高考数学总复习第八章计数原理、概率与统计第47讲二项式定理及应用练习理新人教版.docx

第47讲二项式定理及应用夯实基础【p101】【学习目标】1能用计数原理证明二项式定理；熟练掌握二项展开式的通项公式2会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题【基础检测】1.的展开式中的常数项为()A24 B6 C6 D24【解析】二项展开式的通项为Tr1(1)r24rCx42r，令42r0，得r2.所以展开式的常数项为4C24.【答案】D2二项式(x1)n(nN*)的展开式中x2的系数为15，则n()A4 B5 C6 D7【解析】二项式的展开式的通项是Tr1Cxr，令r2，得x2的的系数为C，所以C15，即n2n300，解得n5(舍去)或n6.【答案】C3(2x)(12x)5展开式中，含x2项的系数为()A30 B70 C90 D150【解析】(12x)5展开式的通项公式为Tr1C(2x)r，(2x)(12x)5展开式中，含x2项的系数为2C22C270.【答案】B4设(2x1)5(x2)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则|a0|a2|a4|_【解析】由(2x1)5(x2)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5可得常数项a0(1)52415，x2项的系数为a2C22(1)3C2216，x4项的系数为a4C24(1)1C2079，则|a0|a2|a4|151679110.【答案】1105已知C2C22C23C2nC729，则CCCC等于_【解析】逆用二项式定理得C2C22C23C2nC(12)n3n729，即3n36，所以n6，所以CCCC26C64163.【答案】63【知识要点】1二项式定理(ab)nCanCan1bCanrbrCbn(nN*)，这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做(ab)n的_展开式_；其中的系数_C(r0，1，n)_叫_二项式_系数，与展开式中项的系数_不一定_相同2(ab)n展开式中的Canrbr叫二项展开式的_通项_，用Tr1表示，即Tr1Canrbr.3二项展开式的特点(1)项数为_n1_项(2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为_n_(3)字母a按_降幂_排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按_升幂_排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.4二项式系数的性质性质内容对称性与首末两端_等距离_的两个二项式系数相等，即_CC_.增减性当_k，kN*_时，二项式系数C逐渐减小.最大值当n是偶数时，中间一项Cn取得最大值；当n是奇数时，中间两项Cn，Cn取得最大值.各二项式系数和CCCCC_2n_；CCCC_2n1_(n为偶数)；CCCC_2n1_(n为奇数).典例剖析【p101】考点1二项展开式中的特定项问题(1)二项式的展开式的常数项为()A5 B5 C10 D10【解析】由题得二项式展开式的通项为Tr1C(x6)5r(1)rCx30r，令30r0，r4.所以二项式展开式的常数项为(1)4Cx05.【答案】B(2)若的展开式中含有x2项，则n的最小值是()A15 B8 C7 D3【解析】二项式的展开式的通项是Tr1C(x)rC(1)rxrn.令rn2，即r有正整数解又2与5互质，因此n2必是5的倍数，即n25k，n5k2，n的最小值是3.【答案】D(3)(1)6的展开式中有理项系数之和为_【解析】(1)6的展开式的通项公式为Tr1Cx，令为整数，可得r0，2，4，6，故展开式中有理项系数之和为CCCC2532.【答案】32【点评】求二项展开式中的项的3种方法求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项Tk1Cankbk的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围(k0，1，2，n)(1)第m项：此时k1m，直接代入通项；(2)常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程；(3)有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程特定项的系数问题及相关参数值的求解等都可依据上述方法求解已知(nN*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是101.