高考数学总复习第二章函数第6讲函数的值域与最值练习理新人教版.docx

第6讲函数的值域与最值夯实基础【p14】【学习目标】理解函数的最大(小)值的概念及几何意义，熟练掌握基本初等函数的值域，掌握求函数的值域和最值的基本方法【基础检测】1函数y1的值域为()A1，) B(1，1)C(1，) D1，1)【解析】因为2x0，所以42x4，所以02，所以值域为.【答案】C3已知函数f(x)x24x，xm，5的值域是5，4，则实数m的取值范围是()A(，1) B(1，2C1，2 D2，5【解析】f(x)x24x(x2)24，当x2时，f(2)4，由f(x)x24x5，解得x5或x1，要使函数在m，5的值域是5，4，则1m2.【答案】C4已知函数yx22ax的最大值是a2，则实数a的取值范围是_【解析】函数yx22axa2，当xa时，函数有最大值a2，又因为0x1，所以0a1，1a0，故实数a的取值范围是.【答案】1，05函数f的最大值为_【解析】2x，f，即最大值为.【答案】【知识要点】1函数的值域函数f(x)的值域是_函数值y_的集合，记为y|yf(x)，xA，其中A为f(x)的定义域2常见函数的值域(1)一次函数ykxb(k0)的值域为_R_(2)二次函数yax2bxc(a0)，当a0时，值域为；当a0时，值域为.(3)反比例函数y(k0)的值域为(，0)(0，)(4)指数函数yax(a0且a1)的值域为_(0，)_(5)对数函数ylogax(a0且a1)的值域为_R_(6)正、余弦函数ysin x，ycos x的值域为_1，1_；正切函数ytan x的值域为_R_3函数的最值一般地，设函数yf(x)的定义域为I，如果存在实数M：(1)若xI，f(x)M且x0I，f(x0)M，则称M为f(x)的_最大值_(2)若xI，f(x)M且x0I，f(x0)M，则称M为f(x)的_最小值_典 例 剖 析【p14】考点1函数值域的求法求下列函数的值域：(1) f(x)3x1，xxN|1x4；(2)y2x；(3)y；(4)yx22x3，xx|0x3；(5)y；(6)y2x；(7)f(x)|2x1|x4|.【解析】(1)由xxN|1x4可知定义域为1，2，3，4，代入函数式可得值域为2，5，8，11(2)(三角换元法)令xcos t(0t)，y2cos tsin tsin(t).0t，t，sin()sin(t)1.故函数的值域为2，(3)(均值不等式法)y(x1)，又当x1时，x10；当x1时，x10.当x1时，y(x1)24，且当x3时等号成立；当x0)的最大值相等，则a的值为()A1 B.C2 D2【解析】f(x)在定义域2，)上是增函数，所以f(x)的最小值f(2)2，又g(x)在定义域a，)上是减函数，所以g(x)的最大值g(a)，所以2，a2.【答案】C(2)函数y的最大值是()A1 B1 C6 D7【解析】根据题意得：所以3x4.又y，为减函数，y为增函数，所以函数y为减函数，当x3时取得最大值1.【答案】B考点3含参变量的函数值域与最值问题(1)已知函数yx24x1的定义域为，在该定义域内函数的最大值与最小值之和为5，则实数t的取值范围是()A. B.C. D.【解析】函数yx24x1是开口向上，对称轴为x2的抛物线，又函数yx24x1的定义域为，当x1时，y2，当x2时，y3，函数在定义域内函数的最大值与最小值之和为5，当y2时，x1或x3，2t3.【答案】B(2)若函数f的值域为(0，)，则实数m的取值范围是()A.B.C.D.【解析】函数f的值域为，则g(x)mx22(m2)x1的值域能取到(0，)，当m0时，g(x)4x1，值域为R，包括了(0，)，当m0时，要使f(x)能取到(0，)，则g(x)的最小值小于等于0，则解得0m1或m4.综上可得实数m的取值范围是.【答案】D函数f(x)2x的定义域为(0，1(aR)(1)当a1时，求函数yf(x)的值域；(2)若函数yf(x)在定义域上是减函数，求a的取值范围；(3)求函数yf(x)在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值【解析】(1)函数yf(x)2x2，所以函数yf(x)的值域为2，)(2)若函数yf(x)在定义域上是减函数，则任取x1，x2(0，1且x1f(x2)成立，即(x1x2)0，只要a2x1x2即可，由x1，x2(0，1，故2x1x2(2，0)，所以a2，故a的取值范围是(，2(3)当a0时，函数yf(x)在(0，1上单调递增，无最小值，当x1时取得最大值2a；当a2时，由(2)得yf(x)在(0，1上单调递减，无最大值，当x1时取得最小值2a；当2a0时，函数yf(x)在上单调递减，在上单调递增，无最大值，当x时取得最小值2.方 法 总 结【p15】1函数的值域是函数值的集合，它受到定义域的制约，故求值域时应首先考虑定义域2求值域的常用方法：一是要掌握基本的初等函数及它们的复合函数的值域；二是要掌握利用单调性求值域；三是要掌握利用导数法求值域这是三种最基本的方法，此外还有基本不等式法、数形结合法等3最值可由值域而得到，但我们也要重视最值的概念，注意检验是否具备取得最值的条件4分离参数是解决不等式恒成立问题中的通解通法之一，注意分清“主元”和“参数”走 进 高 考【p15】1(2017浙江)已知aR，函数f(x)a在区间1，4上的最大值是5，则实数a的取值范围是_. 【解析】x1，4，x4，5，分类讨论：当a5时，f(x)axa2ax，函数f(x)的最大值2a45，a，舍去；当a4时，f(x)xaax5，此时命题成立；当4a5时，f(x)maxmax|4a|a，|5a|a，则：或解得：a或a1时，f(x)2x3m在(1，)上单调递增；若f(x)在R上存在最小值，则只需满足log2(19)213m，m.【答案】8已知函数g(x)1，h(x)，x(3，a，其中a为常数且a0，令函数f(x)g(x)h(x)(1)求函数f(x)的表达式，并求其定义域；(2)当a时，求函数f(x)的值域【解析】(1)f(x)，x0，a(a0)(2)函数f(x)的定义域为，令1t，则x(t1)2，t，f(x)F(t).又t时，t单调递减，F(t)单调递增，F(t)，即函数f(x)的值域为.B组题1已知f(x)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是()A0，2 B1，2 C1，2 D1，0【解析】由f(0)是f(x)的最小值知，当x0时，f(x)的最小值为f(0)a2，结合f(x)的解析式知，a0.当x0时，f(x)xa2a2a，知f(x)的最小值为2a，则2aa2，解得1a2，所以0a2.【答案】A2若定义运算a*b，则函数f(x)log2x*logx的值域是()A(0，1 B0，)C1，) DR【解析】令log2xlogxlog2xlog2x，即2log2x0，即0x1，令log2xlogx，解得x1，又因为a*b所以f(x)当0x1时，函数f(x)logx单调递减，所以此时f(x)(0，)；当x1时，函数f(x)log2x单调递增，此时f(x)0，)，所以函数f(x)的值域为0，)【答案】B3已知函数f(x)x22|x|4定义域为a，b，其中a1时，f(x)0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)任取x1，x2(0，)，且x1x2，则1，由