大学物理习题解答10-17章.pdf

大学物理学习题解答 10-1 习题 10 10-1 两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有相同电量，静止 时两线夹角为2?，如题10-1图所示设小球的半径和线的质量都可以忽略不计，求每个小 球所带的电量 解： 如题 10-1 图示 2 2 0 cos 1 sin 4(2 sin ) e Tmg q TF l 解得 0 2 sin4tanqlmg 10-2 在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和 -q 则这两板之间有相互作用力f， 有人说f= 2 2 0 4 q d ， 又有人说， 因为f=qE， 0 q E S ， 所以f= 2 0 q S 试问这两种说法对吗?为什么? f到底应等于多少? 解： 题中的两种说法均不对第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种 说法把合场强 0 q E S 看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的正确解答应 为一个板产生的电场为： 1 0 2 q E S ，另一板受它的作用力 2 1 0 2 q FqE S ，这是两板间 相互作用的电场力 10-3 在 真 空 中 一 长 为10cml 的 细 杆 上 均 匀 分 布 着 电 荷 ， 其 电 荷 线 密 度 5 1.0 10 C/m ，在杆的延长线上，距杆的一端距离10cmd 的一点上，有一点电荷 5 0 2.0 10 Cq 试求该点电荷所受的电场力。 解：选杆的左端为坐标原点，x 轴沿杆的方向 在 x 处取一电荷元ddqx，它在 点电荷所在处产生场强为： 2 0 d d 4 x E dx 。整个杆上电荷在该点的场强为： 2 0 00 d 44 l xl E d dl dx 点电荷 0 q所受的电场力大小为： 0 0 0.90N 4 ql F d dl 方向：沿 x 轴负向 题 10-1 图 第 10 章 静电场 10-2 10-4 一个细玻璃棒被弯成半径为R的半圆形，沿其上半部分均匀分布有电荷Q，沿 其下半部分均匀分布有电荷Q，如图所示试求圆心 O 处的电场强度。 解：把所有电荷都当作正电荷处理. 在 处取微元电荷： 2 ddd Q ql ，它在 O 处产生场强 222 00 d dd 42 qQ E RR 按 角变化，将 dE 分解成, x y轴两个分量： 22 0 ddsinsind 2 x Q EE R 22 0 ddcoscosd 2 y Q EE R 对各分量分别积分，积分时考虑到一半是负电荷，得 /2 22 00/2 sindsind0 2 x Q E R /2 2222 000/2 cosdcosd 2 y QQ E RR 22 0 xy Q EE R Eijj 10-5 半径为 1 R和 2 R( 2 R 1 R)的两无限长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和 ，试求：(1)r 1 R；(2) 1 Rr 2 R；(3) r 2 R处各点的场强 解： 取同轴圆柱形高斯面，侧面积2Srl，由高斯定理： 0 d S q ES ，则 d2 S Erl ES 0 q (1) 1 rR， 0,0qE (2) 12 RrR ，ql ，所以， 0 2 E r ，方向：沿径向向外。 (3) 2 rR ，0q ，所以，0E 10-6 两个无限大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为 1 和 2 ，试求空间各 处场强 解： 如图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为 1 与 2 ， d l q0 q0 O x dx d+ x l d x 题 10-3 图 题 10-4 图 dE 大学物理学习题解答 10-3 两面间， 12 0 1 () 2 En 1 面外， 12 0 1 () 2 En 2 面外， 12 0 1 () 2 En 其中：n为垂直于两平面由 1 面指为 2 面方向的单位矢量 10-7 半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为，若在球内挖去一块半径为r R的小球体，如图所示试求：两球心O与 O 点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀 的 解： 将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见图(a) (1) 球在O点产生电场 1 0 O E，球在O点产生电场 3 2 3 0 4 3 4d O r OO E ， 故O 点电场 3 12 3 0 4 3 4d OO r OO EEE 3 3 0 3 d r OO (2)球在 O 产生电场 1O E 3 3 00 4 d 3 4d3 OOOO ，球在 O 产生电场 2 0 O E，故 O 点的电场 12OO EEE 0 3 OO (3)设空腔任一点P相对 O 的位矢为 r ，相对O点位矢为r ，如图(b)，则球在 P 点产生的电场为 PO E 0 3 r ；球在 P 点产生电场 PO E 0 3 r 。