(1)求展开式中各项系数的和；(2)求展开式中含x的项；(3)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项【解析】由题意知，第五项系数为C(2)4，第三项的系数为C(2)2，则有，化简得n25n240，解得n8或n3(舍去)(1)令x1得各项系数的和为(12)81.(2)通项Tk1C()8kC(2)kx2k，令2k，则k1，故展开式中含x的项为T216x.(3)展开式中的第k项，第k1项，第k2项的系数绝对值分别为C2k1，C2k，C2k1，若第k1项系数的绝对值最大，则解得5k6.又T6的系数为负，系数最大的项为T71 792x11.由n8知第5项的二项式系数最大，此时T51 120x6.【点评】在运用二项式定理时不能忽视展开式中系数的正负，当然还须考虑二项式系数与展开式某项的系数之间的差异：二项式系数只与二项式的指数和项数有关，与二项式无关，而项的系数不仅与二项式的指数和项数有关，还与二项式有关考点2多项展开式中的特定项或系数问题(1)在1(1x)(1x)2(1x)3(1x)4(1x)5的展开式中，含x2项的系数是()A10 B15 C20 D25【解析】含x2项的系数为CCCC20.【答案】C(2)在(x22xy)5的展开式中， x5y2的系数为_【解析】T3C(x22x)3y2，而在(x22x)3中Tk1C(x2)3k(2x)kC2kx6k，令6k5，得k1，T232x5，则T31032x5y260x5y2 , x5y2的系数为60.【答案】60(3)(ax)(1x)4的展开式中x的奇数次幂项的系数之和为32，则a_【解析】设(ax)(1x)4a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5.令x1，得(a1)24a0a1a2a3a4a5.令x1，得0a0a1a2a3a4a5.，得16(a1)2(a1a3a5)232，a3.【答案】3(4)若(x1)5a5(x1)5a4(x1)4a3(x1)3a2(x1)2a1(x1)1a0，则a1a2a3a4a5 _【解析】令x1可得a032；令x0可得a0a1a2a3a4a51，所以a1a2a3a4a51a013231.【答案】31【点评】1.对于几个多项式和的展开式中的特定项(系数)问题，只需依据二项展开式的通项，从每一项中分别得到特定的项，再求和即可2对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏3对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决考点3二项式系数的和与性质在(2x3y)10的展开式中，求：(1)二项式系数的和；(2)各项系数的和；(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和；(4)奇数项系数和与偶数项系数和；(5)x的奇次项系数和与x的偶次项系数和；(6)各项系数的绝对值之和【解析】设(2x3y)10a0x10a1x9ya2x8y2a10y10，(*)各项系数和为a0a1a10，奇数项系数和为a0a2a10，偶数项系数和为a1a3a5a9，x的奇次项系数和为a1a3a5a9，x的偶次项系数和为a0a2a4a10.由于(*)是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和(1)二项式系数的和为CCC210.(2)令xy1，各项系数和为(23)10(1)101.(3)奇数项的二项式系数和为CCC29，偶数项的二项式系数和为CCC29.(4)令xy1，得到a0a1a2a101，令x1，y1(或x1，y1)，得a0a1a2a3a10510，得2(a0a2a10)1510，奇数项系数和为；得2(a1a3a9)1510，偶数项系数和为.(5)x的奇次项系数和为a1a3a5a9；x的偶次项系数和为a0a2a4a10.(6)各项系数的绝对值之和，即|a0|a1|a10|a0a1a2a3a8a9a10510.(或令x1，y1也得结果)【点评】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)m(a、bR)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x1即可；对形如(axby)n(a，bR)的式子求其展开式各项系数之和，只需令xy1即可(2)若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0a2a4，偶数项系数之和为a1a3a5.