高考数学一轮复习第九章解析几何第三节圆与方程教案文苏教版.docx

第三节 圆与方程1圆的定义及方程定义平面内与定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)标准方程(xa)2(yb)2r2(r0)圆心：(a，b)，半径：r一般方程x2y2DxEyF0，(D2E24F0)圆心：，半径：2.点与圆的位置关系点M(x0，y0)与圆(xa)2(yb)2r2的位置关系：(1)若M(x0，y0)在圆外，则(x0a)2(y0b)2r2.(2)若M(x0，y0)在圆上，则(x0a)2(y0b)2r2.(3)若M(x0，y0)在圆内，则(x0a)2(y0b)2r2.小题体验1设圆的方程是x2y22ax2y(a1)20，若0a1，则原点与圆的位置关系是_解析：将圆的一般方程化成标准方程，得(xa)2(y1)22a，因为0a1，所以(0a)2(01)22a(a1)20，即，所以原点在圆外答案：原点在圆外2圆C的直径的两个端点分别是A(1,2)，B(1,4)，则圆C的标准方程为_解析：设圆心C的坐标为(a，b)，则a0，b3，故圆心C(0,3)半径rAB.所以圆C的标准方程为x2(y3)22.答案：x2(y3)223若点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，则实数a的取值范围是_解析：因为点(1,1)在圆(xa)2(ya)24的内部，所以(1a)2(1a)24.即a21，故1a1.答案：(1,1)对于方程x2y2DxEyF0表示圆时易忽视D2E24F0这一成立条件小题纠偏若点(1，1)在圆x2y2xym0外，则m的取值范围是_解析：由题意可知解得0m.答案：题组练透1(2019东台中学检测)已知圆C经过A(5,1)，B(1,3)两点，圆心在x轴上，则圆C的标准方程为_解析：设圆心坐标为(a,0)，则，解得a2，圆心为(2,0)，半径为，圆C的标准方程为(x2)2y210.答案：(x2)2y2102(2018徐州模拟)若圆C的半径为1，点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆C的标准方程为_解析：因为点C与点(2,0)关于点(1,0)对称，故由中点坐标公式可得C(0,0)，所以所求圆的标准方程为x2y21.答案：x2y213以线段AB：xy20(0x2)为直径的圆的标准方程为_解析：因为AB：xy20(0x2)，所以A(0,2)，B(2,0)，AB2.所以点A，B的中点为(1,1)，故所求圆的标准方程为(x1)2(y1)22.答案：(x1)2(y1)224(2019盐城中学测试) 圆经过点A(2，3)和B(2，5)(1)若圆的面积最小，求圆的方程；(2)若圆心在直线x2y30上，求圆的方程解：(1)要使圆的面积最小，则AB为圆的直径，所以圆心为(0，4)，半径rAB，所以所求圆的方程为x2(y4)25.(2)因为kAB，AB的中点为(0，4)，所以直线AB的中垂线方程为y42x，即2xy40，解方程组得所以圆心为(1，2)根据两点间的距离公式得半径r，因此所求圆的方程为(x1)2(y2)210.谨记通法1求圆的方程的2种方法(1)直接法：根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程(2)待定系数法：若已知条件与圆心(a，b)和半径r有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于a，b，r的方程组，从而求出a，b，r的值；若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于D，E，F的方程组，进而求出D，E，F的值2确定圆心位置的3种方法(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上(3)两圆相切时，切点与两圆圆心共线提醒解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质锁定考向与圆有关的最值问题是命题的热点内容，它着重考查数形结合与转化思想常见的命题角度有：(1)斜率型最值问题；(2)截距型最值问题；(3)距离型最值问题 题点全练角度一：斜率型最值问题1(2019涞水月考)已知实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求的最大值与最小值解：方程(x3)2(y3)26表示以(3,3)为圆心，为半径的圆的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率，所以设k，即ykx.当直线ykx与圆相切时，斜率k取最大值或最小值，此时，解得k32.所以的最大值为32，最小值为32.