信号与系统第三版新增习题解析.pdf

欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 信号与系统（第三版）新增习题解析信号与系统（第三版）新增习题解析信号与系统（第三版）新增习题解析信号与系统（第三版）新增习题解析 BYBYBYBY梁先华梁先华梁先华梁先华 说在前面的话说在前面的话说在前面的话说在前面的话： 之前我向大家推荐使用信号与系统第三版之前我向大家推荐使用信号与系统第三版之前我向大家推荐使用信号与系统第三版之前我向大家推荐使用信号与系统第三版， 结果结果结果结果 发现大家买完书后发现大家买完书后发现大家买完书后发现大家买完书后， 对于习题解答很是期待对于习题解答很是期待对于习题解答很是期待对于习题解答很是期待， 而这个文档就是应大家而这个文档就是应大家而这个文档就是应大家而这个文档就是应大家 之所求而写的之所求而写的之所求而写的之所求而写的。 同时也欢迎大家去慧易升考研网和我交流信号与系统同时也欢迎大家去慧易升考研网和我交流信号与系统同时也欢迎大家去慧易升考研网和我交流信号与系统同时也欢迎大家去慧易升考研网和我交流信号与系统 问题。问题。问题。问题。 第一张最后一题：1-24 证明：( )t函数的尺度运算特性满足 1 ()( )att a =。(提示：利用图 1-28，当以t为自变量时脉冲底 宽为，而改以at为自变量时底宽变成 a ，借此关系以及偶 函数特性即可求出以上结果。) 解：首先我们t为横轴，脉冲底宽为，做出( )t的三角逼近 图形出来： 再以at为横轴，做相同的图形，时底宽变成 a ，但是要保证 三角形的高度保持不变，则有，三角形的面积为原来的 1 a 倍， 即从作用效果上来讲， 1 ()( )att a =，从而得证。 通信系统的多径失真的消除方法是本书增加的一个非常重 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 要的习题系列，其特点是对于同一个主题，使用卷积分析， 拉普拉斯变换法，频域分析法，离散反卷积法等等各种方法 来处理，层层深入，次次递进。这在实际中也是非常热门的 研究方向。 1第二章的2.9节主要利用卷积分析通信系统的多径失真的 消除方法，使用直观的屡试法，物理意义明确，极具工程 思想。 （第二章习题第 22 题，第 23 题是新增加题目，值 得注意） 22 题：如果把施加于系统的激励信号( )e t按题图 2-22 那样分解为许多阶跃信号的叠加，设阶跃响应为( )g t，( )e t 的初始值为(0 )e + ，在 1 t时刻阶跃信号的幅度为 1 ( )e t。 试写出以阶跃响应的叠加取和而得到的系统响应近 似式；证明，当取 1 0t的极限时，响应( )r t的表示式为 0 ( ) ( )(0 ) ( )() tde r teg tg td d + + =+ 此式称为杜阿美尔积分，参看第一章式(1-63)以及 2.7 节 (一)。 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 解： 把施加于系统的激励信号( )e t分解为许多阶跃信号的叠 加，设阶跃响应为( )g t，( )e t的初始值为(0 )e + ，在 1 t时刻阶 跃信号的幅度为 1 ( )e t ，则有 1 0 ( )(0 ) ( )lim ()( ) () iii i i e teu te te tu tt + + = =+ 1 0 ( ) (0 ) ( )lim ()( ) () iii i i H e tH eu te te tu tt + + = =+ ，由于本书的系统默 认为线性时不变的，所以： 1 0 ( ) (0 ) ( )lim ()( ) () iii i i H e tH eu te te tu tt + + = =+ 1 0 (0 ) ( )lim ()( ) () iii i i H eu tHe te tu tt + + = =+ 1 0 (0 ) ( )lim ()( ) () iii i i eg tH e te tH u tt + + = =+ 1 0 (0 ) ( )lim ()( ) () iii i i eg te te tg tt + + = =+ 1 0 ()( ) (0 ) ( )lim() ii ii i i i e te t eg tg ttt t + + + = =+ 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 0 ( ) (0 ) ( )() tde eg tg td d + + =+ （令 i t等于） 23 题：LTI 系统的冲激响应为( )h t，激励信号是( )e t， 响应是( )r t。试证明此系统可以用题图 2-23 所示的方框图 近似模拟。 解:图示系统的数学描述如下 ( )( )(0)()( )(2 )(2 )(3 )(3 ).()()r te t The tT Th Te tT ThTe tT Th Te tnT Th nT+ 0 ()() n i e tiT Th iT = 0 00 ( )lim()()lim()() nn Tn ii r te tiT Th iTe tiT Th iT = = 0 () ( )e thd + = ( )* ( )e th t= 得证。 