所以 P 点的场强 000 () 333 PPOPO OO d EEErr 可见，空腔内是均匀电场。 10-8 (1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的 一个面的电通量；(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上，这时穿过立方体各 面的电通量是多少?*(3)如题10-8(3)图所示， 在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面q在 该平面轴线上的A点处，求：通过圆平面的电通量(arctan R x ) 题 10-7 图 题 10-6 图 第 10 章 静电场 10-4 解： (1)由高斯定理： 00 d S q q ES 当q在立方体中心时，立方体六个面，每个面上电通量相等。所以各面电通量 0 6 e q (2)电荷在顶点时，将立方体延伸为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心， 则边长2a的正方形上电通量： 0 6 e q 对于边长a的正方形，如果它不包含q所在的顶点，则 0 24 e q ；如果它包含q所在 顶点则0 e (3)因为通过半径为R的圆平面的电通量等于通过半径为 22 Rx的球冠面的电通 量，而球冠面积* 22 22 2()1 x SRx Rx 所以，电通量： 22 0 4() qS Rx 0 2 q 22 1 x Rx *关于球冠面积的计算：见题 10-8 解图(c)，半径为r的球冠面积 0 2 sindSrr 2 0 2sindr 2 2(1 cos)r 10-9 边长为 b 的立方盒子的六个面，分别平行于xOy、yOz和xOz平面盒子的一 角在坐标原点处 在此区域有一静电场， 场强为200300Eij .试求穿过各面的电通量。 解：由题意知200N/C,300N/C,0 xyz EEE 平行于xOy平面的两个面的电场强度通量： 1 0 z E S E S 平行于yOz平面的两个面的电场强度通量 22 2 200N m /C x E Sb E S， 其中“” 、 “”分别对应于右侧和左侧平面的电场强度通量。 平行于xOz平面的两个面的电场强度通量 22 2 300N m /C y E Sb E S，其 中“” 、 “”分别对应于上和下平面的电场强度通量。 10-10 在点电荷q的电场中， 选取以q为中心、R为半径的球面上一点P处作电势零点， 题 10-8 解图 题 10-8(3)图 大学物理学习题解答 10-5 求与点电荷q距离为r的 P 点的电势。 解： 2 00 11 dd() 44 RR rr Qq Ur rrR Er 10-11 如图所示， 边长为 a 的等边三角形的三个顶点上， 分别放置着三个正的点电荷q、 2q、3q若将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心 O 处，外力所做的功多大？ 解：任意 1 个电荷距三角形中心 O 处的距离都为： 2 cos303 aa r ，三个电荷q、 2q、3q在三角形的中心 O 处产生的总电势为 0 0 (23 )3 3 2 4 3 O qqqq U a a 设无穷远处电势为零，将另一正点电荷Q从无穷远处移到三角形的中心 O 处，外力所 做的功 0 3 3 2 OO qQ AQ UUQU a 10-12 如图所示试验电荷q， 在点电荷 Q 产生的电场中，沿半径为R的整个圆弧 的 3/4 圆弧轨道由 a 点移到 d 点的过程中电场力做功多大？从 d 点移到无穷远处的过程中， 电场力做功为多少？ 解：因为在点电荷 Q 产生的电场中， ad UU。故试验电荷q在点电荷 Q 产生的电 场中， 沿半径为R的整个圆弧的 3/4 圆弧轨道由 a 点移到 d 点的过程中电场力做功 ad 0A； 从 d 点移到无穷远处的过程中，电场力做功为 dd 0 4 qQ Aq UUqU R 或另解： 2 00 dd 44 RR qQqQ Aqr rR Er 10-13 如题图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为的正电荷， 两直导线的长度和半 圆环的半径都等于R试求环中心O点处的场强和电势 解： (1)由于电荷均匀分布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强互相抵消， 半圆环上取ddlR，其电量ddqR，在O点产生dE如图， 2 2 02 d dsin0 4 xx R EE R 2 2 02 d dcos 4 yy R EE R 0 2R r P q R P 题 10-10 图 q 3q 2q O a a a 题 10-11 图 +Q R q a d 题 10-12 图 第 10 章 静电场 10-6 所以，由于对称性，O点场强沿y轴负方向，其大小为 0 2 E R (2) 以0U，AB电荷在O点产生电势为 2 1 00 d ln2 44 R R r U r 同理CD产生的电势： 21 0 ln2 4 UU 半圆环产生的电势： 3 00 44 R U R O 点的电势为 123 00 ln2 24 O UUUU 10-14 长为2l的细杆上均匀分着电荷，其带电量为q。