角度二：截距型最值问题2(2018东海高级中学测试)已知实数x，y满足(x2)2(y1)21，则2xy的最大值为_解析：令b2xy，当直线2xyb与圆相切时，b取得最值由1，解得b5，所以2xy的最大值为5.答案：53(2019启东模拟)已知非负实数x，y满足xy，且4，则Sy2x的最小值是_解析：由4，得x2y24(xy)，移项配方得(x2)2(y2)28，此不等式表示以C(2,2)为圆心，以2为半径的圆及其内部在第一象限与x轴、y轴正半轴的部分(除去yx)将Sy2x变形为y2xS，当直线l：y2xS与圆相切于第一象限时，S取得最小值，由圆的切线性质，圆心C(2,2)到l的距离等于半径长，即2，解得S22(S22舍去)故Sy2x的最小值是22.答案：22角度三：距离型最值问题4已知实数x，y满足方程x2y24x10，求x2y2的最大值和最小值解：如图所示，x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值又圆心到原点的距离为2，所以x2y2的最大值是(2)274，x2y2的最小值是(2)274.通法在握与圆有关的最值问题的3种常见转化法(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题(3)形如(xa)2(yb)2形式的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题演练冲关1(2019淮安检测)已知x，y满足x2y24x6y120，则x2y2的最小值为_解析：x2y24x6y120可化为(x2)2(y3)21，则圆心坐标为(2,3)，圆的半径r1.因为x2y2表示圆上的一点与原点距离的平方，由平面几何知识知，在圆心与原点连线与圆的两个交点处取得最值，又圆心到原点的距离为，所以x2y2的最小值为(1)2142.答案：1422在平面直角坐标系xOy中，点A(1,0)，B(1,0)若动点C满足ACBC，则ABC的面积的最大值是_解析：设C(x，y)，则(x1)2y22(x1)22y2，化简得(x3)2y28.其中y0，从而SABC2|y|2，即ABC的面积的最大值是2.答案：2典例引领(2018扬州调研)设ABC顶点坐标A(0，a)，B(，0)，C(，0)，其中a0，圆M为ABC的外接圆(1)求圆M的方程；(2)当a变化时，圆M是否过某一定点，请说明理由解：(1)设圆M的方程为x2y2DxEyF0(D2E24F0)因为圆M过点A(0，a)，B(，0)，C(，0)，所以解得所以圆M的方程为x2y2(3a)y3a0.(2)因为圆M的方程可化为(x2y23y)(3y)a0.由解得x0，y3.所以圆M过定点(0，3)由题悟法圆的方程是一个二元二次方程，所以有时候我们可从函数和方程的角度对其相关问题进行分析，也可利用方程中x，y的取值范围来确定有关函数的值或范围即时应用已知圆C过点P(1,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r0)关于直线xy20对称(1)求圆C的方程；(2)设Q为圆C上的一个动点，求的取值范围解：(1)设圆心C(a，b)，则解得则圆C的方程为x2y2r2，将点P的坐标代入得r22，故圆C的方程为x2y22.(2)设Q(x，y)，则x2y22，且(x1，y1)(x2，y2)x2y2xy4xy2.令xcos ，ysin ，所以xy2(sin cos )22sin2，所以的取值范围为4,0一抓基础，多练小题做到眼疾手快1若圆的半径为3，圆心与点(2,0)关于点(1,0)对称，则圆的标准方程为_答案：x2y292在平面直角坐标系xOy中，设点P为圆O：x2y22x0上任意一点，点Q(2a，a3)(aR)，则线段PQ长度的最小值为_解析：圆O：x2y22x0，即 (x1)2y2 1，表示以(1，0)为圆心、半径为1的圆，则点Q(2a，a3)到圆心(1，0)的距离d，所以当a1时，d取得最小值为，故线段PQ长度的最小值为1.答案：13若圆x2y22axb20的半径为2，则点(a，b)到原点的距离为_解析：由半径r2得，2.所以点(a，b)到原点的距离d2.答案：24若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线yx对称，则圆C的标准方程为_解析：根据题意得点(1,0)关于直线yx对称的点(0,1)为圆心，又半径r1，所以圆C的标准方程为x2(y1)21.答案：x2(y1)215(2019兴化月考)经过点(2,0)且圆心是直线x2与直线xy4的交点的圆的标准方程为_解析：由得即两直线的交点坐标为(2,2)，则圆心坐标为(2,2)又点(2,0)在圆上，所以半径r2，则圆的标准方程为(x2)2(y2)24.答案：(x2)2(y2)246设P是圆(x3)2(y1)24上的动点，Q是直线 x3上的动点，则PQ的最小值为_解析：如图所示，圆心M(3，1)与定直线x3的最短距离为MQ3(3)6，又圆的半径为2，故所求最短距离为624.