高考数学总复习第十章直线与圆、圆锥曲线第70讲直线与圆锥曲线练习理新人教版.docx

第70讲直线与圆锥曲线夯实基础【p159】【学习目标】1掌握直线与圆锥曲线位置关系的判断方法2掌握直线被圆锥曲线所截弦长及中点弦问题的求解方法3能够综合应用方程思想及圆锥曲线的几何性质解决有关直线与圆锥曲线的综合问题4理解数形结合的思想【基础检测】1过原点的直线l与双曲线1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围是()A.B.C.D.【解析】双曲线的渐近线为yx和yx.由几何性质可得klb0)的离心率为，直线l与椭圆C交于A，B两点，且线段AB的中点为M(2，1)，则直线l的斜率为()A.B.C.D1【解析】由e得，a24b2，则椭圆方程为x24y24b2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x24，y1y22，把A，B的坐标代入椭圆方程得两式相减得：(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)，则，直线l的斜率为.【答案】C4直线l与椭圆C：y21相交于A，B两点，l与x轴，y轴分别相交于C，D两点如果C，D是线段AB的两个三等分点，则直线l的斜率为_【解析】由题意，设直线l的方程为ykxm(km0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则C，D(0，m)，联立可得(12k2)x24kmx2m220，16k28m280，由韦达定理可得x1x2，x1x2，C，D是线段AB的两个三等分点，线段AB的中点与线段CD的中点重合x1x20，解得k.【答案】【知识要点】1直线与圆锥曲线的位置关系判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程AxByC0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)0，消去y(或x)得到一个关于变量x(或y)的一元方程即，消去y后得ax2bxc0.(1)当a0时，设一元二次方程ax2bxc0的判别式为，则0直线和圆锥曲线C相交于不同的两点；0直线和圆锥曲线C相切于一点；2p2.所以符合条件的直线有两条【答案】B(2)设a，b是关于t的方程t2costsin0的两个不等实根，则过A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线1的公共点的个数为()A0B1C2D3【解析】关于t的方程t2costsin0的两个不等实根为0，tan(tan0)，则过A，B两点的直线方程为yxtan，双曲线1的渐近线方程为yxtan，所以直线yxtan与双曲线没有公共点故选A.【答案】A在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：1(ab0)的左焦点为F1(1，0)，且点P(0，1)在C1上(1)求椭圆C1的方程；(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y24x相切，求直线l的方程【解析】(1)根据椭圆的左焦点为F1(1，0)，知a2b21，又根据点P(0，1)在椭圆上，知b1，所以a，所以椭圆C1的方程为y21.(2)因为直线l与椭圆C1和抛物线C2都相切，所以其斜率存在且不为0，设直线l的方程为ykxm(k0)，代入椭圆方程得(kxm)21，即x22kmxm210，由题意可知此方程有唯一解，此时4k2m24(m21)0，即m22k21.把ykxm(k0)代入抛物线方程得y2ym0，由题意可知此方程有唯一解，此时1mk0，即mk1.联立得解得k2，所以或所以直线l的方程为yx或yx.【点评】研究直线与圆锥曲线位置关系的方法研究直线和圆锥曲线的位置关系，一般转化为研究其直线方程与圆锥曲线方程组成的方程组解的个数对于选择题、填空题，常充分利用几何条件，利用数形结合的方法求解考点2弦长问题已知椭圆1(ab0)的左、右焦点分别为F1，F2，直线l1：yx与椭圆相交于A、B两点，椭圆的上顶点E与焦点F2关于直线l1对称，且|EF2|2.斜率为1的直线l2与线段AB相交于点P，与椭圆相交于C，D两点(1)求椭圆的标准方程；(2)求四边形ACBD面积的取值范围【解析】(1)由顶点E与焦点F2关于直线l1：yx对称，知1，即bc，又|EF2|2，得b2c28，a28，所以椭圆方程为1.(2)设直线l2的方程为yxm，C(x1，y1)，D(x2，y2)，由得3x24mx2m280，所以由(1)知直线l1：yx，代入椭圆得A，B，得|AB|.由直线l2与线段AB相交于点P，得m，|CD|x1x2|，而kl21与kl11，知l2l1，SACBD|AB|CD|，由m，得m2，所以，四边形ACBD面积的取值范围是.考点3中点弦问题如图，椭圆C：1(ab0)的离心率为，点M(2，1)是椭圆内一点，过点M作两条斜率存在且互相垂直的动直线l1，l2，设l1与椭圆C相交于点A，B，l2与椭圆C相交于点D，E.当点M恰好为线段AB的中点时，|AB|.(1)求椭圆C的方程；(2)求的最小值【解析】(1)由题意设a24b2，即椭圆C：1，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)，E(x4，y4)由作差得(x1x2)(x1x2)4(y1y2)(y1y2)0，又M(2，1)，即x1x24，y1y22，AB斜率k.由消y得，x24x82b20.则|AB|x1x2|.解得b23，于是椭圆C的方程为：1.(2)设直线AB：yk(x2)1，由消y得，(14k2)x28k(2k1)x4(2k1)2120.于是x1x2，x1x2.()()(2x1，1y1)(2x2，y21)(2x4，1y4)(2x3，y31)，(2x1，1y1)(2x2，y21)(1k2)(2x1)(2x2)(1k2)42(x1x2)x1x2.同理可得(2x4，1y4)(2x3，y31).4(1k2)，当k1时取等号综上，的最小值为.