高考数学一轮复习第十一章统计与概率第四节几何概型教案文苏教版.docx

第四节 几何概型1几何概型的定义设D是一个可度量的区域，每个基本事件可以视为从区域D内随机地取一点，区域D内的每一点被取到的机会都一样；随机事件A的发生可以视为恰好取到区域D内的某个指定区域d中的点这时，事件A发生的概率与d的测度(长度、面积、体积等)成正比，与d的形状和位置无关我们把满足这样条件的概率模型称为几何概型2几何概型的两个基本特点(1)无限性：在一次试验中可能出现的结果有无限多个；(2)等可能性：每个试验结果的发生具有等可能性3几何概型的概率公式P(A).提醒求解几何概型问题注意数形结合思想的应用小题体验1某路公共汽车每5分钟发车一次，某乘客到乘车点的时刻是随机的，则他候车时间不超过2分钟的概率是_解析：试验的全部结果构成的区域长度为5，所求事件的区域长度为2，故所求概率为P.答案：2在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形，邻边长分别等于线段AC，CB的长，则该矩形面积小于32 cm2的概率为_解析：设ACx(0x12)，则CB12x，所以x(12x)32，解得x4或x8，所以所求概率P.答案：3在500 mL的水中有一只草履虫，现从中随机取出2 mL 水样放到显微镜下观察，则发现草履虫的概率是_解析：由于取水样的随机性，所求事件A“在取出2 mL的水样中有草履虫”的概率等于水样的体积与总体积之比，即0.004.答案：0.004易混淆几何概型与古典概型，两者共同点是试验中每个结果的发生是等可能的，不同之处是几何概型的试验结果的个数是无限的，古典概型中试验结果的个数是有限的小题纠偏1已知函数f(x)x22x3，x1,4，则f(x)为增函数的概率为_解析：因为f(x)x22x3(x1)24，x1,4所以f(x)在1,4上是增函数所以f(x)为增函数的概率为P.答案：2如图，在边长为1的正方形中随机撒1 000粒豆子，有180粒落到阴影部分，据此估计阴影部分的面积为_解析：设阴影部分面积为S，由几何概型可知，所以S0.18.答案：0.18题组练透1(2018扬州考前调研)在区间(0,5)内任取一个实数m, 则满足3m4的概率为_解析：根据几何概型的概率计算公式得，满足3m4的概率为.答案：2(2018苏州调研)在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部任作一射线CM，与线段AB交于点M，则AMAC的概率为_解析：如图，过点C在ACB内任作射线CM，则射线CM在 ACB内是等可能分布的，故基本事件的区域测度是ACB的大小，即90.在AB上取ACAC，则ACC67.5.记“AMAC”为事件A，则事件A的概率P(A)，故AMAC的概率为.答案：3如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在yOT内的概率为_解析：根据题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在yOT内的概率为.答案：4在水平放置的长为5 m的木杆上挂一盏灯，则悬挂点与木杆两端距离都大于2 m的概率是_解析：这是一个几何概型，其概率就是如图所示的相应的线段CD，AB的长度的比值，故所求概率P.答案：谨记通法1与长度有关的几何概型如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，可直接用概率的计算公式求解2与角度有关的几何概型当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时，应以角的大小作为区域度量来计算概率，且不可用线段的长度代替，这是两种不同的度量手段锁定考向与面积、体积有关的几何概型在高考中经常出现常见的命题角度有：(1)与平面图形面积有关的问题；(2)与线性规划交汇命题的问题；(3)与几何体体积交汇命题的问题 题点全练角度一：与平面图形面积有关的问题1平面区域A1，A2(x，y)|x|y|3，x，yR在A2内随机取一点，则该点不在A1内的概率为_解析：分别画出区域A1，A2，如图圆内部分和正方形及其内部所示，根据几何概型可知，所求概率为1.答案：1角度二：与线性规划交汇命题的问题2在平面区域(x，y)|0x1，1y2内随机投入一点P，则点P的坐标(x，y)满足y2x的概率为_解析：依题意作出图象如图，则P(y2x).答案：角度三：与几何体体积交汇命题的问题3(2018南通中学高三数学练习)在棱长为2的正方体内随机取一点，取到的点到正方体中心的距离大于1的概率为_解析：半径为1的球的体积是，正方体的体积是8，故所求的概率是11.答案：1通法在握1几何概型与平面几何、解析几何等知识交汇问题的解题思路利用平面几何、解析几何等相关知识，先确定基本事件对应区域的形状，再选择恰当的方法和公式，计算出其面积，进而代入公式求概率2几何概型与线性规划交汇问题的解题思路先根据约束条件作出可行域，再确定形状，求面积大小，进而代入公式求概率3几何概型与几何体体积交汇问题的解题思路根据题意及几何体体积的计算公式，求出问题的总体积(总空间)以及事件的体积(事件空间)，对于某些较复杂的也可利用其对立事件去求演练冲关1. (2019滨海测试) 已知关于x的二次函数f(x)ax24bx1.设点(a，b)是区域内的随机点，则函数f(x)在区间1，)上是增函数的概率为_解析： 要使函数f(x)在区间1，)上是增函数，需要a0，且1，即a0且2ba.画出图形如图所示，求得区域的面积为8832，由求得P，所以区域内满足a0且2ba的面积为8，所以所求概率P.