电路习题.doc

第十章 含有耦合电感的电路 耦合电感是线性电路中一种重要的多端元件。分析含有耦合电感元件的电路问题，重点是掌握这类多端元件的特性，即耦合电感的电压不仅与本电感的电流有关，还与其它耦合电感的电流有关，这种情况类似于含有电流控制电压源的情况。 分析含有耦合电感的电路一般采用的方法有列方程分析和应用等效电路分析两类。考虑到耦合电感的特性，在分析中要注意以下特殊性： （1）耦合电感上的电压、电流关系（VCR）式与其同名端位置有关，与其上电压、电流参考方向有关。认识这一点是正确列写方程及正确进行去耦等效的关键。 （2）由于耦合电感上的电压是自感电压和互感电压之和，因此列方程分析这类电路时，如不做去耦等效，则多采用网孔法和回路法，不宜直接应用结点电压法。 （3）应用戴维宁定理（或诺顿定理）分析时，等效内阻抗应按含受控源电路的内阻抗求解法。但当负载与有源两端网络内部有耦合电感存在时，戴维宁定理（或诺顿定理）不便使用。101 试确定图示耦合线圈的同名端。题101图解: 耦合线圈的同名端是这样规定的：当电流分别从两线圈各自的某端同时流人（或流出）时，若两者产生的磁通相助，则这两端称为耦合线圈的同名端。 根据同名端的定义，图（a）中，假设电流，分别从端子1和端子2中流入，按右手螺旋法则可得，产生的磁通链（用实线表示）方向与产生的磁通链（用虚线表示）方向相反如图（a）所示，显然它们互相“削弱”，所以判定端子1与端子2为异名端，那么，同名端即为或。 对图（b），分析过程同图（a）。判断同名端为：，。102 两个具有耦合的线圈如图所示。（1）标出它们的同名端；（2）当图中开关S闭合时或闭合后再打开时，试根据毫伏表的偏转方向确定同名端。题10-2图 解：（1）根据同名端定义和两个线圈的绕向采用题101中的分析方法，判定同名端为（1，2），如题102图中所示。 （2）图示电路是测试耦合线圈同名端的实验线路。当开关S迅速闭合时，线圈1中有随时间增大的电流从电源正极流入线圈端子1，这时，则毫伏表的高电位端与端子1为同名端。当开关S闭合后再打开时，电流减小，毫伏表的低电位端与端子1为同名端。 注：从耦合线圈同名端的规定（见101题解）可以得出如下含意（1）耦合线圈的同名端只与两线圈的绕向及两线圈的相互位置有关，与线圈中电流参考方向如何假设无关；（2）当两电流均从同名端流入（或流出），两线圈中的磁通是相助的，两线圈上的自感压降和互感压降方向一致。正确理解同名端的含意，对正确判定耦合线圈的同名端和正确书写耦合线圈上的电压、电流关系式是至关重要的。103 若有电流，各从题101图（a）所示线圈的1端和2端流入，并设线圈1的电感，线圈2的电感，互感为。试求：（1）各线圈的磁通链；（2）端电压和；（3）耦合因素k。 解：如上面题101图（a）所示的耦合线圈，设电流和分别从各自线圈的1端和2端流入按右手螺旋法则有，产生的磁通链（用实线表示）方向和产生的磁通链（用虚线表示）方向如图（a）所示。 （1）耦合线圈中的磁通链是自感磁通链和互感磁通链的代数和，所以，根据题101图（a）所示的磁通链方向，有 （2）由上述可得端电压 （3）根据耦合因素k的定义，有 注：本题求解说明，当两电流从异名端流入时，两线圈中的磁通相消，自感压降与互感压降异号。104 能否使两个耦合线圈之间的耦合系数。 解：可以。因为两个线圈之间的耦合系数是反映两线圈耦合的松紧程度的。由的表达式可以看出：（1），若，说明两线圈之间没有耦合；若，称两线圈完全耦合。（2）的大小与线圈的结构、两线圈的相互位置以及周围磁介质有关。因此，把两个线圈靠得很紧或密绕在一起，如题解104图（a）所示，则，则；反之，若使两个线圈相距很远，或按图（b）所示放置，则值就可能很小，甚至接近于零。由此可见，改变或调整两个线圈的相互位置可以改变的大小，当电感和一定时，也就是改变了互感的大小。题解104图105 图示电路中，。试求从端子看进去的等效电感。解：题105图示的去耦等效电路或原边等效电路如题解105图所示。（1）由题解105图（a）所示的去耦等效电路（原电路同名端异侧联接），可求得从端子看进去的等效电感为 （2）由题解105图（b）所示的等效去耦等效电路（原电路同名端同侧联接），可求得从端子看进去的等效电感为题105图题解105图（3）原题105图（c）所示电路可有两种等效电路，一是如题解105图（c）所示的去耦等效电路；二是如题解105（e）所示的原边等效电路。