高考数学总复习第三章导数及其应用第17讲导数与函数的极值、最值练习理.docx

第17讲导数与函数的极值、最值夯实基础【p37】【学习目标】了解函数在某点取得极值的充要条件；会用导数求函数的极值；会求闭区间上的最大(小)值【基础检测】1如图是函数yf(x)的导函数yf(x)的图象，则下面说法正确的是()A在(2，1)上f(x)是增函数B在(1，3)上f(x)是减函数C当x1时，f(x)取极大值D当x2时，f(x)取极大值【解析】由图象可知x(1，2)上恒有f(x)0，在x(2，4)上恒有f(x)1时，f(x)0，当0x0，因此f(x)有极大值1.【答案】A3函数f(x)x33x1在闭区间3，0上的最大值、最小值分别是()A1，1 B1，17 C3，17 D9，19【解析】f(x)x33x1，f(x)3x233(x1)(x1)，当3x0，f(x)单调递增；当1x0时，f(x)0，f0，因此2a10，a3.从而函数f(x)在1，0上单调递增，在0，1上单调递减，所以f(x)maxf(0)，f(x)minminf(1)，f(1)f(1)，f(x)maxf(x)minf(0)f(1)143.【答案】3【知识要点】1函数的极值与导数(1)函数的极小值：若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值_都小_，且f(a)0，而且在点xa附近的左侧_f(x)0_，则a点叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值(2)函数的极大值：函数yf(x)在点xb的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大，且f(b)0；而且在点xb附近的左侧f(x)0，右侧f(x)0.(1)证明：函数f(x)在区间(，0)上是增函数；(2)求函数g(x)f(x)6ax212x的极小值【解析】(1)f(x)6ax26x6x(ax1)因为a0且x0.所以函数f(x)在区间(，0)上是增函数(2)由题意g(x)2ax3(6a3)x212x，则g(x)6(x2)(ax1)令g(x)0，得x2或x(a0)，当x2时，g(x)0，则函数g(x)在区间上是单调递增函数；当2x时，g(x)时，g(x)0，则函数g(x)在区间上是单调递增函数；所以，函数g(x)的极小值点为x，故函数g(x)的极小值是g(x)极小值g.【点评】(1)求函数f(x)极值的步骤：确定函数的定义域；求导数f(x)；解方程f(x)0，求出函数定义域内的所有根；列表检验f(x)在f(x)0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值(2)若函数yf(x)在区间(a，b)内有极值，那么yf(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即在某区间上的单调函数没有极值考点2利用导数研究函数的最值设a，bR，函数f(x)x3ax2bx在区间(1，1)上单调递增，在区间(1，3)上单调递减(1)若a2，求b的值；(2)求函数f(x)在区间1，4上的最小值(用b表示)【解析】(1)求导，得f(x)x22axb，因为函数f(x)在区间(1，1)上单调递增，在区间(1，3)上单调递减，所以f(1)12ab0.又因为a2，所以b3，验证知其符合题意(2)由(1)得12ab0，即2ab1.所以f(x)x3x2bx，f(x)x2(b1)xb(xb)(x1)，当b1时，得当x(1，)时，f(x)(xb)(x1)0.此时，函数f(x)在(1，)上单调递增，这与题意不符当b1时，随着x的变化，f(x)与f(x)的变化情况如下表：x(，1)1(1，b)b(b，)f(x)00f(x)极大值极小值所以函数f(x)在(，1)，(b，)上单调递增，在(1，b)上单调递减由题意，得b3.所以当b4时，函数f(x)在1，4上的最小值为f(4)4b；当3b4时，函数f(x)在1，4上的最小值为f(b)b3b2.综上，当b4时，函数f(x)在1，4上的最小值为；当3b4，f(x)在1，4上的最小值为b3b2.【点评】求函数f(x)在a，b上的最大值和最小值的步骤：(1)求函数在(a，b)内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；(3)将函数f(x)的极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值考点3函数的极值与最值的综合应用已知函数f(x)x2mxln x.