高考数学总复习第八章计数原理、概率与统计第49讲互斥事件和独立事件的概率及条件概率练习理新人教A版.docx

第49讲互斥事件和独立事件的概率及条件概率夯实基础【p106】【学习目标】1了解互斥事件，相互独立事件和条件概率的意义及其运算公式2理解独立重复试验的模型，会计算事件在n次独立重复试验中发生k次的概率【基础检测】1某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A0.4 B0.6 C0.75 D0.8【解析】设“某一天的空气质量为优良”为事件A，“随后一天的空气质量为优良”为事件B，则P(A)0.75，P(AB)0.6，P(B|A)0.8.【答案】D2某学校10位同学组成的志愿者组织分别由李老师和张老师负责，每次献爱心活动均需该组织4位同学参加假设李老师和张老师分别将各自活动通知的信息独立随机地发给4位同学，且所发信息都能收到则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为()A.B.C.D.【解析】设甲同学收到李老师的信息为事件A，收到张老师的信息为事件B，A、B相互独立，P(A)P(B)，则甲同学收到李老师或张老师所发活动通知的信息的概率为P1P(AB)1(1P(A)(1P(B)1.【答案】C3某次战役中，狙击手A受命射击敌机，若要击落敌机，需命中机首2次或命中机中3次或命中机尾1次，已知A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为()A0.23 B0.2 C0.16 D0.1【解析】A每次射击，命中机首、机中、机尾的概率分别为0.2、0.4、0.1，未命中敌机的概率为0.3，且各次射击相互独立，若A射击一次就击落敌机，则他击中了敌机的机尾，故概率为0.1；若A射击2次就击落敌机，则他2次都击中了敌机的机首，概率为0.20.20.04；或者A第一次没有击中机尾、且第二次击中了机尾，概率为0.90.10.09，若A至多射击两次，则他能击落敌机的概率为0.10.040.090.23.【答案】A4一个盒子中装有4只产品，其中3只是一等品，1只是二等品，从中取产品两次，每次任取1只，做不放回抽样设事件A为“第一次取到的是一等品”，事件B是“第二次取到的是一等品”，则P(B|A)_(P(B|A)为A在发生的条件下B发生的概率)【解析】将产品进行编号，1，2，3号为一等品，4号为二等品，用(i，j)表示第一次、第二次分别取到第i号、第j号产品(i，j1，2，3，4)，则试验的基本事件空间为(1，2)，(1，3)，(1，4)，(2，1)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(4，1)，(4，2)，(4，3)则事件A包含9个基本事件，事件AB包含有6个基本事件，根据条件概率公式P(B|A).【答案】【知识要点】1互斥事件与对立事件(1)互斥事件：若AB为不可能事件(AB)，则称事件A与事件B互斥，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中不会同时发生(2)对立事件：若AB为不可能事件，而AB为必然事件，那么事件A与事件B互为对立事件，其含义是：事件A与事件B在任何一次试验中有且仅有一个发生2概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：_0P(A)1_(2)互斥事件的概率加法公式：P(AB)_P(AB)_P(A)P(B)_(A，B互斥)P(A1A2An)_P(A1)P(A2)P(An)_或P(A1A2An)_P(A1)P(A2)P(An)_(A1，A2，An互斥)对立事件的概率：P(A)_1P(A)_3条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P(B|A)来表示，其公式为_P(B|A)_(2)条件概率具有的性质：_0P(B|A)1_；如果B和C是两个互斥事件，则_P(BC|A)P(B|A)P(C|A)_4相互独立事件(1)对于事件A，B，若A的发生与B的发生互不影响，则称_事件A与事件B相互独立_(2)若A与B相互独立，则P(B|A)_P(B)_，P(AB)_P(A)P(B)_(3)若A与B相互独立，则A与B，A与B，A与B也都相互独立5独立重复试验与二项分布(1)两个相互独立事件A，B同时发生的概率为P(AB)P(A)P(B)，此公式可推广到n个相互独立事件，则P(A1A2An)P(A1)P(A2)P(An)(2)n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率为p，则P(Xk)Cpk(1p)nk，k0，1，2，n.称随机变量X服从二项分布，记作XB(n，p)，并称p为成功概率典例剖析【p106】考点1互斥事件、对立事件的概率计算设甲袋装有m个白球，n个黑球，乙袋装有m个黑球，n个白球，从甲、乙袋中各摸一球，设事件A：“两球同色”，事件B：“两球异色”，试比较P(A)与P(B)的大小【解析】基本事件总数为(mn)2，“两球同色”可分为“两球皆白”或“两球皆黑”，则P(A)，“两球异色”可分为“甲白乙黑”或“甲黑乙白”，则P(B)，P(B)P(A)0，P(A)P(B)，当且仅当“mn”时取等号【点评】理解互斥事件的含义是区别事件是否互斥的根本，在实际应用过程中若将复杂事件用分类的方法化归为若干个简单事件进行求解，实质上是化归为互斥事件的和求解同时应注意应用对立事件研究问题，对立事件应用的问题情境是正面情形类别较多，而反面情形类别相对较少考点2相互独立事件的概率计算甲、乙、丙三台机床各自独立地加工同一种零件，已知甲机床加工的零件是一等品而乙机床加工的零件不是一等品的概率是，乙机床加工的零件是一等品而丙机床加工的零件不是一等品的概率是，甲、丙两台机床加工的零件都是一等品的概率是.