分别求解如下：图（c）电路，有图（e）电路中，则等效电感为 （4）同理原题105图（d）所示电路也有两种等效电路，一是如题解105图（d）所示的去耦等效电路；二是同上面（3）中的题解105图（e）所示的原边等效电路，故求解结果相同。对图（d）去耦等效电路，求得从端子看进去得等效电感为注：耦合电感的去耦等效是分析含耦合电感电路的一种常用方法，它主要有：（1）耦合电感串联去耦两端等效和T型去耦多端等效；（2）用受控源表示耦合关系；（3）原边（或副边）等效电路法（一般用于空心变压器电路）。应用去耦等效方法时应当明确：（1）去耦等效是对耦合电感端子以外的电压、电流、功率的等效；（2）其等效电感参数不但与两耦合线圈的自感系数，和互感系数有关，而且与同名端的位置有关。如耦合电感串联去耦等效分顺接（两串接线圈异名端相联），有和反接（两串接线圈同名端相联），有两种情况，耦合电感的T型去耦等效分同名端同侧联接（如题105（b），(c)图）和异侧联接（如题105（a），（d）图）两种情况。106 求图示电路的输入阻抗。题106图解：题106图示电路的原边等效电路和去耦等效电路如题解106图所示。题解106图（1）题解106图（a）所示的原边等效电路中，故输入阻抗为 （2）由题解106图（b）所示的去耦等效电路，可得(3)题解106图（c）所示的串联去耦等效电路中，等效电感为：，且，故此电路处于并联谐振状态，则输入阻抗为。 107 图示电路中，。求：（1）开关s打开和闭合时的电流；（2）S闭合时各部分的复功率。题10-7图解：本题可用去耦等效电路计算。等效电路如题解107图所示，设，则题解10-7图（1）开关S打开时 开关S闭合时 （2）开关S闭合时电源发出的复功率为 因此时，线圈2被短路，其上的电压，则线圈1上的电压，故线圈2吸收的复功率为：线圈1吸收的复功率为：108 把两个线圈串联起来接到50Hz，220V的正弦电源上，顺接时得电流，吸收的功率为218.7W；反接时电流为7A。求互感M。解：按题意知：，则当两个线圈顺接时，等效电感为：等效电阻为 则总阻抗为 故 （1）而当两个线圈反接时，等效电感为： 。则总阻抗为 故 （2）用式（1）减去（2）可求得： 本题给出了一种测量计算两线圈互感系数的方法。109 电路如图所示，已知两个线圈的参数为：，,正弦电源的电压，。（1）试求两个线圈端电压，并作出电路的相量图；（2）证明两个耦合电感反接串联时不可能有；（3）电路中串联多大的电容可使电路发生串联谐振；（4）画出该电路的去耦等效电路。题10-9图解：图示电路中的两个耦合线圈为反接串联，所以其等效电感为：。令，故电流为 （1）两个线圈端电压和的参考方向如图所示，则 电路相量图如题解109图（a）所示。题解109图（2）只要证明两个耦合电感反接串联时，有即可。证明如下因为 ，故即 又根据耦合因数，即所以 ，或（3）因为串联谐振的条件是：,即所以 （4）该电路两个耦合线圈是反接串联，所以去耦等效电路如图（b）所示。 1010 把109中的两个线圈改为同侧并联接至相同的电源上。 （1）此时要用两个功率表分别测量两个线圈的功率，试画出它们的接线图，求出功率表的读数，并作必要的解释，画出电路的相量图；（2）求电路的等效阻抗。解：（1）按题意，可画出题解1010图（a）所示的电路接线图。功率表的读数即为每个线圈所吸收的有功功率P。令，设各之路电流相量如图所示，列出KVL方城为 代入参数值，得 解之题解1010图 两功率表的读数分别为 两功率表的读数中出现一负值，这是由于互感的相互作用，使得某一之路出现了电压与电流之间的相位差角大于，故会出现有功功率为负值的情况。电压相量图如图（b）所示。（2）电路的等效阻抗为： 另一求解等效阻抗的方法是将题解1010图电路中的互感消去，即变为T型去耦等效电路，然后再用阻抗的串、并联公式进行求解。这里从略。1011 图示电路中。求此串联电路的谐振频率。题1011图解：该电路的耦合电感为顺接串联，所以其等效电感为 故，此串联电路的谐振频率为1012 求图示一端口电路的戴维宁等效电路。已知，（正弦）。题1012图解：本题可用下述两种方法求解。解法一： 式中第一项是电流在中产生的互感电压，第二项为电流在电阻上的电压。而电流 若令，则可得 对于含有耦合电感的一端口，它的戴维宁等效阻抗的求法与具有受控源的电路完全一样。