答案：4二保高考，全练题型做到高考达标1(2019无锡调研)设两条直线xy20,3xy20的交点为M，若点M在圆 (xm)2y25内，则实数m的取值范围为_解析：联立解得则M(1,1)，由交点M在圆(xm)2y25的内部，可得(1m)215，解得1m3.故实数m的取值范围为(1,3)答案：(1,3)2已知点P(x，y)在圆x2(y1)21上运动，则的最大值与最小值分别为_解析：设k，则k表示点P(x，y)与点(2,1)连线的斜率过两点连线的直线方程为kxy12k0，当该直线与圆相切时，k取得最大值与最小值，由1，解得k.答案：，3已知圆C与直线yx及xy40都相切，圆心在直线yx上，则圆C的方程为_解析：由题意知xy0 和xy40之间的距离为2，所以r.又因为xy0与xy0，xy40均垂直，所以由xy0和xy0联立得交点坐标为(0,0)，由xy0和xy40联立得交点坐标为(2，2)，所以圆心坐标为(1，1)，圆C的标准方程为(x1)2(y1)22.答案：(x1)2(y1)224(2018苏州期末)在平面直角坐标系xOy中，已知过点A(2，1)的圆C和直线xy1相切，且圆心在直线y2x上，则圆C的标准方程为_解析：根据题意，设圆C的圆心为(m，2m)，半径为r，则解得m1，r，所以圆C的方程为(x1)2(y2)22.答案：(x1)2(y2)225已知直线l：xmy40，若曲线x2y22x6y10上存在两点P，Q关于直线l对称，则m_.解析：因为曲线x2y22x6y10是圆(x1)2(y3)29，若圆(x1)2(y3)29上存在两点P，Q关于直线l对称，则直线l：xmy40过圆心(1,3)，所以13m40，解得m1.答案：16在平面直角坐标系xOy内，若曲线C：x2y22ax4ay5a240上所有的点均在第四象限内，则实数a的取值范围为_解析：圆C的标准方程为(xa)2(y2a)24，所以圆心为(a,2a)，半径r2，故由题意知解得a2，故实数a的取值范围为(，2)答案：(，2)7当方程x2y2kx2yk20所表示的圆的面积取最大值时，直线y(k1)x2的倾斜角_.解析：由题意可知，圆的半径r1，当半径r取最大值时，圆的面积最大，此时k0，r1，所以直线方程为yx2，则有tan 1，又0，)，故.答案：8(2018滨海中学检测)已知点P(0,2)为圆C：(xa)2(ya)22a2外一点，若圆C上存在点Q，使得CPQ30，则正数a的取值范围是_解析：由圆C：(xa)2(ya)22a2，得圆心为C(a，a)，半径ra，CP，设过P的一条切线与圆的切点是T，则CTa，当Q为切点时，CPQ最大圆C上存在点Q使得CPQ30，sin 30，即，整理可得3a22a20，解得a或a(舍去)又点 P(0,2)为圆C：(xa)2(ya)22a2外一点，a2(2a)22a2，解得a1.故正数a的取值范围是.答案：9已知以点P为圆心的圆经过点A(1,0)和B(3,4)，线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D，且CD4.(1)求直线CD的方程；(2)求圆P的方程解：(1)由题意知，直线AB的斜率k1，中点坐标为(1,2)则直线CD的方程为y2(x1)，即xy30.(2)设圆心P(a，b)，则由点P在CD上得ab30.又因为直径CD4，所以PA2，所以(a1)2b240.由解得或所以圆心P(3,6)或P(5，2)所以圆P的方程为(x3)2(y6)240或(x5)2(y2)240.10已知M(m，n)为圆C：x2y24x14y450上任意一点(1)求m2n的最大值；(2)求的最大值和最小值解：(1)因为x2y24x14y450的圆心C(2,7)，半径r2，设m2nt，将m2nt看成直线方程，因为该直线与圆有公共点，所以圆心到直线的距离d2，解上式得，162t162，所以所求的最大值为162.(2)记点Q(2,3)，因为表示直线MQ的斜率k，所以直线MQ的方程为y3k(x2)，即kxy2k30.由直线MQ与圆C有公共点，得2.可得2k2，所以的最大值为2，最小值为2.三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2019宁海中学模拟)如果直线2axby140(a0，b0)和函数f(x)mx11(m0，m1)的图象恒过同一个定点，且该定点始终落在圆(xa1)2(yb2)225的内部或圆上，那么的取值范围是_解析：函数f(x)mx11的图象恒过点(1,2)，代入直线2axby140，可得2a2b140，即ab7.定点始终落在圆(xa1)2(yb2)225的内部或圆上，a2b225.设t，则bat，代入ab7，可得a，b，代入a2b225，可得225，12t225t120，t.故的取值范围是.答案：2(2018启东中学检测)已知点A(0,2)为圆M：x2y22a