考点4二项式定理的应用设aZ，且0a13，若512 020a能被13整除，则a()A0 B1C11D12【解析】512 020a(521)2 020aC522 020C522 019(1)1C522 020r(1)rC(1)2 020a，C522 020C522 019(1)1C522 020r(1)rC52(1)能被13整除且512 020a能被13整除，C(1)2 020a1a也能被13整除因此a可取值12.【答案】D运用二项式定理证明：(1)2n2n2，(nN*，n3)；(2)2CC2，CCC111，(n2，nN*)，3，得证方法总结【p102】1运用二项式定理一定要牢记通项Tr1Canrbr，注意(ab)n与(ba)n虽然相同，但具体到它们展开式的某一项是不相同的，我们一定要注意顺序问题，另外二项展开式的二项式系数与该项的(字母)系数是两个不同概念，前者只指C，而后者是指字母外的部分2求二项展开式中指定的项，通常是先根据已知条件求r，再求Tr1，有时还需先求n，再求r，才能求出Tr1.3有些三项展开式问题可以通过变形，变成二项式问题加以解决；有时也可以通过组合解决，但要注意分类清楚，不重不漏4对于二项式系数问题，首先要熟记二项式系数的性质，其次要掌握赋值法，赋值法是解决二项式系数问题的一个重要手段5近似计算首先要观察精确度，然后选取展开式中的若干项6用二项式定理证明整除问题，一般将被除式变为有关除式的二项式的形式再展开，常采用“配凑法”，“消去法”配合整除的有关知识来解决走进高考【p102】1(2018全国卷)的展开式中x4的系数为()A10 B20 C40 D80【解析】由Tr1C(x2)5rCx102r2rxrC2rx103r，令103r4，则r2，所以C2240.【答案】C2(2017浙江)已知多项式(x1)3(x2)2x5a1x4a2x3a3x3a4xa5，则a4_，a5_【解析】由题意知a4为含x的项的系数，根据二项式定理得a4C12C22C13C216，a5是常数项，所以a5C13C224.【答案】16；4考点集训【p230】A组题1在的展开式中，x的系数为()A40 B10 C10 D40【解析】通项公式为Tr1C(2)rx52r，令52r1，求得r2，可得展开式中x的系数为C(2)240.【答案】D2已知的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，记展开式中系数最大的项为第k项，则k()A5 B4 C4或5 D5或6【解析】的展开式中第3项与第6项的二项式系数相等，n257，第r1项的系数为Tr1C(1)r，r4时Tr1最大，故展开式中系数最大的项为第5项【答案】A3已知关于x的二项式展开式的二项式系数之和为32，常数项为270，则a的值为()A2 B2 C3 D3【解析】由题意知2n32，n5，Tr1C()5rarxrCarxr，令r0，得r3，a3C270，解得a3.【答案】C4(xy)(xy)8的展开式中的x2y7系数是()A20 B20 C15 D15【解析】(xy)8的展开式通项公式为：Tr1Cx8ryr，且(xy)(xy)8x(xy)8y(xy)8，则令r7可得x(xy)8展开式中x2y7的系数为C，令r6可得y(xy)8展开式中x2y7的系数为C，则展开式中的x2y7系数是CC20.【答案】A5已知(2x)10a0a1(1x)a2(1x)2a9(1x)9a10(1x)10，则a9等于_【解析】(2x)101C(1x)C(1x)9(1x)10，所以a9C10.【答案】106设的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若MN240，则展开式中含x的项为_【解析】由已知条件4n2n240，解得n4，Tr1C(5x)4r(1)r54rCx4，令41，得r2，T3150x.【答案】150x7. 8836被49除所得的余数是_(请用数字作答)【解析】8836(17)8361C7C72C7836784C72C78349(12C7C781C)，因此它除以49的余数为0.【答案】08若展开式中前三项的系数之和为15.(1)展开式中是否有常数项，说明理由；(2)求展开式中系数最大的项【解析】(1)Tr1(1)rCxn，所以由已知得：1CC15，解得n7，所以Tr1(1)rCx7(r0，1，2，7)，因为70无整数解，所以展开式中无常数项(2)由Tr1(1)rCx7知展开式中各项系数的绝对值就为二项式系数，所以展开式中的第5项为系数最大的项，即T535x.B组题1已知(1xx2)的展开式中没有常数项，nN*，且2n7，则n_【解析】的展开式中，Tr1Cxn4r，由(1xx