答案：2(2018汇龙中学检测)设O为坐标原点，点P的坐标为(x2，xy)(1)在一个盒子中，放有标号为1,2,3的三张卡片，现从此盒中有放回地先后抽到两张卡片的标号分别记为x，y，求OP的最大值，并求事件“OP取到最大值”的概率；(2)若利用计算机随机在0,3上先后取两个数分别记为x，y，求点P在第一象限的概率解：(1)记抽到的卡片标号为(x，y)，所有的情况分别为：(x，y)(1,1)(1,2)(1,3)(2,1)(2,2)(2,3)(3,1)(3,2)(3,3)P(x2，xy)(1，0)(1，1)(1， 2)(0,1)(0,0)(0， 1)(1,2)(1,1)(1,0)|OP|11011共9种由表格可知OP的最大值为.设事件A为“OP取到最大值”，则满足事件A的(x，y)有(1,3)，(3,1)两种情况，所以P(A).(2)设事件B为“点P在第一象限”，若则其所表示的区域面积为339.由题意可得事件B满足即如图所示的阴影部分，其区域面积为1311.所以P(B).典例引领设关于x的一元二次方程x22axb20，其中a，b是某范围内的随机数，分别在下列条件下，求上述方程有实根的概率(1)若随机数a，b1,2,3,4; (2)若a是从区间0,3中任取的一个数，b是从区间0,2中任取的一个数解：设事件A为“方程x22axb20有实根”，当a0，b0时，方程x22axb20有实根的充要条件为ab.(1)基本事件共有16个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值事件A中包含10个基本事件，故事件A发生的概率为P(A).(2)试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2构成事件A的区域为(a，b)|0a3，0b2，ab即如图的阴影区域所示，所以所求的概率为P(A).由题悟法一般地，若一个随机事件需要两个连续变量来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用坐标平面能顺利地建立与面积有关的几何概型若一个随机事件需要两个离散变量来描述，用这两个变量的有序实数对来表示它的基本事件，利用古典概型求解事件的概率即时应用(2018常州调研)已知一次函数f(x)mxn，分别在下列条件下，求函数图象经过一、二、三象限的概率(1)设m2，1,1,2,3，n2,3；(2)实数m，n满足条件解：(1)抽取的全部结果的基本事件有：(2，2)，(2,3)，(1，2)，(1,3)，(1，2)，(1,3)，(2，2)，(2,3)，(3，2)，(3,3)，共10个，设函数图象经过一、二、三象限的事件为A，则A包含的基本事件有： (1,3), (2,3), (3,3)，共3个，所以P(A).(2)m，n满足条件的区域如图所示要使函数的图象过一、二、三象限，则m0，n0，故使函数图象过一、二、三象限的(m，n)的区域为第一象限的阴影部分，所以所求事件的概率为P.一抓基础，多练小题做到眼疾手快1(2019连云港调研) 欧阳修在卖油翁中写到：(翁)乃取一葫芦置于地，以钱覆其口，徐以杓酌油沥之，自钱孔入，而钱不湿可见“行行出状元”，卖油翁的技艺让人叹为观止若铜钱的形状是直径为3 cm的圆，中间有边长为1 cm的正方形孔，若随机向铜钱上滴一滴油，则油(油滴的大小忽略不计)正好落入孔中的概率是_解析：根据几何概型知，P.答案：2.(2018无锡中学检测)如图，矩形的长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷 1 000颗黄豆，数得落在阴影部分的黄豆为600颗，则可以估计阴影部分的面积约为_解析：可估计阴影部分的面积约为12536. 答案：363(2019镇江调研)有一个底面半径为1，高为3的圆柱，点O1，O2分别为这个圆柱上底面和下底面的圆心在这个圆柱内随机取一点P，则点P到点O1，O2的距离都大于1的概率为_解析：因为点P到点O1，O2的距离小于等于1的点的集合为以点O1，O2为球心，1为半径的两个半球，求得体积V213，圆柱的体积VSh3，所以点P到点O1，O2的距离都大于1的概率P1.答案：4已知函数f(x)x2x2，x5,5，若从区间5,5内随机抽取一个实数x0，则所取的x0满足f(x0)0的概率为_解析：令x2x20，解得1x2，由几何概型的概率计算公式得P.答案：5(2018苏锡常镇一模)已知1是集合(x，y)|x2y21所表示的区域，2是集合(x，y)|y|x|所表示的区域，向区域1内随机的投一个点，则该点落在区域2内的概率为_解析：作出区域1(圆面)、2(阴影部分)的示意图如图所示，根据几何概型的概率计算公式得，该点落在区域2内的概率为.答案：6.如图所示，在圆心角为直角的扇形OAB中，分别以OA，OB为直径作两个半圆在扇形OAB内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是_解析：设扇形的半径为2，则其面积为，记由两段小圆弧围成的阴影面积为S1，另外三段圆弧围成的阴影面积为S2，则S121，S22221211，故阴影部分总面积为22，因此任取一点，此点取自阴影部分的概率为1.答案：1二保高考，全练题型做到高考达标1(2018苏州中学高三期末)已知实数a2,5，则axR|x22x30的概率为_解析：由x22x30，解得1x3，故所求概率P.答案：2(2019启东中学检测)已知正方形ABCD的边长为2，点H是边DA的中点在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足PH的概率为_解析：如图，满足PH的点在AEH，扇形EHF及DFH围成的区域内，由几何概型得所求概率为.