高考数学课时跟踪检测（四十一）空间向量的应用（空间角的求法）理苏教版.docx

课时跟踪检测（四十一） 空间向量的应用（空间角的求法）一保高考，全练题型做到高考达标1(2019苏锡常镇调研)如图，已知正四棱锥PABCD中， PAAB2，点M，N分别在PA，BD上，且.(1)求异面直线MN与PC所成角的大小；(2)求二面角NPCB的余弦值解：(1)设AC，BD交于点O，在正四棱锥PABCD中，OP平面ABCD.又PAAB2，所以OP.以O为坐标原点，方向分别为x轴、y轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.则A(1，1,0)，B(1,1,0)，C(1,1,0)，D(1，1,0)，P(0，0，)，(1,1，)故，所以，(1,1，)，所以cos，所以异面直线MN与PC所成角的大小为30.(2)由(1)知(1,1，)，(2,0,0)，.设m(x1，y1，z1)是平面PCB的一个法向量，则即令y1，则z11，即m(0，1)设n(x2，y2，z2)是平面PCN的一个法向量，则即令x22，则y24，z2，即n(2,4，)，所以cosm，n，故二面角NPCB的余弦值为.2(2018启东检测)如图，在四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，ACAD，ABBC，BAC45，PAAD2，AC1.(1)求二面角APCD的余弦值；(2)设E为棱PA上的点，满足异面直线BE与CD所成的角为30，求AE的长解：(1)因为PA平面ABCD，所以PAAD，PAAC，又因为ACAD，故以A为原点，以AD，AC，AP所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图所示空间直角坐标系Axyz，依题意得A(0,0,0)，D(2,0,0)，C(0,1,0)，B，P(0,0,2)(0,1，2)，(2，1,0)设平面PCD的法向量n(x，y，z)，则即不妨令z1，可得n(1,2,1)，可取平面PAC的法向量m(1,0,0)于是cos m，n.由图知二面角APCD为锐角，所以二面角APCD的余弦值为.(2)设点E的坐标为(0,0，h)，其中h0,2由此得，由(2，1,0)，故cos，所以cos 30，解得h，即AE.3(2019南通一调)如图，在四棱锥SABCD中，底面ABCD为矩形，SA平面ABCD，AB1，ADAS2，P是棱SD上一点，且SPPD.(1)求直线AB与CP所成角的余弦值；(2)求二面角APCD的余弦值解：(1)如图，分别以AB，AD，SA所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Axyz，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,2,0)，D(0,2,0)，S(0,0,2)设P(x0，y0，z0)，由，得(x0，y0，z02)(0,2，2)，所以x00，y0，z0，则点P的坐标为.故，(1,0,0)，设直线AB与CP所成的角为，则cos .所以直线AB与CP所成角的余弦值为.(2)设平面APC的法向量为m(x1，y1，z1)，因为，(1,2,0)，所以即令y12，则x14，z11，m(4，2,1)，设平面SCD的法向量为n(x2，y2，z2)，由于(1,0,0)，(0，2,2)，所以即令y21，则z21，n(0,1,1)设二面角APCD的大小为(由图可知为锐角)，所以cos |cosm，n|，所以二面角APCD的余弦值为.4.如图，圆锥的高PO4，底面半径OB2，D为PO的中点，E为母线PB的中点，F为底面圆周上一点，满足EFDE.(1)求异面直线EF与BD所成角的余弦值；(2)求二面角ODFE的正弦值解：(1)以O为原点，底面上过O点且垂直于OB的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，OP所在的直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则B(0,2,0)，P(0,0,4)，D(0，0,2)，E(0,1,2)设F(x0，y0,0)(x00，y00)，且xy4.则(x0，y01，2)，(0,1,0)因为EFDE，则y010，故y01.所以F(，1,0)，(，0，2)，(0，2,2)设异面直线EF与BD所成角为，则cos .故异面直线EF与BD所成角的余弦值为.(2)设平面ODF的法向量为n1(x1，y1，z1)，则即令x11，得y1，则平面ODF的一个法向量为n1(1，0)设平面DEF的法向量为n2(x2，y2，z2)，因为(0,1,0)，(，1，2)，则即令x21，得z2，则平面DEF的一个法向量为n2.设二面角ODFE的平面角为，则|cos |，所以sin .即二面角ODFE的正弦值为.二上台阶，自主选做志在冲刺名校(2018镇江高三期末考试)如图，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，E是棱PC的中点(1)求BE与平面PBD所成角的正弦值；(2)若F为棱PC上一点，满足BFAC，求二面角FABP的正弦值解：(1)以，为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，可得B(1,0,0)，C(2,2,0)，D(0，2,0)，P(0,0,2)，由E为棱PC的中点，得E(1,1,1)，故(0,1,1)，(1,2,0)，(1,0，2)设n(x，y，z)为平面PBD的一个法向量，则即令y1，得x2，z1，所以n(2,1,1)为平面PBD的一个法向量，设BE与平面PBD所成角为，于是sin |cosn，|.所以BE与平面PBD所成角的正弦值为.(2)由(1)知(1,2,0)，(2，2,2)，(2,2,0)，(1,0,0)由点F在棱PC上，设 (01)故(12，22，2)由BFAC，得0，因此2(12)2(22)0，解得，即.设n1(x1，