(1)若函数f(x)不存在单调递减区间，求实数m的取值范围；(2)若yf(x)的两个极值点为x1，x2(x10，即定义域为(0，)，由f(x)xm，且f(x)不存在单调递减区间，则f(x)0在(0，)上恒成立，xm在(0，)上恒成立，x0，x2，当且仅当x1时取到最小值2，m2恒成立，解得m2，m的取值范围是2，)(2)由(1)知f(x)定义域为(0，)，f(x)xm，令f(x)xm0，即x2mx10，由f(x)有两个极值点x1，x2(0x1x2)，故x1，x2为方程x2mx10的两根，x1x2m，x1x21，m(x1x2)，x，x，则f(x1)f(x2)xmx1ln x1m(x1x2)ln(xx)lnlnln由0x1x2，令t，g(t)ln t，则0t1，由g(t)，则当x时，f(x)0.所以f(x)在x2处取得极小值若a，则当x(0，2)时，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的极小值点综上可知，a的取值范围是.考点集训【p194】A组题1函数f(x)sin xx在区间0，1上的最小值为()A0 Bsin 1 C1 Dsin 11【解析】由题得f(x)cos x1，因为x0，1，所以f(x)0，所以函数f(x)在0，1上单调递减，所以f(x)minf(1)sin 11.【答案】D2函数f，则()Axe为函数f的极大值点Bxe为函数f的极小值点Cx为函数f的极大值点Dx为函数f的极小值点【解析】f(x0)，当f0时，xe，当x时，f0，函数f递增，当x时，f0，函数f递减，所以当xe时，f取得极大值，则xe为函数的极大值点【答案】A3若函数f(x)x33xm的极小值为1，则函数f(x)的极大值为()A3 B1 C. D2【解析】f(x)3x233(x1)(x1)，显然当x1时，f(x)0，当1x1时，f(x)0，1是极大值点，1是极小值点，于是有f(1)13m1，m1，从而f(1)1313，即极大值为3.【答案】A4已知aln x对任意x恒成立，则a的最小值为()A1 Be2 C. D0【解析】令f(x)ln x，f(x)，可得函数在递减，在1，e递增，又f(e)0)，使f(x)在1，2上取得最大值3，最小值29，则a的值为_【解析】函数f(x)的导数f(x)3ax212ax3ax(x4)，a0，由f(x)0解得0x0，解得x4或x0)由已知，得f(x)(x0)由f(x)00x0；x(2，3)时，g(x)0，g(x)ming(1)b1，b，g(2)ln 2，函数g(x)在区间1，3上的最大值为g(2)ln 2.8已知函数f(x)aln xex.(1)讨论f(x)的极值点的个数；(2)若a2，求证：f(x)0.【解析】(1)根据题意可得，f(x)ex(x0)，当a0时，f(x)0时，令f(x)0，得axex0，即xexa，又h(x)xex在(0，)上单调递增，又h(0)0，所以方程xexa存在唯一解，不妨设为x0，所以函数f(x)在(0，x0)上是单调递增的，在(x0，)上是单调递减的所以函数f(x)有一个极大值点，无极小值点；总之：当a0时，无极值点；当a0时，函数yf(x)有一个极大值点，无极小值点(2)f(x)2ln xex，f(x)(x0)，由(1)可知f(x)有极大值f(x0)，且x0满足x0ex02，又h(x)xex在(0，)上是增函数，且020恒成立，所以g(x)在(0，1)上是增函数，所以g(x0)g(1)20，即g(x0)0，所以f(x)0时，f(x)()A有极大值，无极小值B有极小值，无极大值C既无极大值又无极小值D既有极大值又有极小值【解析】函数f(x)满足x2f(x)2xf(x)，x2f(x)，令F(x)x2f(x)，则F(x)，F(2)4f(2)，由x2f(x)2xf(x)，得f(x)，令(x)ex2F(x)，则(x)ex2F(x)，(x)在(0，2)上单调递减，在(2，)上单调递增，(x)的最小值为(2)e22F(2)0，(x)0.又x0，f(x)0，f(x)在(0，)单调递增，f(x)既无极大值也无极小值，故选C.【答案】C3已知函数f(x)x(ln xax)有两个极值点，则实数a的取值范围是()A(，0) B.C(0，1) D(0，)【解析】f(x)x(ln xax)，f(x)ln x2ax1，故f(x)在(0，)上有两个不同的零点，令f(x)0，则2a，设g(x)，则g(x)，g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，又当x0时，g(x)，当x时，g(x)0，而g(x)maxg(1)1，只需02a10a.【答案】B4已知函数f(x)exaln(x1)，其中e为自然对数的底数(1)若a1，求f(x)的最小值；(2)若0ae，证明：f(x)0.【解析】(1)若a1，f(x)exln(x1)(x1)，所以f(x)ex(x1)，设g(x)(x1)ex1，则g(x)ex(x1)ex(x2)ex0，所以g(x)在(1，)上为增函数，又g(0)0，所以当x(1，0)时，g(x)0，f(x)0，f(x)0，f(x)单调递增所以f(x)的最小值为f(0)1.(2)由题意知f(x)ex(x1)，当a0时，f(x)ex0显然成立当0ae时，由(1)知h(