这里采用题解1012图（a）所示的方法，先将原一端口中的独立电压源以短路线代替，再在端口处置一电压源，用网孔电流法，其方程为 题解1012图解得电流且有，根据等效阻抗的定义，则有 该一端口的戴维宁等效电路如题解1012图（b）所示。解法二:用图（c）所示的去耦等效电路计算。令，则开路电压为 等效阻抗为 注：从本题的解法一中可以看出：（1）含耦合电感的电路具有含受控源电路的特点；（2）在耦合电感的电压中必须正确计入互感电压的作用。一般情况下，耦合电感的电压不仅与本电感的电流有关，还与其它耦合电感的电流有关，是电流的多元函数。所以，分析计算含有耦合电感电路时，应当注意到上面的两个特殊性。1013 图示电路中图示电路中，。求电流和电压。题1013图解法一： 用题解1013图（a）所示的原边等效电路求电流，其中，即副边电路处于谐振状态。故，反映阻抗为 所以，电流。题解1013图用图（b）所示的副边等效电路求电压，其中，则反映阻抗为 等效电源电压为 故，电压为 电压的另一解法：如题1013图所示，因为，所以，初级回路中的互感电压为 ，则故 解法二： 原电路的T型去耦等效电路如题解1013图（c）所示。应用网孔分析法，设网孔电流如图（c）中所标示。网孔方程为 由第2式得，代入第1式中，解得，故电压 1014 已知空心变压器如图（a）所示，原边的周期性电流源波形如图（b）所示（一个周期），副边的电压表读数（有效值）为25V。（1） 画出副边端电压的波形，并计算互感M；（2） 给出它的等效受控源（CCVS）电路；（3） 如果同名端弄错，对（1），（2）的结果有无影响？题1014图解：（1）由于图（a）中的空心变压器副边接理想电压表，视为开路，则其电流为零。副边端电压为互感电压，由其参考方向，可得 （1）由图（b）可写出的分段函数表达式为 （2）将式（2）代入到式（1）中，经微分运算得电压为 （3）根据有效值定义，知端电压的有效值为 又已知，则由式（3）和互感值，可画出副边端电压的波形如题解1014图（a）所示。（2）题1014图（a）的等效控源（CCVS）电路如题解1014图（b）所示。（3）如果同名端弄错，对互感值和电压表读数无影响；（1）中的和（2）结果中的受控源(CCVS)的方向将相反。题解1014图1015 图示电路中，正弦电源的电压，。1求各支路电流。题1015图解：本题可用两种方法求解。解法一：用耦合电感电路直接列方程求解。设各支路电流，和的参考方向如图所示，可以列出电路的KVL和KCL方程为代入参数值并消去，可得整理且解之，得题解1015解法二： 采用如题解1015图所示的去耦等效电路求解。设各支路电流，和参考方向如图所示。图中各阻抗计算如下； 故，可求得各支路电流为 1016 列出图示电路的回路电流方程。图1016图解：按图示电路中的回路电流参考方向，可列出该电路的回路电流方程。 （1） （2）也可先去耦合等效再列方程。注：在列含有耦合电感电路的回路电流方程时，必须注意两点：一是不能遗漏互感电压项；二是要正确判断互感电压的方向。为避免出错，可以像本题中那样，在图中标出各互感电压的参考方向。1017 图示电路中，。求：（1）电流；（2）用戴维宁定理求。题1017图解：（1）用题解1017图（a）所示的原边等效电路求电流，图（a）中， 故 题解1017图（2）用题解1017图（b）所示的副边等效电路求戴维宁等效电路。图（b）中，；则原边回路向副边回路的反映阻抗为： 。故图（c）所示的戴维宁等效电路的开路电压和等效内阻抗分别为 所以，由图（c）可求得电流为故 1018 图示电路中的理想变压器的变比为10:1。求电压。题1018图解：本题可用两种方法求解。解法一：设电流，和电压，参考方向如图所示，列出图示电路的KVL方程 （1） （2）根据理想变压器的VCR，有 （3） （4）将方程（3）和（4）代入到方程（1）中，得又由式（2）得：，代入到上式可得故 题解1018图解法二：题解1018图为理想变压器原边等效电路，图中等效电阻为 故 又根据理想变压器VCR中的电压方程可求得电压为注：理想变压器是在耦合电感元件基础上加进3个理想化条件而抽象出的一类多端元件。这3个理想化条件是：（1）全耦合，即耦合系数；（2）参数无穷大，即，但满足常数；（3）无损耗。在这3个条件下，可得理想变压器元件如下主要性能：（1）变电压。即元件的初、次级电压满足代数关