2020版高考数学第2章函数、导数及其应用第11节导数的应用（第2课时）导数与函数的极值、最值教学案.docx

第2课时导数与函数的极值、最值利用导数解决函数的极值问题考法1根据函数图象判断函数极值的情况【例1】设函数f(x)在R上可导，其导函数为f(x)，且函数y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是()A函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)B函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)C函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(2)D由题图可知，当x2时，f(x)0；当2x1时，f(x)0；当1x2时，f(x)0；当x2时，f(x)0.由此可以得到函数f(x)在x2处取得极大值，在x2处取得极小值考法2求已知函数的极值【例2】已知函数f(x)(x2)(exax)，当a0时，讨论f(x)的极值情况解f(x)(exax)(x2)(exa)(x1)(ex2a)，a0，由f(x)0得x1或xln 2a.当a时，f(x)(x1)(exe)0，f(x)单调递增，故f(x)无极值当0a时，ln 2a1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，ln 2a)ln 2a(ln 2a,1)1(1，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)有极大值f(ln 2a)a(ln 2a2)2，极小值f(1)ae.当a时，ln 2a1，当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，ln 2a)ln 2a(ln 2a，)f(x)00f(x)极大值极小值故f(x)有极大值f(1)ae，极小值f(ln 2a)a(ln 2a2)2.综上，当0a时，f(x)有极大值a(ln 2a2)2，极小值ae；当a时，f(x)无极值；当a时，f(x)有极大值ae，极小值a(ln 2a2)2.考法3已知函数极值求参数的值或范围【例3】(1)已知f(x)x33ax2bxa2在x1时有极值0，则ab_.(2)若函数f(x)exaln x2ax1在(0，)上恰有两个极值点，则a的取值范围为()A(e2，e)B.C. D(，e)(1)7(2)D(1)由题意得f(x)3x26axb，则解得或经检验当a1，b3时，函数f(x)在x1处无法取得极值，而a2，b9满足题意，故ab7.(2)f(x)ex2a，(x0)由f(x)0得a.令g(x)(x0)由题意可知g(x)a在(0，)上恰有两个零点又g(x)(x0)，由g(x)0得0x1，且x.由g(x)0得x1.函数g(x)在，上递增，在(1，)上递减又g(0)0，g(1)e，结合图形(图略)可知a(，e)，故选D.规律方法1.利用导数研究函数极值问题的一般流程2已知函数极值点和极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值列方程组，利用待定系数法求解(2)验证：因为一点处的导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性 (1)已知函数f(x)x(xc)2在x2处有极大值，则实数c的值为()A2或6 B2C. D6(2)(2019广东五校联考)已知函数f(x)x(ln xax)有极值，则实数a的取值范围是()A. B.C. D.(1)D(2)A(1)法一：f(x)(xc)(3xc)，当f(x)0时，x1，x2c.因为极大值点是x2，所以c0，并且c.当x时，f(x)0，当x时，f(x)0，当x(c，)时，f(x)0，所以x是极大值点，2，解得c6.故选D.法二：因为f(x)(xc)(3xc)又因为f(x)在x2处取极值，所以f(2)0，即(2c)(6c)0.所以c2或c6.当c6时，f(x)3(x2)(x6)，易知x(，2)和x(6，)时，f(x)0，函数f(x)是增函数，x(2,6)时，f(x)0，函数f(x)是减函数，此时x2为极大值点当c2时，f(x)3(x2)，易知x和x(2，)时，f(x)0，函数f(x)是增函数，x时，f(x)0，函数f(x)是减函数，此时x2是极小值点因此c6.故选D.(2)f(x)xln xax2(x0)，f(x)ln x12ax.令g(x)ln x12ax，则g(x)2a.函数f(x)x(ln xax)有极值，g(x)0在(0，)上有实根当a0时，g(x)0，函数g(x)在(0，)上单调递增，当x趋向于0时，g(x)趋向于，当x趋向于时，g(x)趋向于，故存在x0(0，)，使得f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，)上单调递增，故f(x)存在极小值f(x0)，符合题意当a0时，令g(x)0，得x.当0x时，g(x)0，函数g(x)单调递增；当x时，g(x)0，函数g(x)单调递减，x时，函数g(x)取得极大值当x趋向于0和x趋向于时，均有g(x)趋向于，要使g(x)0在(0，)上有实根，且f(x)有极值，必须gln 0，解得0a.综上可知，实数a的取值范围是，故选A.利用导数解决函数的最值问题【例4】已知函数f(x)ln xax(aR)(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当a0时，求函数f(x)在1,2上的最小值解(1)f(x)a(x0)，当a0时，f(x)a0，即函数f(x)的单调递增区间为(0，)当a0时，令f(x)a0，可得x，当0x时，f(x)0；当x时，f(x)0，故函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.综上可知，当a0时，函数f(x)的单调递增区间为(0，)；当a0时，函数f(x)的单调递增区间为，单调递减区间为.(2)当01，即a1时，函数f(x)在区间1,2上是减函数，所以f(x)的最小值是f(2)ln 22a.当2，即0a时，函数f(x)在区间1,2上是增函数，所以f(x)的最小值是f(1)a.当12，即a1时，函数f(x)在上是增函数，在上是减函数又f(2)f(1)ln 2a，所以当aln 2时，最小值是f(1)a；当ln 2a1时，最小值为f(2)ln 22a.综上可知，当0aln 2时，函数f(x)的最小值是f(1)a；当aln 2时，函数f(x)的最小值是f(2)ln 22a.规律方法求函数f(x)在a，b上的最大值、最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值.(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b).(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的为最大值，最小的为最小值. (2017北京高考)已知函数f(x)excos xx.(1)求曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程；(2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值解(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，f(0)0.又因为f(0)1，所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x.当x时，h(x)0，所以h(x)在区间上单调递减所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0.所以函数f(x)在区间上单调递减因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，最小值为f.利用导数研究生活中的优化问题【例5】已知一企业生产某产品的年固定成本为10万元，每生产千件需另投入2.7万元，设该企业年内共生产此种产品x千件，并且全部销售完，每千件的销售收入为f(x)万元，且f(x)(1)写出年利润W(万元)关于年产品x(千件)的函数解析式(2)年产量为多少千件时，该企业生产此产品所获年利润最大？(注：年利润年销售收入年总成本)解(1)由题意得W即W(2)当0x10时，W8.1xx310则W8.1x2，因为0x10所以当0x9时，W0，则W递增；当9x10时，W0，则W递减所以当x9时，W取最大值38.6万元当x10时，W9898238.当且仅当2.7x，即x10时取最大值38.综上，当年产量为9千件时，该企业生产此产品所获年利润最大规律方法利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式yf(x).(2)求函数的导数f(x)，解方程f(x)0.(3)比较函数在区间端点和f(x)0的点的函数值的大小，最大(小)者为最大(小)值.(4)回归实际问题，结合实际问题作答. 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度)设该蓄水池的底面半径为r米，高为h米，体积为V立方米假设建造成本仅与表面积有关，侧面的建造成本为100元/平方米，底面的建造成本为160元/平方米，该蓄水池的总建造成本为12 000元(为圆周率)(1)将V表示成r的函数V(r)，并求该函数的定义域(2)讨论函数V(r)的单调性，并确定r和h为何值时该蓄水池的体积最大解(1)因为蓄水池侧面的总成本为1002rh200rh元，底面的总成本为160r2元，所以蓄水池的总成本为(200rh160r2)元又根据题意得200rh160r212 000，所以h(3004r2)，从而V(r)r2h(300r4r3)由h0，且r