单调，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)的定义域是(0，)，故a20，解得a2，而f(x)x，令x0，解得x.因为f(x)在(a2，a2)上不单调，所以a2a2，解得0a4.综上，a2,4)答案：2,4)5(2018姜堰中学学情调研)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)f(2x)，且当x (，1)时，(x1)f(x)0，设af(0)，bf，cf(3)，则a，b，c 的大小关系为_解析：依题意得，当x1时，f(x)0，f(x)在(，1)上为增函数又f(3)f(1)，且101，因此f(1)f(0)f，即f(3)f(0)f，cab.答案：cab 6(2018东台中学期末)已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)是f(x)的导函数，若f(x)f(x)0，且f(0)1，则不等式f(x)ex的解集为_解析：令g(x)exf(x)，则g(x)ex f(x)f(x)0，所以g(x)在R上单调递增，而f(0)1，故g(0)1.f(x)ex等价于exf(x)1，则g(x)g(0)，解得x0.答案：(，0)7已知定义在R上的可导函数f(x)满足f(x)1，若f(2m)f(m)22m，则实数m的取值范围是_解析：令g(x)f(x)x，所以g(x)f(x)10，即g(x)在R上单调递减，由题可知f(2m)f(m)22m，即f(2m)(2m)f(m)m，也即g(2m)g(m)，所以2mm，即得m1.答案：(，1)8已知函数f(x)(xR)满足f(1)1，且f(x)的导数f(x)，则不等式f(x2)的解集为_解析：设F(x)f(x)x，所以F(x)f(x)，因为f(x)，所以F(x)f(x)0，即函数F(x)在R上单调递减因为f(x2)，所以f(x2)f(1)，所以F(x2)F(1)，而函数F(x)在R上单调递减，所以x21，即x(，1)(1，)答案：(，1)(1，)9已知函数f(x)ln x，其中aR，且曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx.(1)求a的值；(2)求函数f(x)的单调区间解：(1)对f(x)求导得f(x)，由f(x)在点(1，f(1)处的切线垂直于直线yx知f(1)a2，解得a.(2)由(1)知f(x)ln x，则f(x).令f(x)0，解得x1或x5.因为x1不在f(x)的定义域(0，)内，故舍去当x(0,5)时，f(x)0，故f(x)在(0,5)内为减函数；当x(5，)时，f(x)0，故f(x)在(5，)内为增函数综上，f(x)的单调增区间为(5，)，单调减区间为(0,5)10(2018前黄高级中学期末)已知函数f(x)ax22xln x(aR)(1)当a3时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数存在单调增区间，求实数a的取值范围解：(1)当a3时，f(x)x22xln x，其定义域为(0，)f(x)3x2，当x时，f(x)0，f(x)单调递减；当x时，f(x)0，f(x)单调递增f(x)的单调减区间为，单调增区间为.(2)f(x)ax22xln x，其定义域为(0，)，f(x)ax2.若函数存在单调增区间，则f(x)0在区间(0，)上有解，即ax22x10在区间(0，)上有解分离参数得a，令g(x)，则依题意，只需ag(x)m