高考数学一轮复习第九章解析几何第三节圆与方程教案文苏教版.docx
第三节 圆与方程 1.圆的定义及方程 定义 平面内与定点的距离等于定长的点的集合轨迹 标准方程 x-a2+y-b2=r2r>0 圆心a,b,半径r 一般方程 x2+y2+Dx+Ey+F=0,D2+E2-4F>0 圆心,半径 2.点与圆的位置关系 点Mx0,y0与圆x-a2+y-b2=r2的位置关系 1若Mx0,y0在圆外,则x0-a2+y0-b2>r2. 2若Mx0,y0在圆上,则x0-a2+y0-b2=r2. 3若Mx0,y0在圆内,则x0-a2+y0-b2<r2. [小题体验] 1.设圆的方程是x2+y2+2ax+2y+a-12=0,若0<a<1,则原点与圆的位置关系是________. 解析将圆的一般方程化成标准方程,得x+a2+y+12=2a,因为0<a<1,所以0+a2+0+12-2a=a-12>0,即>,所以原点在圆外. 答案原点在圆外 2.圆C的直径的两个端点分别是A-1,2,B1,4,则圆C的标准方程为________. 解析设圆心C的坐标为a,b, 则a==0,b==3,故圆心C0,3. 半径r=AB==. 所以圆C的标准方程为x2+y-32=2. 答案x2+y-32=2 3.若点1,1在圆x-a2+y+a2=4的内部,则实数a的取值范围是________. 解析因为点1,1在圆x-a2+y+a2=4的内部,所以1-a2+1+a2<4. 即a2<1,故-1<a<1. 答案-1,1 对于方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆时易忽视D2+E2-4F>0这一成立条件. [小题纠偏] 若点1,-1在圆x2+y2-x+y+m=0外,则m的取值范围是________. 解析由题意可知解得0<m<. 答案 [题组练透] 1.2019·东台中学检测已知圆C经过A5,1,B1,3两点,圆心在x轴上,则圆C的标准方程为________. 解析设圆心坐标为a,0,则=,解得a=2,∴圆心为2,0,半径为,∴圆C的标准方程为x-22+y2=10. 答案x-22+y2=10 2.2018·徐州模拟若圆C的半径为1,点C与点2,0关于点1,0对称,则圆C的标准方程为____________. 解析因为点C与点2,0关于点1,0对称,故由中点坐标公式可得C0,0,所以所求圆的标准方程为x2+y2=1. 答案x2+y2=1 3.以线段ABx+y-2=00≤x≤2为直径的圆的标准方程为____________. 解析因为ABx+y-2=00≤x≤2, 所以A0,2,B2,0,AB==2. 所以点A,B的中点为1,1, 故所求圆的标准方程为x-12+y-12=2. 答案x-12+y-12=2 4.2019·盐城中学测试 圆经过点A2,-3和B-2,-5. 1若圆的面积最小,求圆的方程; 2若圆心在直线x-2y-3=0上,求圆的方程. 解1要使圆的面积最小,则AB为圆的直径, 所以圆心为0,-4,半径r=AB=, 所以所求圆的方程为x2+y+42=5. 2因为kAB=,AB的中点为0,-4, 所以直线AB的中垂线方程为y+4=-2x,即2x+y+4=0, 解方程组得 所以圆心为-1,-2. 根据两点间的距离公式得半径r=, 因此所求圆的方程为x+12+y+22=10. [谨记通法] 1.求圆的方程的2种方法 1直接法根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,进而写出方程. 2待定系数法 ①若已知条件与圆心a,b和半径r有关,则设圆的标准方程,依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的值; ②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的值. 2.确定圆心位置的3种方法 1圆心在过切点且与切线垂直的直线上. 2圆心在圆的任意弦的垂直平分线上. 3两圆相切时,切点与两圆圆心共线. [提醒] 解答圆的有关问题,应注意数形结合,充分运用圆的几何性质. [锁定考向] 与圆有关的最值问题是命题的热点内容,它着重考查数形结合与转化思想. 常见的命题角度有 1斜率型最值问题; 2截距型最值问题; 3距离型最值问题. [题点全练] 角度一斜率型最值问题 1.2019·涞水月考已知实数x,y满足方程x-32+y-32=6,求的最大值与最小值. 解方程x-32+y-32=6表示以3,3为圆心,为半径的圆. 