求在杆的延长线上距杆一端 距离为a 处的电势。 解 以场点 P 为原点，沿细杆方向为x轴方向，建坐标系。在杆上任取电荷元 ddd 2 q qxx l ，取无穷远为电势为零，则电荷元在 P 处的点电势： 0 d d 4 q U x ，整 个杆上电荷在 P 点处的电势 2 00 d2 ln 48 al a qqal U xla 题 10-14 图 P O a x dx 2l x 题 10-13 图 大学物理学习题解答 11-1 习题 11 11-1 图示一球形电容器，在外球壳的半径b及内外导体间的电势差U维持恒定的条 件下， 内球半径a为多大时才能使内球表面附近的电场强度最小？求这个最小电场强度的大 小。 解：由高斯定理可得球形电容器空间内(内、外球壳之间)的场强为： 2 0 4 Q E r ，而 电势差： 2 00 dd 44 bb aa QQba Ur rab Er 可得球形电容器空间内任一点的场强为： 2 abU E ba r 考察内球表面附近的场强，令ra，有： () a bU E ba a ，将a 看成自变量，若有 d 0 d a E a 时，出现极值，即： 22 (2 )0 () bU ba aba ，得： 2 b a ， 此时内球表面附近的电场强度最小，这个最小电场强度的大小为： min 4 a U E b 。 11-2 一空气平板电容器，极板A、B的面积都是S，极板间距离为d接上电源后， A板电势 A UV，B板电势 B 0U 现将一带有电荷q、面积也是S而厚度可忽略的导 体片C平行插在两极板的中间位置，如图所示，试求导体片C的电势。 解：设 A 板电荷面密度为 A ，则 C 板上表面电荷面密度为 1CA ，C 板下表面电 荷面密度为 2C ，B 板电荷面密度为 B 2C 。由题意， 22 ACCB dd VEE 而 0 A AC E ， 2 0 C CB E ，所以 2 0 2 AC d V 。且 2CA qSS 解得： 2CA q S ，所以 00 2 Ad qd V S ，则： 0 0 () 2 A qd V Sd 。 因此，导体片C的电势： 0 22 A CCBCB q dd S UUE 0 1 () 22 q Vd S 11-3 两金属球的半径之比为 14 ，带等量的同号电荷，当两者的距离远大于两球半 径时，有一定的电势能；若将两球接触一下再移回原处，则电势能变为原来的多少倍？ 解：设小球 1 rR，大球 2 4rR，两球各自带有电量为q，则接触之前的电势能： 222 0 000 5 44416 qqq W RRR 接触之后两球电势相等电荷重新分布，设小球带电为 1 q，大金属球带电为 2 q，有： 题11-1图 题 11-2 图 第 11 章 导体电学与电介质 12 010 2 44 qq rr 12 2qqq 联立解得： 1 2 5 q q ， 2 8 5 q q 。那么，电势能为： 22 22 2 12 0 00000 464 16516 2525 444444251625 qq qq q WW RRRRR 11-4一绝缘金属物体， 在真空中充电达某一电势值， 其电场总能量为 W0 若断开电源， 使其上所带电荷保持不变，并把它浸没在相对介电常量为 r 的无限大的各向同性均匀液态 电介质中，问这时电场总能量有多大？ 解：因为所带电荷保持不变，故电场中各点的电位移矢量保持不变，所以 22 0 0 00 1111 222 rrr W WDEDD 11-5如图所示，一内半径为 a、外半径为 b 的金属球壳，带有电荷Q，在球壳空腔内 距离球心r处有一点电荷q设无限远处为电势零点，试求： (1) 球壳内、外表面上的电荷。(2) 球心 O 点处，由球壳内表 面上电荷产生的电势。(3) 球心 O 点处的总电势。 解：(1) 由静电感应，金属球壳的内表面上有感生电荷 q，外表面上带电荷qQ. (2) 0 4 q q U a (3) 0 111 () 4 O q U rab 0 4 Q b 11-6 有三个大小相同的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，其间的库 仑力为 0 F试求： (1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力； (2)小球3依次交替接触小球1，2很多次后移去，小球1，2之间的库仑力 解: 设小球 1，2 原来带有等量同号电荷q，由题意知，其间的库仑力为 2 2 0 0 4 q F r (1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电 2 q q ；小球3再与小球2接触后，小 球2与小球3均带电 13 24 qqqq。