（江苏专用）高考数学一轮复习考点31数列的综合问题必刷题（含解析）.docx

考点31 数列的综合问题1（盐城市2019届高三年级第一学期期中模拟考试）已知数列满足：，.若成等差数列，则=_.【答案】1【解析】根据题意,数列an满足：a1=3, (n2)，则a2=2a13=233=3，a3=2a23=23+3=9，a4=2a3+3=293=15，其中a1、a3、a4为等差数列的前3项，又由ak1是等差数列,且k1=1，则有k2=3,k3=4，则k3k2=12（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试）在数列an中，若a41，a125，且任意连续三项的和都是15，则a2018_【答案】9【解析】由题意可得an+an+1+an+2=15，将n换为an+1+an+2+an+3=15，可得an+3=an，可得数列an是周期为3的数列故，由an+an+1+an+2=15，n取1可得，故，故答案为9.3（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟）设数列的前项的和为，且，若对于任意的都有恒成立，则实数的取值范围是_.【答案】【解析】由题设可得，则，不等式可化为，即，则问题转化为求的最大值和最小值。由于，所以的最大值和最小值分别为和，则，即，应填答案。点睛：解答本题的关键是求出数列的前项的和为， ，进而求出，将不等式等价转化为，即恒成立，从而将问题转化为求的最大值和最小值问题。4（江苏省南通市2018年高考数学模拟试题）设数列的前n项和为，已知，（）（1）求证：数列为等比数列；（2）若数列满足：， 求数列的通项公式； 是否存在正整数n，使得成立？若存在，求出所有n的值；若不存在，请说明理由【答案】（1）数列为等比数列，首项为1，公比为2（2），【解析】（1）解：由，得（），两式相减，得，即（） 因为，由，得，所以，所以对任意都成立，所以数列为等比数列，首项为1，公比为2 （2） 由（1）知，由，得， 即，即， 因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列 所以，所以 设，则，所以，两式相减，得 ，所以 由，得，即显然当时，上式成立，设（），即因为，所以数列单调递减，所以只有唯一解，所以存在唯一正整数，使得成立5（江苏省南京师大附中2018届高三高考考前模拟考试数学试题）已知等差数列an和等比数列bn均不是常数列，若a1b11，且a1，2a2，4a4成等比数列， 4b2，2b3，b4成等差数列（1）求an和bn的通项公式；（2）设m，n是正整数，若存在正整数i，j，k（ijk），使得ambj，amanbi，anbk成等差数列，求mn的最小值；（3）令cn，记cn的前n项和为Tn， 的前n项和为An若数列pn满足p1c1，且对n2, nN*，都有pnAncn，设pn的前n项和为Sn，求证：Sn44lnn【答案】（1）（2） 或 （3）见解析【解析】（1）设等差数列的公差为d（d0），等比数列在公比为q（q1），由题意得：解得d1，q2， 所以.（2）由ambj，amanbi，anbk成等差数列，有，即 ， 由于，且为正整数，所以，所以， 可得 ， 即，当1m2时，不等式不成立；当 或 时 成立； 当时，即，则有；所以的最小值为6，当且仅当，且 或 时取得 （3）由题意得： （1） （2）（1）（2）得 ， 求得 ，所以 ，设，则，所以 在上单调递增，有，可得 . 当，且N*时，有 ， 所以，可得，所以.6（江苏省姜堰、溧阳、前黄中学2018届高三4月联考）科学研究证实,二氧化碳等温空气体的排放(简称碳排放)对全球气候和生态环境产生了负面影响，环境部门对市每年的碳排放总量规定不能超过万吨,否则将采取紧急限排措施.已知市年的碳排放总量为万吨，通过技术改造和倡导低碳生活等措施，此后每年的碳排放量比上一年的碳排放总量减少.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加碳排放量万吨.（1）求市年的碳排放总量(用含的式子表示）；（2）若市永远不需要采取紧急限排措施,求的取值范围.【答案】(1) (2) （3）【解析】设2018年的碳排放总量为，2019年的碳排放总量为，（）由已知， ,=. （） ,.由已知有（1）当即时,显然满足题意；（2）当即时，由指数函数的性质可得: ，解得.综合得；（3）当即时，由指数函数的性质可得: ，解得,综合得.（13分）综上可得所求范围是.7（2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考高三）已知数列的首项为2，前项的和为，且（）（1）求的值；（2）设，求数列的通项公式；（3）是否存在正整数，使得为整数，若存在求出，若不存在说明理由.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）易得（2）由，得，所以所以，由-，得因为，所以 所以，即，即，所以数列是公差为1的等差数列 因为，所以数列的通项公式为 （3）由（2）知， ，所以，所以，所以数列是常数列 由，所以则， 注意到，且为12的约数，所以，由知8（2017-2018学年度第一学期江苏省常州北郊华罗庚江阴高中三校联考高三）已知数列、，其中， ，数列满足,，数列满足 （1）求数列、的通项公式；（2）是否存在自然数，使得对于任意有恒成立？若存在,求出的最小值；（3）若数列满足，求数列的前项和【答案】（1）；（2）存在， ；（3）【解析】（1）由，即 又，所以 . 当时，上式成立，因为，所以是首项为2，公比为2的等比数列，故. (2) 由（1）知，则.假设存在自然数，使得对于任意有恒成立，即恒成立，由，解得 所以存在自然数，使得对于任意有恒成立，此时， 的最小值为16. （3）当为奇数时， ；当为偶数时， . 