(1)分别求甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率；(2)从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，求至少有一个一等品的概率；【解析】(1)设A，B，C分别表示甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的事件，那么即解得P(A)，P(B)，P(C)，即甲、乙、丙三台机床各自加工的零件是一等品的概率分别为，.(2)设D为从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的事件，则P(D)1P()1(1P(A)(1P(B)(1P(C)1，即从甲、乙、丙三台机床加工的零件中各取一个检验，至少有一个一等品的概率是.【点评】相互独立事件同时发生的概率的2种求法(1)直接法：利用相互独立事件的概率乘法公式；(2)间接法：从对立事件入手计算考点3条件概率及其计算(1)抛掷一枚均匀的骰子所得的样本空间为1，2，3，4，5，6，令事件A2，3，5，B1，2，4，5，6，则P(A|B)等于()A.B.C.D.【解析】在事件B发生的条件下研究事件A，总共有5种结果，而事件AB只含有其中的2种，所以P(A|B).【答案】A(2)某种节能灯使用了800 h，还能继续使用的概率是0.8，使用了1 000 h还能继续使用的概率是0.5，则已经使用了800 h的节能灯，还能继续使用到1 000 h的概率是_【解析】设“节能灯使用了800 h还能继续使用”为事件A，“使用了1 000 h还能继续使用”为事件B.由题意知P(A)0.8，P(B)0.5.BA，ABB，于是P(B|A).【答案】【点评】条件概率的2种求法：(1)定义法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)，求P(B|A)(2)基本事件法当基本事件适合有限性和等可能性时，可借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A).考点4互斥事件、相互独立事件的综合问题甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)【解析】用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，则P(Ak)，P(Bk)，k1，2，3，4，5.(1)P(A)P(A1A2)P(B1A2A3)P(A1B2A3A4)P(A1)P(A2)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4).(2)X的可能取值为2，3，4，5.P(X2)P(A1A2)P(B1B2)P(A1)P(A2)P(B1)P(B2)，P(X3)P(B1A2A3)P(A1B2B3)P(B1)P(A2)P(A3)P(A1)P(B2)P(B3)，P(X4)P(A1B2A3A4)P(B1A2B3B4)P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)，P(X5)1P(X2)P(X3)P(X4).故X的分布列为X2345PE(X)2345.【点评】理解题意，领会事件的实质是将所求概率的事件分解为互斥事件和与相互独立事件积考点5n次独立重复试验与二项分布的概率计算某气象站天气预报的准确率为80%，计算(结果保留到小数点后第2位)：(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率【解析】令X表示5次预报中预报准确的次数，则XB，故概率P(Xk)C(k0，1，2，3，4，5)(1)“5次预报中恰有2次准确”的概率为P(X2)C100.05.(2)“5次预报中至少有2次准确”的概率为P(X2)1P(X0)P(X1)1CC10.000 320.006 40.99.(3)“5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确”的概率为C0.02.【点评】二项分布满足的3个条件(1)每次试验中，事件发生的概率是相同的(2)各次试验中的事件是相互独立的(3)每次试验中只有两种结果：事件要么发生，要么不发生方法总结【p107】1准确把握事件之间的运算关系是利用公式求概率的前提，而判断两个事件的关系是解题的关键，要把几个概念的要点分析清楚，可以通过实物和集合的知识从感性到理性来加深理解，要特别注意公式成立的前提条件，并结合正反实例对所学知识进行加深与巩固2注意从题目一些字眼，如“互相独立”、“互不影响”中分析各事件是否为独立事件3对于n次独立重复实验中事件有X次发生的概率计算，要果断使用公式解题，这样可以节约解题时间4注意一些事件如独立重复实验，若随机变量不是“事件发生的次数”，这时就不可盲目套用公式走进高考【p107】1(2018全国卷)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成员的支付方式相互独立设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX2.4，P(X4)P(X6)，则p()A0.7 B0.6 C0.4 D0.3【解析】DXnp(1p)，p0.4或者p0.6，P(X4)Cp4(1p)60.5，所以p0.6.【答案】B2(2016全国卷)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：上年度出险次数012345保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：一年内出险次数012345概率0.300.150.200.200.100.05(1)求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；(2)若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；(3)求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值【解析】(1)设续保人本年度的保费高于基本保费为事件A，则P(A)1P()1(0.300.15)0.55.