因此，此时小球1与小球2间的相互作用力为 2 2 10 2 00 3 “3 8 448 q q q FF rr (2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后，每个小球带电量均为 2 3 q ，所以小球1、2 间的作用力 a b r q Q O 题 11-5 图 大学物理学习题解答 11-3 2 20 0 22 4 33 49 qq FF r 11-7 将两个电容器 1 C和 2 C充电到相等的电压U以后切断电源， 再将每一电容器的正 极板与另一电容器的负极板相联试求： (1)每个电容器的最终电荷； (2)电场能量的损失 解: (1)如题 11-7 图所示，设联接后两电容器带电分别为 1 q, 2 q，则 12102012 111 222 12 qqqqCUC U qCU qC U UU 解得： 1 q 112212 2 1212 ()() , C CCC CC U qU CCCC (2)电场能量损失 0 WWW 22 22 12 12 12 11 ()() 2222 qq CUC U CC 2 12 12 2C C U CC 11-8 半径为 1 R=2.0cm 的导体球，外套有一同心的导体球壳，壳的内、外半径分别为 2 R=4.0cm和 3 R=5.0cm，当内球带电荷Q=3.010-8C时，求： (1)整个电场储存的能量； (2)如果将导体壳接地，计算储存的能量； (3)此电容器的电容值 解: 如图，内球带电Q，外球壳内表面带电Q，外表面 带电Q (1)在 1 0rR和 23 RrR区域，0 在 12 RrR时， 1 3 0 4 Q r r E 3 rR时， 2 3 0 4 Q r r E 所以在 12 RrR区域内储存的电场能量为 2 1 22 10 2 0 1 () 4 d 24 R R Q Wrr r 2 1 22 2 0012 d11 () 88 R R QrQ rRR 在 3 rR区域内储存的电场能量为 2 3 2 22 20 003 11 () 4 d 248 R QQ Wrr rR 所以整个电场储存的总能量 2 12 0123 111 () 8 Q WWW RRR 4 1.82 10J 题 11-7 图 题 11-8 图 第 11 章 导体电学与电介质 (2)导体壳接地时，只有 12 RrR时 3 0 4 Q r r E， 2 0W ，所以储存的能量 2 4 1 012 11 ()1.01 10 8 Q WW RR J (3)电容器电容 0 2 12 211 4/() W C QRR 12 4.49 10F 大学物理学习题解答 12-1 习题 12 12.1 无限长细导线弯成如题 12.1 图所示 acb 的形状，其中c部分是在xoy平面内半径 为R的半圆，试求通以电流I时O点的磁感应强度。 解：半无限长导线 a 在圆心 O 点的磁感应强度： 0 1 4 I R Bj； 半圆弧在 O 点处的磁感应强度： 0 2 4 I R Bk； 半无限长导线 a 在圆心 O 点的磁感应强度： 3 0B。 所以 O 点总磁感应强度： 00 123 44 II RR BBBBjk 12.2 如题 12.2 图所示的弓形线框中通有电流I，求圆心O处的磁感应强度B。 解：弧形导线产生的磁感应强度为： 00 1 120 23606 II B RR ，方向：垂直纸面向外。 弦在 O 点产生的磁感应强度： 00 00 2 0 3 (cos30cos150 ) 4sin302 II B RR ，方向： 垂直纸面向里。 所以 O 点的磁感应强度： 0 21 31 () 23 I BBB R ，方向垂直纸面向里。 12.3 如题 12.3 图所示，半径为 R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且 以单层线圈均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为 N，通过线圈的电流为 I，求球心 O 的 磁感强度。 解：在弧上取线元ddlR，对应电流元 2 ddd 2 NINI Ill RR ，该电流对应的圆 周半径为sinrR，在 O 点产生的磁感应强度 2 0 2223/2 dd 2(cos) r BI rR ，沿轴向向 右。