高考数学第七篇立体几何与空间向量第7节立体几何中的向量方法（第二课时）求空间角与距离应用能力提升.docx

第二课时求空间角与距离【选题明细表】知识点、方法题号向量法求异面直线所成的角4,9向量法求直线和平面所成的角2,5,11,12,13向量法求二面角1,6,7,10,14向量法求空间距离3,8基础巩固(建议用时:25分钟)1.已知两平面的法向量分别为m=(0,1,0),n=(0,1,1),则两平面所成的二面角为(C)(A)45 (B)135(C)45或135(D)90解析:cos=,即=45.所以两平面所成二面角为45或135.2.设直线l与平面相交,且l的方向向量为a,平面的法向量为n,若=,则l与所成的角为(C)(A)(B)(C)(D)解析:线面角的范围是0,.因为=,所以l与平面的法向量所在直线所成角为,所以l与所成的角为.故选C.3.已知平面的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,3,0)在平面内,则点P(-2,1,4)到平面的距离为(D)(A)10 (B)3 (C) (D)解析:点P到平面的距离d=.4.在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为A1B1,BB1的中点,那么直线AM与CN所成角的余弦值等于(D)(A)(B)(C)(D)解析:建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),M(1,1),C(0,1,0),N(1,1,),所以=(1,0,),=(0,1).故cos=.故直线AM与CN所成角的余弦值等于.故选D.5.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:设正三棱柱的棱长为2,取AC的中点D,连接DG,DB,分别以DA,DB,DG所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示,则B1(0,2),F(1,0,1),E(,0),G(0,0,2),=(1,-,-1),=(,-,1),=(1,0,-1).设平面GEF的法向量为n=(x,y,z),则即取x=1,则z=1,y=,故n=(1,1)为平面GEF的一个法向量,所以cos=-,所以B1F与平面GEF所成角的正弦值为.故选A.6.在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E为BB1的中点,则平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为(B)(A)(B)(C)(D)解析:以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,设棱长为1,则A1(0,0,1),E(1,0,),D(0,1,0),所以=(0,1,-1),=(1,0,-),设平面A1ED的一个法向量为n1=(x,y,z),则即令x=1,则所以n1=(1,2,2).又平面ABCD的一个法向量为n2=(0,0,1),所以cos=.即平面A1ED与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为.故选B.7.如图所示,已知点P为菱形ABCD外一点,且PA平面ABCD,PA=AD=AC,点F为PC的中点,则二面角C-BF-D的正切值为.解析:如图所示,连接BD,ACBD=O,连接OF.以O为原点,OB,OC,OF所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Oxyz.设PA=AD=AC=1,则BD=.所以B(,0,0),F(0,0,),C(0,0),D(-,0,0).结合图形可知,=(0,0)且为平面BOF的一个法向量,由=(-,0),=(,0,-),可求得面BCF的一个法向量为n=(1,).所以cos=,sin=,所以tan=.答案:8.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F,G分别是CC1,D1A1,AB的中点,则点A到平面EFG的距离等于.解析:如图,建立空间直角坐标系Dxyz,则A(2,0,0),E(0,2,1),F(1,0,2),G(2,1,0).所以=(1,-2,1),=(2,-1,-1),=(0,-1,0).设n=(x,y,z)是平面EFG的一个法向量,则由n,n,得即解得x=y=z.令x=1,得n=(1,1,1).因为在n方向上的投影为=,所以点A到平面EFG的距离为.答案:能力提升(建议用时:25分钟)9.如图所示,在空间直角坐标系中有直三棱柱ABCA1B1C1,CA=CC1=2CB,则直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为(A)(A)(B)(C)(D)解析:不妨令CB=1,则CA=CC1=2.可得O(0,0,0),B(0,0,1),C1(0,2,0),A(2,0,0),B1(0,2,1),所以=(0,2,-1),=(-2,2,1),所以cos=0.