答案：3在4,4上随机取一个实数m，能使函数f(x)x3mx23x在R上单调递增的概率为_解析：由题意，得f(x)3x22mx3，要使函数f(x)在R上单调递增，则3x22mx30在R上恒成立，即4m2360，解得3m3，所以所求概率为.答案：4(2018连云港期末)已知m3,4，n2.5,3.5，则关于x的方程x2 x0有解的概率为_解析：m3,4，n2.5,3.5，关于x的方程x2x0有解，m4mn0，画出图形如图所示， 则阴影部分的面积为1，所求的概率P.答案：5在区间上随机取一个数x，则sin xcos x1， 的概率是_解析：因为x，所以x，由sin xcos xsin1， ，得sin1，所以x，故要求的概率为.答案：6已知集合A，Bx|x22x30，在集合A中任意取一个元素a，则aB的概率是_解析：Ay|yx22x，2x2y|1y8B.则所求的概率为.答案：7(2018无锡调研)设a0,10，则函数g(x)在区间(0，)上为增函数的概率为_解析：因为函数g(x)在区间(0，)上为增函数，所以a20，解得a2，所以函数g(x)在区间(0，)上为增函数的概率P.答案： 8如图，正四棱锥SABCD的顶点都在球面上，球心O在平面ABCD上，在球O内任取一点，则这点取自正四棱锥内的概率为_解析：设球的半径为R，则所求的概率为P.答案：9已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，在正方体内随机取点M.(1)求四棱锥MABCD的体积小于的概率；(2)求M落在三棱柱ABCA1B1C1内的概率解：(1)正方体ABCDA1B1C1D1中，设MABCD的高为h，令S四边形ABCDh，因为S四边形ABCD1，所以h.若体积小于，则h，即点M在正方体的下半部分，所以P.(2)因为V三棱柱121，所以所求概率P1.10(2018启东中学模拟)甲、乙两家商场对同一种商品开展促销活动，对购买该商品的顾客，两家商场的奖励方案如下：甲商场：顾客转动如图所示圆盘，当指针指向阴影部分(图中四个阴影部分均为扇形，且每个扇形圆心角均为15，边界忽略不计)即为中奖乙商场：从装有3个白球和3个红球的不透明盒子中一次性摸出2个球(球除颜色外不加区分)，如果摸到的是2个红球，即为中奖问：购买该商品的顾客在哪家商场中奖的可能性大？解：如果顾客去甲商场，事件的全部结果构成的区域为圆盘，面积为R2(R为圆盘的半径)，阴影区域的面积为.所以在甲商场中奖的概率P1.如果顾客去乙商场，记盒子中3个白球为a1，a2，a3,3个红球为b1，b2，b3，记(x，y)为一次摸球的结果，则一切可能的结果有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共15种，摸到的2个球都是红球的结果有(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，共3种，所以在乙商场中奖的概率P2.因为P1P2，所以顾客在乙商场中奖的可能性大三上台阶，自主选做志在冲刺名校1(2018苏州考前模拟)在区间1,1上随机取一个数x，cos的值介于0到之间的概率为_解析：在区间1,1上随机取一个数x，即x1,1时，要使cos的值介于0到之间，需使或，所以1x或x1，区间长度为，由几何概型知，cos的值介于0到之间的概率为.答案：2(2018启东中学检测)R，n0,2，向量c(2n3cos ，n3sin )的长度不超过6的概率为_解析：|c|6，化简得5n26n(2cos sin )27，即5n26 n27，即5n26 ncos()27，其中tan ，当n0时，变形得cos()，由于0，令1，即5n26 n270，解得0n，此时向量c的长度不超过6，又n0,2，由几何概型的概率公式得向量c的长度不超过6的概率为.答案：3已知关于x的二次函数f(x)b2x2(a1)x1.(1)若a，b分别表示将一质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为1,2,3,4,5,6)先后抛掷两次时第一次、第二次出现的点数，求yf(x)恰有一个零点的概率(2)若a，b1,6，求满足yf(x)有零点的概率解：(1)设(a，b)表示一个基本事件，则抛掷两次骰子的所有基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,5)，(6,6)，共36个用A表示事件“yf(x)恰有一个零点”，即(a1)24b20，则a12b.则A包含的基本事件有(1,1)，(3,2)，(5,3)，共3个，所以P(A).即事件“yf(x)恰有一个零点”的概率为.(2)用B表示事件“yf(x)有零点”，即a12b.试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|1a6,1b6，构成事件B的区域为(a，b)|1a6,1b6，a2b10，如图所示：所以所求的概率为P(B).即事件“yf(x)有零点”的概率为.命题点一统计1.(2018江苏高考)已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为_解析：这5位裁判打出的分数分别是89,89,90,91,91，因此这5位裁判打出的分数的平均数为90.