因此 9已知常数0，设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，满足：a1 = 1，（）(1)若 = 0，求数列an的通项公式；(2)若对一切恒成立，求实数的取值范围【答案】（I）（II）【解析】（I）时，又， ， ， （II） ， 则，（）相加，得则（）上式对也成立， （） （） ，得，即 ， ， 对一切恒成立， 对一切恒成立即对一切恒成立记，则当时，；当时，； 是一切中的最大项综上所述，的取值范围是10设数列的前n项和为，已知，数列是公差为的等差数列，nN*.（1）求的值；（2）求数列的通项公式；（3）求证：.【答案】（1）d4；（2）；（3）见解析.【解析】 （1）3分（2）因为数列是等差数列，即当时，-，得:，即则 以上各式相乘得：因为，8分（3）则因为当时，所以上式等号不成立.则11已知正项等比数列的前项和为，且，.（1）求数列的通项公式；（2）令，记数列的前项和为，求及的最大值.【答案】（1）（2）；最大值为.【解析】（1）设数列的公比为，若，有，而，故，则，解得.故数列的通项公式为.（2）由，则.由二次函数的对称轴为，故当或15时有最大值，其最大值为.12（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）在数列中，且对任意，成等差数列，其公差为.（1）若，求的值；（2）若，证明成等比数列（）；（3）若对任意，成等比数列，其公比为，设，证明数列是等差数列.【答案】（1），.（2）见证明；（3）见证明；【解析】（1）因为对任意，成等差数列，所以当时，成等差数列且公差为2，故，故.（2）证明：由题设，可得，.所以，由得，从而，所以.于是，所以当时，对任意的，成等比数列.（3）由成等差数列，及成等比数列，可得，所以，当时，可知，从而，即，所以数列是公差为1的等差数列.13（江苏省南通市2017年高考数学全真模拟试题一）已知数列的前项和为，通项公式为，且.（1）计算的值；（2）比较与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论.【答案】（1）见解析;（2）见解析.【解析】（1）根据题意，由通项公式、前项和定义以及函数的解析式进行运算即可；（2）由（1）不难发现， ，而，由此可作假设当，再根据题意，利用数学归纳法进行证明即可.试题解析：（1），.（2）由（1）知， .下面用数学归纳法证明：当时， .（i）由（1）知当时， .（ii）假设当时， ，即，那么 . 所以当时， 也成立.因此，当时， .综上，当和时， ；当时， .14（江苏省南京师范大学附属中学2017届高三高考模拟）记等差数列的前项和为.（1）求证：数列是等差数列； （2）若 ，对任意，均有是公差为的等差数列，求使为整数的正整数的取值集合；（3）记，求证： .【答案】（1）见解析（2）（3）见解析【解析】【试题分析】（1）先设等差数列的公差为，将，进而得到当时， ，依据定义可知数列是等差数列；（2）依据题设条件“任意的都是公差为，的等差数列”求出，然后建立等式，分析探求出满足条件，当时不满足，进而求出正整数的取值集合为；（3）先依据题设将问题转化为证明不等式。证明时运用了做差比较的方法进行推证，进而证得 ，使得不等式或获证。解：（1）设等差数列的公差为，则，从而，所以当时， ，即数列是等差数列. （2）因为的任意的都是公差为，的等差数列，所以是公差为，的等差数列，又，所以，所以，显然， 满足条件，当时，因为，所以，所以不是整数，综上所述，正整数的取值集合为.（3）设等差数列的公差为，则，所以，即数列是公比大于，首项大于的等比数列，记公比为.以下证明： ，其中为正整数，且，因为，所以，所以，当时， ，当时，因为为减函数， ，所以，所以，综上， ，其中 ，即.15（江苏省南京市2018届高三数学上学期期初学情调研）已知数列an的各项均为正数，记数列an的前n项和为Sn，数列an2的前n项和为Tn，且3TnSn22Sn，nN*（）求a1的值； （）求数列an的通项公式；（）若k，tN*，且S1，SkS1，StSk成等比数列，求k和t的值【答案】（1）1（2）an2n1，nN*(3) k2，t3【解析】试题分析：（1）由，得，解方程即可得结果；（2）因为，两式相减可得再得，再相减可得是等差数列，从而可得结果；(3)由(2)可知，根据成等比数列可得，只需证明以上等式无整数解即可.试题解析：（1）由3T1S122S1，得3a12a122a1，即a12a10因为a10，所以a11 （2）因为3TnSn22Sn， 所以3Tn1Sn122Sn1，得3an12Sn12Sn22an1因为an10，所以3an1Sn1Sn2， 所以3an2=Sn2Sn12， ，得3an23an1an2an1，即an22an1， 所以当n2时，2 又由3T2S222S2，得3(1a22)(1a2)22(1a2)，即a222a20因为a20，所以a22，所以2，所以对nN*，都有2成立， 所以数列an的通项公式为an2n1，nN* (3)由(2)可知Sn2n1因为S1，SkS1，StSk成等比数列，所以(SkS1)2S1(StSk)，即(2k2)22t2k， 所以2t(2k)232k4，即2t2(2k1)232k21(*)由于SkS10，所以k1，即k2当k2时，2t8，得t3 当k3时，由(*)，得(2k1)232k21为奇数，所以t20，即t2，代入(*)得22k232k20，即2k3，此时k无正整数解综上，k2，t3 16（江苏省镇江市2019届高三考前模拟三模）对于无穷数列，若，则称是的“收缩数列”.其中，分别表示中的最大数和最小数.已知为无穷数列，其前项和为，数列是的“收缩数列”.（1）若，求的前项和；（2）证明：的“收缩数列”仍是；（3）若且，求所有满足该条件的.【答案】（1）；（2）详见解析；（3），.【解析】（1）由可得为递增数列由通项公式可知为等差数列的前项和为：（2），又的“收