所以与的夹角即为直线BC1与直线AB1的夹角,所以直线BC1与直线AB1夹角的余弦值为.故选A.10.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,ACB=90,2AC=AA1=BC=2.若二面角B1-DC-C1的大小为60,则AD的长为(A)(A)(B)(C)2(D)解析:如图,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(1,0,0),B1(0,2,2),C1(0,0,2).设AD=a,则D点坐标为(1,0,a),=(1,0,a),=(0,2,2).设平面B1CD的法向量为m=(x,y,z).由得令z=-1,则m=(a,1,-1).又平面C1DC的一个法向量为n=(0,1,0),则由 cos 60=,得=,解得a=,所以AD=.故选A.11.如图,菱形ABCD中,ABC=60,AC与BD相交于点O,AE平面ABCD,CFAE,AB=2,CF=3.若直线FO与平面BED所成的角为45,则AE=.解析:如图,以O为原点,以OA,OB所在直线分别为x轴、y轴,以过点O且平行于CF的直线为z轴建立空间直角坐标系.设AE=a,则B(0,0),D(0,-,0),F(-1,0,3),E(1,0,a),所以=(-1,0,3),=(0,2,0),=(-1,-a).设平面BED的法向量为n=(x,y,z),则即则y=0,令z=1,得x=-a,所以n=(-a,0,1),所以cos=.因为直线FO与平面BED所成角的大小为45,所以=,解得a=2或a=-(舍去),所以AE=2.答案:212.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为直角梯形,ABC=BAD=90,且PA=AB=BC=AD=1,PA平面ABCD.(1)求PB与平面PCD所成角的正弦值;(2)棱PD上是否存在一点E满足AEC=90?若存在,求AE的长;若不存在,说明理由.解:(1)依题意,以A为坐标原点,分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系Axyz,则P(0,0,1),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),从而=(1,0,-1),=(1,1,-1),=(0,2,-1),设平面PCD的法向量为n=(a,b,c),则n=0,且n=0,即a+b-c=0,且2b-c=0,不妨取c=2,则b=1,a=1,所以平面PCD的一个法向量为n=(1,1,2),此时cos=-,所以PB与平面PCD所成角的正弦值为.(2)设=(01),则E(0,2,1-),则=(-1,2-1,1-),=(0,2,1-),由AEC=90,得=2(2-1)+(1-)2=0,化简得,52-4+1=0,该方程无解,所以,棱PD上不存在一点E满足AEC=90.13.(2018辽宁瓦房店一模)如图,已知ABBC,BECD,DCB=90,平面BCDE平面ABC,AB=BC=BE=2,CD=4,F为AD的中点.(1)证明:EF平面ACD;(2)求直线CE与平面ABD所成角的余弦值.(1)证明:设AC的中点为G,连接FG,BG,因为F为AD的中点,所以FGDC,FG=DC,又由题意BECD,BE=CD,所以EBFG,且EB=FG,所以四边形BEFG为平行四边形,所以EFBG.因为DCB=90,所以DCBC,又因为平面BCDE平面ABC,平面BCDE平面ABC=BC,DC平面BCDE,所以DC平面ABC.又BG平面ABC,所以DCBG,所以DCEF.又AB=BC,AG=CG,所以ACBG,所以ACEF.因为ACDC=C,AC平面ACD,DC平面ACD,所以EF平面ACD.(2)解:以点B为原点,以BA方向为x轴,以BC方向为y轴,以BE方向为z轴,建立如图所示坐标系,B(0,0,0),E(0,0,2),A(2,0,0),C(0,2,0),D(0,2,4),设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则所以取z=1,得n=(0,-2,1),=(0,-2,2),所以cos=,设直线CE与平面ABD所成角为,则sin =,所以cos =,即直线CE与平面ABD所成角的余弦值为.14.(2018江西九校联考)如图,在四棱锥P-ABCD中,PB底面ABCD,底面ABCD为梯形,ADBC,ADAB,且PB=AB=AD=3,BC=1.(1)求二面角B-PD-A的大小;(2)在线段PD上是否存在一点M,使得CMPA?若存在,求出PM的长;若不存在,说明理由.解:(1)因为梯形ABCD中,ADBC,ADAB,所以BCAB,因为PB平面ABCD,所以PBAB,PBBC,如图,以B为原点,BC,BA,BP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,所以C(1,0,0),D(3,3,0),A(0,3,0),P(0,0,3).设平面BPD的一个法向量为n