答案：902(2016江苏高考)已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是_解析：5个数的平均数5.1，所以它们的方差s2(4.75.1)2(4.85.1)2(5.15.1)2(5.45.1)2(5.55.1)20.1.答案：0.13(2017江苏高考)某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200,400,300,100件为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_件解析：因为丙种型号的产品在所有产品中所占比例为，所以应从丙种型号的产品中抽取6018(件)答案：184(2018全国卷)某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据(单位：m3)和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0，0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)0.6，0.7)频数13249265使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表日用水量0，0.1)0.1，0.2)0.2，0.3)0.3，0.4)0.4，0.5)0.5，0.6)频数151310165(1)在下图中作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图；(2)估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；(3)估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？(一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表)解：(1)频率分布直方图如图所示(2)根据频率分布直方图知，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35 m3的频率为0.20.110.12.60.120.050.48，因此该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率的估计值为0.48.(3)该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为1(0.0510.1530.2520.3540.4590.55260.655)0.48.该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为2(0.0510.1550.25130.35100.45160.555)0.35.估计使用节水龙头后，一年可节省水(0.480.35)36547.45(m3)命题点二古典概型、几何概型1.(2018江苏高考)某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为_解析：设2名男生为a，b,3名女生为A，B，C，从中选出2人的情况有(a，b)，(a，A)，(a，B)，(a，C)，(b，A)，(b，B)，(b，C)，(A，B)，(A，C)，(B，C)，共10种，而都是女生的情况有(A，B)，(A，C)，(B，C)，共3种，故所求概率为.答案：2(2018上海高考)有编号互不相同的五个砝码，其中5克、3克、1克砝码各一个，2克砝码两个，从中随机选取三个，则这三个砝码的总质量为9克的概率是_(结果用最简分数表示)解析：从5个砝码随机选取三个，共有10种选取方法，总质量为9克的情况有2种，因此所求概率为.答案：3(2016江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是_解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(6,6)，共36种情况设事件A“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况所以由古典概型的概率公式，得P()，所以P(A)1.答案：4(2015江苏高考)袋中有形状、大小都相同的4只球，其中1只白球，1只红球，2只黄球从中一次随机摸出2只球，则这2只球颜色不同的概率为_解析：设4只球分别为白、红、黄1、黄2，从中一次随机摸出2只球，所有基本事件为(白，红)、(白，黄1)、(白，黄2)、(红，黄1)、(红，黄2)、(黄1，黄2)，共6个，颜色不同的有5个，所以2只球颜色不同的概率为.答案：5(2017江苏高考)记函数f(x)的定义域为D.在区间4,5上随机取一个数x，则xD的概率是_解析： 令6xx20，解得2x3，即定义域D2,3，在区间4,5上随机取一个数x，则xD的概率P.答案：6(2016全国卷改编)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为_解析：如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯AB长度为401525，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为.答案：7(2018天津高考)已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240,160,160.现采用分层抽样的方法从中抽取7名同学去某敬