2第四章的习题 51 利用 s 域系统函数的概念来分析这一问 题，很容易可以得出一个简便直观的结果，主要是大家要 记住一个很重要的结论： 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 0 1 () 1 sn s n e e + = = + 的拉普拉斯反变换为 0 ( 1)(1) n n tn + = ，还有就 是注意在设计具有实际意义的某个系统的逆系统的时候 一定要记住，其逆系统一定是要可实现的（因果稳定） 。 4-51在 2.9 节利用时域卷积方法分析了通信系统 多径失真的消除原理，在此 借助拉氏变换方法研究同一 个问题。从以下分析可以看出利用系统函数( )H s的概念可 以比较直观、简便地求得同样的结果。按 2.9 节式(2-77) 已知( )( )()r te tae tT=+ (1)对上式取拉氏变换，求回波系统的系统函数( )H s； (2)令( )( )1 i H s H s=，设计一个逆系统，先求它的系统函数 ( ) i H s； (3)再取( ) i H s的逆变换得到此逆系统的冲激响应( ) i h t， 它应 当与第二章 2.9 节的结果一致。 解：(1)( )( )()r te tae tT=+ ，对上式做 L 变换得 ( ) ( )( )( )( )1 ( ) TsTs R s R sE saE s eH sae E s =+= + (2) 令 1 ( )( )1( ) 1 ii Ts H s H sH s ae = = + 由于 00 1 () 1 TsnnT ns Ts nn aea e ae + = = + (3) 1 00 () nT nsn nn La eatnT + = = 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 3第五章的低27题继续讨论通信系统消除多径失真的原理， 不过，现在用的是频域分析法，侧重于对发射信号和接收 信号频谱的分析，物理意义会更加明确。 5-27 本题继续讨论通信系统消除多径失真的原理。 在 2.9节和第四章习题4-51已经分别采用时域和s域研究这 个问题，此处，再从频域导出相同的结果。仍引用式 (2-77)，已知( )( )()r te tae tT=+ (1)对上式取傅里叶变换，求回波系统的系统函数()H j； (2)令()()1 i H jHj=，设计一个逆系统，先求它的系统函数 () i Hj； (3)再取() i Hj的逆变换得到此逆系统的冲激响应( ) i h t，它应 当与前两种方法求得的结果完全一致。 解：(1)( )( )()r te tae tT=+ ，对上式做 F 变换得 () ()()()()1 () TjTj R j R jE jaE jeH jae E j =+= + (2) 令 1 ()()1() 1 ii Tj H jHjHj ae = = + 由于 00 1 () 1 TjnnT nj Tj nn aea e ae + = = + (3) 1 00 () nT njn nn Fa eatnT + = = 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 还需指出，在第七章 7.7 节的最后例 7-17 我们将再次引用 第四种方法解卷积之方法研究这个问题，当然，可以求 得同样的结果。很明显，本课程的一个重要特色是对于同一 问题可有多种求解方法。我们相信，读者一定能够在这种反 复思考与研讨之中感受无穷的乐趣! 4上册379页第六章关于匹配滤波器的例题给出了一个匹配 去噪的工程模拟的讨论，看看就可以了。390 页第 25 题 是一个全新的证明题目，深入的考察了匹配滤波器和傅里 叶变换的相关知识，解答方式多样。 6-25待传输标准信号表达式为 ( )cos()sin() ( )() cc e tttu tu tT=+，其中 8 c T =，试证明以下 结论： (1)相应的匹配滤波器之冲激响应 ( )cos()sin() ( )() cc h tttu tu tT= (2)在匹配条件下加入( )e t，可求得输出信号 ( )cos() ( )()(2 )cos() ()(2 ) cc r ttt u tu tTtTt u tTu tT= (提示： 本题有多种求证方法， 如果借助傅里叶变换求证建 议参看第三章习题 3-33.） 解：由在加性白噪声背景下，对( ) i s t实现匹配滤波器的系统 冲激响应为：( )() * 0i h tkstt=，( )( )( ) 0 j*t i HF h tkSe = 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 所以( )()()() * 00 h tkettke ttke Tt=， ( )()cos()sin() ()() cc h tke TtTtTtu Ttu TtT=+ 88 cos()sin() ()() cc cc ttu Ttut =+ cos(8)sin(8) ()( ) cc ttu Ttu t=+ cos()sin() ( )() cc ttu tu tT= （2）由第二问的结论可知： ( )( )* ( )cos()sin() ( )()*cos()sin() ( )() cccc r te th tttu tu tTttu tu tT=+ cos() ( )()(2 )cos() ()(2 ) cc tt u tu tTtTt u tTu tT= ( )( )* ( )( )( )( )r te th tR sE s H s= ( ) ( )cos()sin() ( )() cc E sL e tLttu tu tT=+ cos() ( )sin() ( )cos() ()sin() () cccc