的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率, 所以设=k,即y=kx. 当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值, 此时=,解得k=3±2. 所以的最大值为3+2,最小值为3-2. 角度二截距型最值问题 2.2018·东海高级中学测试已知实数x,y满足x-22+y+12=1,则2x-y的最大值为________. 解析令b=2x-y,当直线2x-y=b与圆相切时,b取得最值. 由=1,解得b=5±,所以2x-y的最大值为5+. 答案5+ 3.2019·启东模拟已知非负实数x,y满足x≠y,且≤4,则S=y-2x的最小值是________. 解析由≤4,得x2+y2≤4x+y,移项配方得x-22+y-22≤8,此不等式表示以C2,2为圆心,以2为半径的圆及其内部在第一象限与x轴、y轴正半轴的部分除去y=x.将S=y-2x变形为y=2x+S,当直线ly=2x+S与圆相切于第一象限时,S取得最小值,由圆的切线性质,圆心C2,2到l的距离等于半径长,即=2,解得S=-2-2S=-2+2舍去.故S=y-2x的最小值是-2-2. 答案-2-2 角度三距离型最值问题 4.已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求x2+y2的最大值和最小值. 解如图所示,x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为 =2, 所以x2+y2的最大值是2+2=7+4,x2+y2的最小值是2-2=7-4. [通法在握] 与圆有关的最值问题的3种常见转化法 1形如μ=形式的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题. 2形如t=ax+by形式的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题. 3形如x-a2+y-b2形式的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题. [演练冲关] 1.2019·淮安检测已知x,y满足x2+y2-4x-6y+12=0,则x2+y2的最小值为________. 解析x2+y2-4x-6y+12=0可化为x-22+y-32=1,则圆心坐标为2,3,圆的半径r=1. 因为x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在圆心与原点连线与圆的两个交点处取得最值,又圆心到原点的距离为=,所以x2+y2的最小值为-12=14-2. 答案14-2 2.在平面直角坐标系xOy中,点A-1,0,B1,0.若动点C满足AC=BC,则△ABC的面积的最大值是________. 解析设Cx,y,则x+12+y2=2x-12+2y2,化简得x-32+y2=8.其中y≠0,从而S△ABC=2|y|≤2,即△ABC的面积的最大值是2. 答案2 [典例引领] 2018·扬州调研设△ABC顶点坐标A0,a,B-,0,C,0,其中a>0,圆M为△ABC的外接圆. 1求圆M的方程; 2当a变化时,圆M是否过某一定点,请说明理由. 解1设圆M的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0. 因为圆M过点A0,a,B-,0,C,0, 所以解得 所以圆M的方程为x2+y2+3-ay-3a=0. 2因为圆M的方程可化为x2+y2+3y-3+ya=0. 由解得x=0,y=-3.所以圆M过定点0,-3. [由题悟法] 圆的方程是一个二元二次方程,所以有时候我们可从函数和方程的角度对其相关问题进行分析,也可利用方程中x,y的取值范围来确定有关函数的值或范围. [即时应用] 已知圆C过点P1,1,且与圆Mx+22+y+22=r2r>0关于直线x+y+2=0对称. 1求圆C的方程; 2设Q为圆C上的一个动点,求·的取值范围. 解1设圆心Ca,b,则解得 则圆C的方程为x2+y2=r2,将点P的坐标代入得r2=2, 故圆C的方程为x2+y2=2. 2设Qx,y,则x2+y2=2, 且·=x-1,y-1·x+2,y+2=x2+y2+x+y-4=x+y-2. 令x=cos θ,y=sin θ, 所以·=x+y-2=sin θ+cos θ-2 =2sin-2, 所以·的取值范围为[-4,0]. 