高考数学第九章平面解析几何9第8讲曲线与方程练习理（含解析）.docx

第8讲 曲线与方程 基础题组练1方程(xy)2(xy1)20表示的曲线是()A一条直线和一条双曲线B两条双曲线C两个点D以上答案都不对解析：选C.(xy)2(xy1)20故或2.如图所示，在平面直角坐标系xOy中，A(1，0)，B(1，1)，C(0，1)，映射f将xOy平面上的点P(x，y)对应到另一个平面直角坐标系uOv上的点P(2xy，x2y2)，则当点P沿着折线ABC运动时，在映射f的作用下，动点P的轨迹是()解析：选D.当P沿AB运动时，x1，设P(x，y)，则(0y1)，故y1(0x2，0y1)当P沿BC运动时，y1，则(0x1)，所以y1(0x2，1y0)，由此可知P的轨迹如D项图象所示，故选D.3已知A，B为平面内两定点，过该平面内动点M作直线AB的垂线，垂足为N.若2，其中为常数，则动点M的轨迹不可能是()A圆 B椭圆C抛物线 D双曲线解析：选C.以AB所在直线为x轴，AB的中垂线为y轴，建立坐标系，设M(x，y)，A(a，0)，B(a，0)，则N(x，0)因为2，所以y2(xa)(ax)，即x2y2a2，当1时，轨迹是圆；当0且1时，轨迹是椭圆；当4|AB|，故P点轨迹是椭圆，且2a6，2c4，即a3，c2，b.因此其轨迹方程为1(y0)(2)设圆P的半径为r，则|PA|r1，|PB|r，因此|PA|PB|1.由双曲线的定义知，P点的轨迹为双曲线的右支，且2a1，2c4，即a，c2，b，因此其轨迹方程为4x2y21.(3)依题意，知动点P到定点A的距离等于到定直线x2的距离，故其轨迹为抛物线，且开口向左，p4.因此其轨迹方程为y28x.10.如图，动圆C1：x2y2t2，1t3与椭圆C2：y21相交于A，B，C，D四点点A1，A2分别为C2的左、右顶点，求直线AA1与直线A2B交点M的轨迹方程解：由椭圆C2：y21，知A1(3，0)，A2(3，0)设点A的坐标为(x0，y0)，由曲线的对称性，得B(x0，y0)，设点M的坐标为(x，y)，直线AA1的方程为y(x3)直线A2B的方程为y(x3)由相乘得y2(x29)又点A(x0，y0)在椭圆C2上，故y1.将代入得y21(x3，y0)因此点M的轨迹方程为y21(x3，y0)11.如图，P是圆x2y24上的动点，P点在x轴上的射影是D，点M满足.(1)求动点M的轨迹C的方程，并说明轨迹是什么图形；(2)过点N(3，0)的直线l与动点M的轨迹C交于不同的两点A，B，求以OA，OB为邻边的平行四边形OAEB的顶点E的轨迹方程解：(1)设M(x，y)，则D(x，0)，由，知P(x，2y)，因为点P在圆x2y24上，所以x24y24，故动点M的轨迹C的方程为y21，且轨迹C是以(，0)，(，0)为焦点，长轴长为4的椭圆(2)设E(x，y)，由题意知l的斜率存在，设l：yk(x3)，代入y21，得(14k2)x224k2x36k240，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以y1y2k(x13)k(x23)k(x1x2)6k6k.因为四边形OAEB为平行四边形，所以(x1x2，y1y2)，又(x，y)，所以消去k得，x24y26x0，由(24k2)24(14k2)(36k24)0，得k2，所以0x.所以顶点E的轨迹方程为x24y26y0.综合题组练1(创新型)已知正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，点M在AB上，且AM，点P在平面ABCD内，且动点P到直线A1D1的距离与动点P到点M的距离的平方差为1，则动点P的轨迹是()A直线 B圆C双曲线 D抛物线解析：选D.在平面ABCD内过点P作PFAD，垂足为F，过点F在平面AA1D1D内作FEA1D1，垂足为E，连接PE，则有PEA1D1，即PE为点P到A1D1的距离由题意知|PE|2|PM|21，又因为|PE|2|PF|2|EF|2，所以|PF|2|EF|2|PM|21，即|PF|2|PM|2，即|PF|PM|，所以点P满足到点M的距离等于点P到直线AD的距离由抛物线的定义知点P的轨迹是以点M为焦点，AD为准线的抛物线，所以点P的轨迹为抛物线2(创新型)若曲线C上存在点M，使M到平面内两点A(5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，则称曲线C为“好曲线”以下曲线不是“好曲线”的是()Axy5 Bx2y29C.1 Dx216y解析：选B.因为M到平面内两点A(5，0)，B(5，0)距离之差的绝对值为8，所以M的轨迹是以A(5，0)，B(5，0)为焦点的双曲线，方程为1.A项，直线xy5过点(5，0)，满足题意，为“好曲线”；B项，x2y29的圆心为(0，0)，半径为3，与M的轨迹没有交点，不满足题意；C项，1的右顶点为(5，0)，满足题意，为“好曲线”；D项，方程代入1，可得y1，即y29y90，所以0，满足题意，为“好曲线”3.(创新型)如图，斜线段AB与平面所成的角为60，B为斜足，平面上的动点P满足PAB30，则点P的轨迹是()A直线 B抛物线C椭圆 D双曲线的一支解析：选C.母线与中轴线夹角为30，然后用平面去截，使直线AB与平面的夹角为60，则截口为P的轨迹图形，由圆锥曲线的定义可知，P的轨迹为椭圆故选C.4已知ABC的顶点A，B的坐标分别为(4，0)，(4，0)，C为动点，且满足sin Bsin Asin C，则C点的轨迹方程为_解析：由sin Bsin Asin C可知bac10，则|AC|BC|108|AB|，所以满足椭圆定义令椭圆方程为1，则a5，c4，b3，则轨迹方程为1(x5)答案：1(x5)5(应用型)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程解：由题意知F，设直线l1的方程为ya，直线l2的方程为yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0.(1)证明：由于F在线段AB上，则1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)设l与x轴的交点为D(x1，0)，则SABF|ab|FD|ab|，SPQF.由题意可得|ab|，所以x11或x10(舍去)设满足条件的AB的中点为E(x，y)当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1)而y，所以y2x1(x1)当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1，0)，满足方程y2x1.综上所求的轨迹方程为y2x1.6(应用型)(2019湖北武汉模拟)在平面直角坐标系xOy中取两个定点A1(，0)，A2(，0)，再取两个动点N1(0，m)，N2(0，n)，且mn2.(1)求直线A1N1与A2N2的交点M的轨迹C的方程；(2)过R(3，0)的直线与轨迹C交于P，Q两点，过点P作PNx轴且与轨迹C交于另一点N，F为轨迹C的右焦点，若(1)，求证：.解：(1)依题意知，直线A1N1的方程为y(x)，直线A2N2的方程为y(x)，设M(x，y)是直线A1N1与A2N2的交点，得y2(x26)，又mn2，整理得1.故点M的轨迹C的方程为1.(2)证明：设过点R的直线l：xty3，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则N(x1，y1)，由消去x，得(t23)y26ty30，(*)所以y1y2，y1y2.由，得(x13，y1)(x23，y2)，故x13(x23)，y1y2，由(1)得F(2，0)，要证，即证(2x1，y1)(x22，y