Lt u tt u tt u tTt u tT=+ cos() ( )sin() ( )cos(8 ) ()sin(8 ) () cccc Lt u tt u ttu tTtu tT=+ 88 cos() ( )sin() ( )cos() ()sin() () cccc cc Lt u tt u ttu tTtu tT =+ cos() ( )sin() ( )cos() ()sin() () cccc Lt u tt u ttT u tTtT u tT=+ 22222222 TsTs cc cccc ss ee ssss =+ + 2222 ()(1) Ts c cc s e ss =+ + 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 ( ) ( )cos()sin() ( )() cc H sL h tLttu tu tT= 2222 ( )()(1) Ts c cc s H se ss = + 所以 22 2 222222 ( )(1) ()() Ts c cc s H se ss = + 22 2 222 (12) () TsTs c c s ee s =+ + 由于 22 1 222 cos () c c c s Ltt s = + ，所以 22 12 222 (12) () TsTs c c s Lee s + + cos( )2()cos() ()(2 )cos(2 ) (2 ) ccc ttu ttTtT u tTtTtT u tT= 88 cos( )2()cos() ()(2 )cos(2) (2 ) ccc cc ttu ttTtu tTtTtu tT = cos( )2()cos(8 ) ()(2 )cos(16 ) (2 ) ccc ttu ttTtu tTtTtu tT= cos( )()cos() ()(2 )cos() (2 ) ccc ttu ttTt u tTtTt u tT=+ (2 )cos() ()cos() () cc tTt u tTTt u tT cos( )cos() ()cos() ()(2 )cos() (2 ) cccc ttu ttt u tTTt u tTtTt u tT=+ (2 )cos() ()cos() () cc tTt u tTTt u tT cos( )cos() ()(2 )cos() (2 )(2 )cos() () cccc ttu ttt u tTtTt u tTtTt u tT=+ cos() ( )()(2 )cos() ()(2 ) cc tt u tu tTtTt u tTu tT= 我们来复习一下匹配滤波器的知识： 在加性白噪声背景下，使瞬时信噪比最大的线性滤波器 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 称为匹配滤波器。 匹配滤波器的建议模型如下： 定义： ( )( ) ( ) | 0 2 2 00 00 22 00 t t stst E nt = = 为 0 t时刻的瞬时峰值信噪比。 其中：( )( )( )( ) 0 22* 2 0000 2 1 0limd T Tn T E ntRnt ntt T = ( )( ) 0 000 |t tstst = =，( ) 2 00 st为( ) 0 st在 0 tt=时刻的瞬时 功率。 在加性白噪声背景下，对( ) i s t实现匹配滤波器的 系统冲激响应为： ( )() * 0i h tkstt= ( )( )( ) 0 j*t i HF h tkSe = 其中，0k， 0 t为观测时刻，( )( ) ii SF s t=。 证明：( )()() 0 2* 0jjd n RNHHf + = () 2 jdNHf + = 常数 ( )()( ) 0 j 0 jd t oi stHSef + =（傅立叶反变换） ( )()( ) 0 2 2 j 0 jd t oi stHSef + = ()( ) 0 2 j* j, t i HSe = 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 ()( ) 0 2 2 j* 2 2 j t i HSe （C-S 不等 式） ()( ) 22 * 1 jdd 2 i HfS + = ( ) ( ) ( ) 2 2 0 max 2 00 1 d 2 o i st S E ntN + = 因为( )( ) * ii SS= 等号发生在()( ) 0 j j t i HkSe =时，取最大值 max 。 ( )( )() 1* 0i h tFHkstt = 5第七章的第七节主要介绍了离散系统的反卷积，给出了具 体的算法迭代公式逐一求出，并利用离散系统的反卷 积研究多径失真的消除，并比较了离散卷积和连续卷积在 这方面的优劣。下册第 43 页最后一题是解卷积的具体生 动的实例，希望大家多体会。 7-35 某地质勘探设备给出的发射信号( ) 1 ( )(1) 2 x nnn=+ ， 接收回波信号 ( ) 1 ( )( ) 2 n y nu n= ， 若地层反射特性的系统函数以 ( )h t表示，且满足( )( )* ( )y nh nx n=。 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 （1） 求( )h t （2） 以延时，相加，倍乘为基本单位，试画出系统方框 图。 