【点评】处理中点弦问题常用的求解方法(1)点差法：即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1x2，y1y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率(2)根与系数的关系：即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后，由根与系数的关系求解方法总结【p160】1本讲研究的问题集中体现了解析几何的基本思想和方法，要求有较强的分析问题和解决问题的能力，有些问题涉及到代数、三角、几何等多方面的知识，因此在复习中要注意各学科之间的联系，提高综合利用知识解决问题的能力2直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组是否有实数解或实数解的个数问题，通过消元最终归结为讨论方程Ax2BxC0的实数解的个数问题应特别注意要分A0和A0的两种情况讨论，只有A0时，才可用判别式来确定解的个数当直线平行于抛物线的对称轴时，直线与抛物线只有一个公共点这些情况在解题中往往容易疏忽，要特别注意对于选择、填空题，用数形结合方法求解，往往快速简捷3斜率为k的直线被圆锥曲线截得弦AB的长|AB|x1x2|y1y2|(k0)，利用这个公式求弦长时，应注意应用韦达定理与判别式与焦点弦长有关的问题，要注意应用圆锥曲线的定义与弦长中点有关问题，注意利用点差法简化运算走进高考【p160】1(2018全国卷)设椭圆C：y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0)(1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.【解析】(1)由已知得F(1，0)，l的方程为x1.由已知可得，点A的坐标为或.所以AM的方程为yx或yx.(2)当l与x轴重合时，OMAOMB0.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂线平分线，所以OMAOMB.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x20)，如果直线yx与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为()A2B2C8D2【解析】根据已知条件得c，则点(，)在椭圆1(m0)上，1，可得m2.【答案】B4已知双曲线x21，过点P(1，1)作直线l与双曲线交于A，B两点，使点P是线段AB的中点，那么直线l的方程为()A2xy10B2xy30Cx2y10D不存在【解析】根据题意，设过点P(1，1)的直线方程为yk(x1)1或x1，当k存在时，有得(2k2)x2(2k22k)xk22k30(*)，当直线与双曲线有两个不同交点时，必有(2k22k)24(2k2)(k22k3)0，解得k，又方程(*)的两个不同的根是两交点A，B的横坐标，所以x1x2，又P(1，1)为线段AB的中点，所以1，即1，解得k2，不满足kb0)的焦距为2，过点.(1)求椭圆C的方程；(2)已知点P(2，1)，不经过原点的直线l与椭圆C相交于A，B两点，线段AB被直线OP平分，且0.求直线l的方程【解析】(1)设椭圆方程为1，代入点，得b1，故椭圆方程为y21.(2)由条件知OP：yx，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线l：ykxm(m0)，代入y21得(14k2)x28kmx4m240，0，x1x2，x1x2.由AB中点在直线OP上，k，此时x1x22m，x1x22m22，0，(x12)(x22)0，x1x2(x1x2)4(m1)20，解得m1，满足0，故所求直线方程为yx1.8已知椭圆C：1(ab0)(1)若椭圆的离心率为，且过右焦点垂直于长轴的弦长为3，求椭圆C的标准方程；(2)点P(m，0)为椭圆长轴上的一个动点，过点P作斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，试判断|PA|2|PB|2是否为定值，若为定值，则求出该定值；若不为定值，说明原因【解析】(1)e，即，a2c，不妨令椭圆方程为1，当xc时，得出c1，所以椭圆的方程为1.(2)令直线方程为y与椭圆交于A，B两点，联立方程得2b2x22b2mxb2m2a2b2，即2x22mxm2a20，x1x2m，x1x2，yya2b2为定值B组题1过抛物线y22px(p0)焦点F的直线l与抛物线交于B，C两点，l与抛物线的准线交于点A，且|AF|6，2，则|BC|等于()A.B6C.D8【解析】不妨设直线l的倾斜角为，其中00)与直线yx1相切，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是抛物线上两个动点，F为抛物线的焦点，且|AF|BF|8.(1)求p的值(2)线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点？若是，求出交点坐标；若不是，说明理由(3)求直线l的斜率的取值范围【解析】(1)因为抛物线y22px(p0)与直线yx1相切，所以由得y22py2p0(p0)有两个相等实根，所以4p28p4p(p2)0，解得p2.(2)抛物线y24x的准线x1.且|AF|BF|8，所以由定义得x1x228，则x1x26.设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C(m，0)由C在AB的垂直平分线上，从而|AC|BC|，即(x1m)2y(x2m)2y，所以(x1m)2(x2m)2yy，即(x1x22m)(x1x2)4x24x14(x1x2)因为x1x2，所以x1x22m4.又因为x1x26，所以m5.所以点C的坐标为(5，0)即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点(5，0)(3)设直线l的斜率为k1，由(2)设直线l方程为yk1(x5)设AB的中点M(x0，