高考数学第二篇导数在研究函数中的应用（第三课时）利用导数证明不等式专题应用能力提升.docx

第三课时利用导数证明不等式专题【选题明细表】知识点、方法题号构造法证明不等式1,2,3,4等价转化法证明不等式7,8证明与数列有关的不等式5,6基础巩固(建议用时:25分钟)1.设f(x)是R上的可导函数,且满足f(x)f(x),对任意的正实数a,下列不等式恒成立的是(B)(A)f(a)eaf(0)(C)f(a)解析:构造函数g(x)=,则g(x)=0,即g(x)=是增函数,而a0,所以g(a)g(0),即f(a)eaf(0).故选B.2.已知x=1是函数f(x)=ax3-bx-ln x(a0,bR)的一个极值点,则ln a与b-1的大小关系是(B)(A)ln ab-1(B)ln a0),则g(a)=-3=,令g(a)0,解得0a,令g(a),故g(a)在(0,)上单调递增,在(,+)上单调递减,故g(a)max=g()=1-ln 30,故ln ab-1.故选B.3.若0x1x2ln x2-ln x1(B)-x1(D)x2x1解析:令f(x)=,则f(x)=.当0x1时,f(x)0,即f(x)在(0,1)上单调递减,因为0x1x21,所以f(x2)f(x1),即x1,故选C.4.已知函数f(x)=3x-x3,xR.设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点P处的切线方程为y=g(x),求证:对于任意的正实数x,都有f(x)g(x).证明:由f(x)=3x-x3,可得f(x)=3-3x2=3(1-x2).设点P的坐标为(x0,0),则x0=,f()=-6.曲线y=f(x)在点P处的切线方程为y=f()(x-),即g(x)=-6(x-).令F(x)=f(x)-g(x),则F(x)=f(x)+6(x-),所以F(x)=f(x)+6,由于f(x)=3(1-x2)在(0,+)上单调递减,故F(x)在(0,+)上单调递减.又因为F()=0,所以当x(0,)时,F(x)0.当x(,+)时,F(x)0)在x=0处取极值.(1)求a的值,并判断该极值是函数最大值还是最小值;(2)证明1+ln(n+1)(nN*).(1)解:因为f(x)=ex-a,x=0是函数的极值点,所以f(0)=0,所以a=1.f(x)=ex-x-1,易知f(x)=ex-1.当x(0,+)时,f(x)0,当x(-,0)时,f(x)ln(1+),即ln,所以ln(1+k)-ln k(k=1,2,n),累加得1+ln(n+1)(nN*).能力提升(建议用时:25分钟)6.已知函数f(x)=ln(x+1)+.(1)若x0时,f(x)1恒成立,求a的取值范围;(2)求证:ln(n+1)+(nN*).(1)解:由ln(x+1)+1得a(x+2)-(x+2)ln(x+1).令g(x)=(x+2)1-ln(x+1),则g(x)=1-ln(x+1)-=-ln(x+1)-.当x0时,g(x)0,所以g(x)在(0,+)上单调递减.所以g(x)1(x0),所以ln(x+1).取x=得ln(+1),即ln.所以ln+ln+ln+ln+,即ln(n+1)+(nN*).7.(2018辽宁大连八中模拟)已知函数f(x)=ex-1+a,函数g(x)=ax+ln x,aR.(1)求函数y=g(x)的单调区间;(2)若不等式f(x)g(x)+1在1,+)上恒成立,求实数a的取值范围;(3)若x(1,+),求证:不等式ex-1-2ln x-x+1.(1)解:因为g(x)=ax+ln x,aR,所以g(x)=a+=,当a0时,增区间为(0,+),无减区间;当a0时,F(1)0,F(x)在1,+)上为增函数,x0(1,+),在(1,x0)上,F(x)0,F(x)递减,F(x)-x+1,只需证明(ex-1-ln x-1)+(x-ln x)0.由(2)知当a=0时,在1,+)上,ex-1-ln x-10恒成立,再令G(x)=x-ln x,在1,+)上,G(x)=1-=0,G(x)单调递增,所以G(x)G(1)=10,即相加,得(ex-1-ln x-1)+(x-ln x)0,所以原不等式成立.8.已知函数f(x)=xln x+ax,aR,函数f(x)的图象在x=1处的切线与直线x+2y-1=0垂直.(1)求a的值和函数f(x)的单调区间;(2)求证:exf(x).(1)解:由题易知,f(x)=ln x+1+a,x0,且f(x)的图象在x=1处的切线的斜率k=2,所以f(1)=ln 1+1+a=2,所以a=1.所以f(x)=ln x+2,当xe-2时,f(x)0,当0xe-2时,f(x)0,因为g(x)=ex-在(0,+)上单调递增,且g(1)=e-10,g()=-20,所以g(x)在(,1)上存在唯一的零点t,即g(t)=et-=0,即et=(t1).当0xt时