解答：( )( )( )* ( )() ( ) n y nh nx ny nh nm x m = = 由 于( )() ( ) n y nh nm x m = = ， 当 时1n ，( )0y n=， 所 以 ( )1,0nh n = ( )( )0(0) ( )0(0) (0)( 1) (1) n yhm x myhxhx = =+ ( )0(0) (0)1(0)1yhxh= = ( )( )1(1) ( )1(1) (0)(0) (1) n yhm x myhxhx = =+ ( ) 1 1(1) (0)(0) (1)(1)0 2 yhxhxh=+= ( )( ) 11 2(2) ( )2(2) (0)(1) (1)(0) (2)(2)0(2) 44 n yhm x myhxhxhxhh = =+=+= 进而可求得(3)0h=， 1 (4). 16 h= 综上所述， 111 ( )( )() ( ) 222 nn h nu n=+ 系统框图如下： 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 6第八章第十一节主要讲了 Z 变换的应用实例：数字式自激 振荡器和冲击响应不变法。第 116 页的 35 题是一个新的 题目，是数字式自激振荡器的具体例子。 8-35 求题图 8-35 所示系统的差分方程、 系统函数及单位 样值响应。并大致画出系统函数 H（z）的零极点图及系统 的幅度响应。 解： 22 ( )(1)cos()2 (1)cos()(2)( )x nx ny ny ny n NN += 整理得： 22 ( )(1)cos()( )2 (1)cos()(2)x nx ny ny ny n NN =+ 在求系统函数的时候，可以令系统处于初始松弛的条件 下： 对上式两端做 Z 变换，可得 1 112 12 2 1cos() 22( ) ( )1cos()( )12cos()( ) 2 ( ) 12cos() z Y z N X zzY zzzH z NNX z zz N =+= + 对 1 12 2 1cos() ( ) 2 12cos() z N H z zz N = + 两端做 Z 反变换即可得出 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 ( )h n且 2 ( )cos( )h nnu n N =。 因为系统函数 1 1212 12 22 1cos()(cos) 2 ( )0,cos, 2 ()() 1 2cos() jj jj zz z NN H zzzpepe zezeN zz N = + 由此可得 系统函数零极点图系统函数零极点图系统函数零极点图系统函数零极点图 用几何法作出系统函数的幅度响应为： 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 系统的幅度响应略图 7第九章第八节主要介绍了 OFDM 通信系统之实现，其实这 一章的 OFDM 通信系统之实现也是以多径失真的消除这一 主题为中心来展开的，并且指出，第二到第七章的关于消 除多径失真的讨论其实就是均衡，详细介绍了正交频分复 用的原理，这一节十分重要，很有可能出大题，切记切记 仔细看。 问题：OFDM 之原理？OFDM 和 DFT 的关系式怎样的？ 解答：该技术的本质思想是：将信道分成若干个正交子信 道，将高速数据信号转换成并行的低速子数据流，调制到 每个子信道进行传输。每个子载波传送的数据率只有原来 单载波系统的 1 N ，也即每个子载波承载的码元周期是原来 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 单载波系统的 N 倍， 这就使得每个子载波传输码元之周期 远远大于信道之时延扩展，因此可以减轻由无线信道的多 径时延扩展所产生的时问弥散性对系统造成的影响；并且 还可以在 OFDM 符号之间插入保护间隔，令保护间隔大于 无线信道的最大时延扩展，这样就可以最大限度地消除由 于多径效应带来的符号间干扰。 设)(tdn为第 n 个数据， t s为 OFDM 系统中经调制后的信号。 则: 1 2 0 ( )( ) n N jf t n n s td t e = = 其中 n f为第 n 个载波频率, 令初始频率0 0 =f，且 11 sN f NTT =为码元间隔。一个 0FDM 信号包含 N 个采样点， N 或者称为子信道的个数，则 OFDM 的采样信号为： 1 2/ 0 () n jkn N sn N s kTd e = = DFT、IDFT 的定义比较，可以看出，若把 ( )n t d看成 )(n d频域 采样信号， s kT S看成为对应的时域信号之抽样。若子载波间隔 11 sN f NTT =，则两式等价，由此可知，若选择子载波频率间 隔 11 sN f NTT =，则 OFDM 信号不但保持了正交性，而且可以用 IDFT 来定义即： 欢 迎 访 问 慧 易 升 考 研 网 ： 下 载 更 多 清 华 大 学 信 号 与 系 统 考 研 资 料 IDFT： 1 2/ 0 ( ) n jkn N n N s kd e = = 8下册253页第十章第七节有一段对IIR和FIR滤波器的叙 述，可以看一看，仔细读一读。第十章习题 26 是新增加 的，前半题不难，关键是对后半题的解释。 10-26 试求汉宁窗窗函数的傅里叶变换，并说明旁瓣电平 降低的原因。 解答： 汉宁窗又称升余弦窗，其时域表达式为（暂时讨 论连续情况） 1 11 (cos) ( )22 0 t tT w tTT tT + = 相应的窗谱为 sin1 sin()sin