(2)设续保人保费比基本保费高出60%为事件B，则P(B|A).(3)设本年度所交保费为随机变量X.X0.85aa1.25a1.5a1.75a2aP0.300.150.200.200.100.05平均保费E(X)0.85a0.300.15a1.25a0.201.5a0.201.75a0.102a0.050.255a0.15a0.25a0.3a0.175a0.1a1.23a，平均保费与基本保费比值为1.23.3(2017天津)从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为，.(1)记X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)若有2辆车独立地从甲地到乙地，求这2辆车共遇到1个红灯的概率【解析】(1)随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3.P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3).所以，随机变量X的分布列为X0123P随机变量X的数学期望E(X)0123.(2)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数，Z表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为P(YZ1)P(Y0，Z1)P(Y1，Z0)P(Y0)P(Z1)P(Y1)P(Z0).所以，这2辆车共遇到1个红灯的概率为.考点集训【p233】A组题1小王通过英语听力测试的概率是，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是()A.B.C.D.【解析】所求概率PC.【答案】A2学生李明上学要经过4个路口，前三个路口遇到红灯的概率均为，第四个路口遇到红灯的概率为，设在各个路口是否遇到红灯互不影响，则李明从家到学校恰好遇到一次红灯的概率为()A.B.C.D.【解析】分两种情况求解：前三个路口恰有一次红灯，且第四个路口为绿灯的概率为C；前三个路口都是绿灯，第四个路口为红灯的概率为.由互斥事件的概率加法公式可得所求概率为.【答案】A3某地区气象台统计，该地区下雨的概率是，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，则在下雨天里，刮风的概率为()A. B.C.D.【解析】因为在下雨天里，刮风的概率为既刮风又下雨的概率除以下雨的概率，所以在下雨天里，刮风的概率为.【答案】D4A、B两支篮球队进行比赛，约定先胜3局者获得比赛的胜利，比赛随即结束除第五局A队获胜的概率是外，其余每局比赛B队获胜的概率都是.假设各局比赛结果相互独立则A队以32获得比赛胜利的概率为()A.B.C.D.【解析】若“A队以32胜利”，则前四局A、B各胜两局，第五局A胜利，因为各局比赛结果相互独立，所以A队以32获得比赛胜利的概率为PC.【答案】A5抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件A两次的点数均为奇数，B两次的点数之和小于7，则P(B|A)()A.B.C.D.【解析】由题意得P(B|A)，两次的点数均为奇数且和小于7的情况有(1，1)，(1，3)，(1，5)，(3，1)，(3，3)，(5，1)，则P(AB)，P(A)，P(B|A) .【答案】D6设事件A在每次试验中发生的概率相同，在三次独立重复试验中，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为_【解析】假设事件A在每次试验中发生称试验成功，设每次试验成功的概率为p，由题意得，事件A发生的次数XB(3，p)，则有1(1p)3，得p，则事件A恰好发生一次的概率为C.【答案】7事件A，B，C相互独立，如果P(AB)，P(C)，P(AB)，则P(B)_，P(B)_【解析】由得P(A)，P(B)，P(B)P()P(B).【答案】；8某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在9.9，11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求的分布列【解析】(1)由直方图知，成绩在9.9，11.4)的频率为1(0.050.220.300.03)1.50.1.因为成绩在9.9，11.4)的频数是4，故抽取的总人数为40.又成绩在6.9米以上的为合格，所以这次铅球测试成绩合格的人数为400.051.54037.(2)的所有可能的取值为0，1，2，利用样本估计总体，从今年该市高中毕业男生中随机抽取一名成绩合格的概率为，成绩不合格的概率为1，可判断B.P(0)C，P(1)C，P(2)C，故所求分布列为X012PB组题1一个盒子里装有大小、形状、质地相同的12个球，其中黄球5个，蓝球4个，绿球3个现从盒子中随机取出两个球，记事件A为“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个黄球，一个绿球”，则P(B|A)()A.B.C.D.【解析】记事件为A“取出的两个球颜色不同”，事件B为“取出一个黄球，一个绿球”，则P(A)，P(AB)，P(B|A).【答案】D2位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P移动五次后位