一抓基础,多练小题做到眼疾手快 1.若圆的半径为3,圆心与点2,0关于点1,0对称,则圆的标准方程为________. 答案x2+y2=9 2.在平面直角坐标系xOy中,设点P为圆Ox2+y2+2x=0上任意一点,点Q2a,a+3a∈R,则线段PQ长度的最小值为________. 解析圆Ox2+y2+2x=0,即 x+12+y2 =1,表示以-1,0为圆心、半径为1的圆,则点Q2a,a+3到圆心-1,0的距离d===,所以当a=-1时,d取得最小值为,故线段PQ长度的最小值为-1. 答案-1 3.若圆x2+y2+2ax-b2=0的半径为2,则点a,b到原点的距离为________. 解析由半径r===2得,=2. 所以点a,b到原点的距离d==2. 答案2 4.若圆C的半径为1,其圆心与点1,0关于直线y=x对称,则圆C的标准方程为________. 解析根据题意得点1,0关于直线y=x对称的点0,1为圆心, 又半径r=1,所以圆C的标准方程为x2+y-12=1. 答案x2+y-12=1 5.2019·兴化月考经过点2,0且圆心是直线x=2与直线x+y=4的交点的圆的标准方程为________. 解析由得即两直线的交点坐标为2,2,则圆心坐标为2,2.又点2,0在圆上,所以半径r=2,则圆的标准方程为x-22+y-22=4. 答案x-22+y-22=4 6.设P是圆x-32+y+12=4上的动点,Q是直线 x=-3上的动点,则PQ的最小值为________. 解析如图所示,圆心M3,-1与定直线x=-3的最短距离为MQ=3--3=6,又圆的半径为2,故所求最短距离为6-2=4. 答案4 二保高考,全练题型做到高考达标 1.2019·无锡调研设两条直线x+y-2=0,3x-y-2=0的交点为M,若点M在圆 x-m2+y2=5内,则实数m的取值范围为________. 解析联立解得则M1,1, 由交点M在圆x-m2+y2=5的内部,可得1-m2+1<5,解得-1<m<3. 故实数m的取值范围为-1,3. 答案-1,3 2.已知点Px,y在圆x2+y-12=1上运动,则的最大值与最小值分别为________. 解析设=k,则k表示点Px,y与点2,1连线的斜率.过两点连线的直线方程为kx-y+1-2k=0,当该直线与圆相切时,k取得最大值与最小值, 由=1,解得k=±. 答案,- 3.已知圆C与直线y=x及x-y-4=0都相切,圆心在直线y=-x上,则圆C的方程为________________. 解析由题意知x-y=0 和x-y-4=0之间的距离为=2,所以r=.又因为x+y=0与x-y=0,x-y-4=0均垂直,所以由x+y=0和x-y=0联立得交点坐标为0,0,由x+y=0和x-y-4=0联立得交点坐标为2,-2,所以圆心坐标为1,-1,圆C的标准方程为x-12+y+12=2. 答案x-12+y+12=2 4.2018·苏州期末在平面直角坐标系xOy中,已知过点A2,-1的圆C和直线x+y=1相切,且圆心在直线y=-2x上,则圆C的标准方程为________________. 解析根据题意,设圆C的圆心为m,-2m,半径为r, 则解得m=1,r=, 所以圆C的方程为x-12+y+22=2. 答案x-12+y+22=2 5.已知直线lx+my+4=0,若曲线x2+y2+2x-6y+1=0上存在两点P,Q关于直线l对称,则m=________. 解析因为曲线x2+y2+2x-6y+1=0是圆x+12+y-32=9,若圆x+12+y-32=9上存在两点P,Q关于直线l对称,则直线lx+my+4=0过圆心-1,3,所以-1+3m+4=0,解得m=-1. 答案-1 6.在平面直角坐标系xOy内,若曲线Cx2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的点均在第四象限内,则实数a的取值范围为________. 解析圆C的标准方程为x+a2+y-2a2=4,所以圆心为-a,2a,半径r=2,故由题意知解得a<-2,故实数a的取值范围为-∞,-2. 答案-∞,-2 7.当方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆的面积取最大值时,直线y=k-1x+2的倾斜角α=________. 解析由题意可知,圆的半径r==≤1,当半径r取最大值时,圆的面积最大,此时k=0,r=1,所以直线方程为y=-x+2,则有tan α=-1,又α∈[0,π,故α=. 答案 8.2018·滨海中学检测已知点P0,2为圆Cx-a2+y-a2=2a2外一点,若圆C上存在点Q,使得∠CPQ=30°,则正数a的取值范围是________. 解析由圆Cx-a2+y-a2=2a2,得圆心为Ca,a,半径r=a, ∴CP=, 设过P的一条切线与圆的切点是T, 则CT=a,当Q为切点时,∠CPQ最大. ∵圆C上存在点Q使得∠CPQ=30°, ∴≥sin 30°,即≥, 整理可得3a2+2a-2≥0,解得a≥或a≤舍去.又点 P0,2为圆Cx-a2+y-a2=2a2外一点,∴a2+2-a2>2a2,解得a<1. 故正数a的取值范围是. 答案 9.已知以点P为圆心的圆经过点A-1,0和B3,4,线段AB的垂直平分线交圆P于点C和D,且CD=4. 1求直线CD的方程; 2求圆P的方程. 解1由题意知,直线AB的斜率k=1,中点坐标为1,2. 则直线CD的方程为y-2=-x-1,即x+y-3=0. 2设圆心Pa,b,则由点P在CD上得a+b-3=0.① 又因为直径CD=4, 所以PA=2, 所以a+12+b2=40.② 由①②解得或 所以圆心P-3,6或P5,-2. 所以圆P的方程为x+32+y-62=40或x-52+y+22=40. 10.已知Mm,n为圆Cx2+y2-4x-14y+45=0上任意一点. 1求m+2n的最大值; 2求的最大值和最小值. 解1因为x2+y2-4x-14y+45=0的圆心C2,7,半径r=2,设m+2n=t,将m+2n=t看成直线方程, 因为该直线与圆有公共点, 所以圆心到直线的距离d=≤2, 解上式得,16-2≤t≤16+2, 所以所求的最大值为16+2. 2记点Q-2,3, 因为表示直线MQ的斜率k, 所以直线MQ的方程为y-3=kx+2, 即kx-y+2k+3=0. 由直线MQ与圆C有公共点, 得≤2. 可得2-≤k≤2+,所以的最大值为2+,最小值为2-. 三上台阶,自主选做志在冲刺名校 1.2019·宁海中学模拟如果直线2ax-by+14=0a>0,b>0和函数fx=mx+1+1m>0,m≠1的图象恒过同一个定点,且该定点始终落在圆x-a+12+y+b-22=25的内部或圆上,那么的取值范围是________. 解析函数fx=mx+1+1的图象恒过点-1,2, 代入直线2ax-by+14=0,可得-2a-2b+14=0,即a+b=7.∵定点始终落在圆x-a+12+y+b-22=25的内部或圆上,∴a2+b2≤25.设=t,则b=at,代入a+b=7,可得a=,b=,代入a2+b2≤25,可得2≤25,∴12t2-25t+12≤0,∴≤t≤.故的取值范围是. 答案 2.2018·启东中学检测已知点A0,2为圆Mx2+y2-2ax-2ay=0a>0外一点,圆M上存在点T,使得∠MAT=45°,则实数a的取值范围是________. 解析圆M的方程可化为x-a2+y-a2=2a2. 圆心为Ma,a,半径为a. 当A,M,T三点共线时,∠MAT=0°最小, 当AT与圆M相切时,∠MAT最大. 圆M上存在点T,使得∠MAT=45°, 只需要当∠MAT最大时,满足45°≤∠MAT<90°即可. MA==, 此时直线AT与圆M相切, 所以sin∠MAT==. 因为45°≤∠MAT<90°,所以≤sin∠MAT<1, 所以≤<1, 解得-1≤a<1. 答案[-1,1 3.如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方形构成.已知隧道总宽度AD为6 m,行车道总宽度BC为2 m,侧墙EA,FD高为2 m,弧顶高MN为5 m. 1建立直角坐标系,求圆弧所在的圆的方程; 2为保证安全,要求行驶车辆顶部设为平顶与隧道顶部在竖直方向上的高度之差至少要有0.5 m.请计算车辆通过隧道的限制高度是多少. 解1以EF所在直线为x轴,MN所在直线为y轴,1 m为单位长度建立如图所示的平面直角坐标系.则E-3,0,F3,0,M0,3. 由于所求圆的圆心在y轴上, 所以设圆的方程为x2+y-b2=r2, 因为F3,0,M0,3都在圆上, 所以 解得b=-3,r2=36. 所以圆的方程是x2+y+32=36. 2设限高为h,作CP⊥AD交圆弧于点P, 则CP=h+0.5. 将点P的横坐标x=代入圆的方程,得11+y+32=36,解得y=2或y=-8舍去. 所以h=CP-0.5=y+DF-0.5=2+2-0.5=3.5m. 答车辆的限制高度为3.5 m.