所以球心 O 点处总的磁感应强度为 2 2 000 2 2223/2 0 dsind 2(cos)4 rNINI BI rRRR 12.4 已知磁感应强度2.0B Wbm-2的均匀磁场，方向沿x轴正方向，如题 12.4 图 所示试求：(1)通过图中abcd面的磁通量；(2)通过图中befc面的磁通量；(3)通过图中 aefd面的磁通量 题 12.3 图 题 12.2 图 题 12.1 图 第 12 章 稳恒磁场 12-2 解：(1)磁通量 1 2.0 0.3 0.40.24WbB S (2) 2 2.0 0.3 0.3 cos900B S (3) 3 2.0 0.3 0.5 cos0.24WbB S 12.5 如题 12-5 图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导 线，其半径为R若通以电流I，求O点的磁感应强度 解：AB 在 O 点产生的磁感应强度： 1 0B ； BC 在 O 点产生的磁感应强度 00 2 60 236012 II B RR 方向：垂直纸面向里。 CD 在 O 点产生的磁感应强度 00 3 0 3 (cos150cos180 )(1) 4cos6022 II B RR 方向垂直纸面向里； 所以，O 点磁感应强度： 0 3 (1) 226 O I B R 方向垂直纸面向里。 12.6 在一半径1.0cmR 的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流I=5.0 A 通过，电流分布均匀.如题 12-6 图所示试求圆柱轴线任一点P处的磁感应强度 解：在圆片上取电流dd I Il R ，如图所示，ddlR在圆心处产生的磁感应强度 00 dd cosd sin 22 II RR Bij，由于对称性，合磁感应强度沿 y 轴方向的分量为 零，O 处的磁感应强度： 5 00 2 2 0 2cos d6.37 10T 2 II R RRR Biii 12.7 氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径 8 0.52 10 cma 的轨道上作匀速 圆周运动，速率 81 2.2 10 cm sv=,如题12-7图所示.求电子在轨道中心所产生的磁感应强 度和电子磁矩的值 解一：电子绕 O 点做匀速圆周运动，每秒转 2 n R v 圈，等效电流 2 e Inq R v ， 其中，e 是电子电量，R 是圆周半径。所以 O 点的磁感应强度 题 12.5 图 题 12.4 图 大学物理学习题解答 12-3 000 2 13T 2224 Iee B Raaa vv 方向垂直纸面向里； 解二：电子绕 O 点做匀速圆周运动，O 点的磁感应强度： 0 0 32 13T 44 qe B ra rvv 方向垂直纸面向里； 磁矩 2242 1 9.2 10A m 22 e PISReR R v v，方向垂直纸面向里。 12.8 两平行长直导线相距d=40cm，每根导线载有电流 1 I= 2 I=20A，如题12-8图所 示求： (1)两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感应强度； (2)通过图中斜线所示面积的磁通量( 1 r= 3 r=10cm,l=25cm) 解：(1)A 点磁感应强度 7 5 0 41020 224 10 T 220.2 I B a ，方向：垂直纸面 向外。 (2)在距离 I1为 r 处取面元ddSl r， 该面元处的磁感应强度 00 22 () II B rdr ，通 过该面元的磁通量 0 11 dd()d 2 Il B Sr rdr 。所以通过矩形面积的磁通量 3 1 003 1 11 d()d2ln 22 d r r IlIldr r rdrr 7 6 41020 0.250.400.10 2ln2.2 10 Wb 20.10 12.9 长直电缆由半径为 R1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为 R2、R3的导体圆筒构 成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I都均匀地分布在横截面 上。求距轴线为 r 处的磁感应强度大小(0r )。 解：磁场轴对称分布，以 r 为半径做垂直于轴线的圆，圆心在轴线上，根据安培环路定 理 0 d2 L BrI Bl ，可得 0 2 I B r 。 当 1 rR时， 2 0 00 22 11 222 I IrI r B rrRR ； 题 12-7 图 题 12-8 图 题 12-6 图 第 12 章 稳恒磁场 12-4 当 12 RrR时， 0 0 22 I I B rr ； 当 23 RrR时， 2222 0 0032 2222 3232 ()() 22()2() I I RrIrR BI rrRRr RR ； 当 3 Rr 时， 0 0 2 I B r 。 12.10 一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为，半径为R。若圆柱绕其轴线匀速旋 转，角速度为，求： (1)圆柱体内距轴线r处的磁感应强度的大小； (2)两端面中心的磁感应强度的大小。 解：(1)各点的磁场相当于一系列不同半径的长直螺线管产生的磁场的叠加。半径为 r 、 厚度为 dr 的旋转薄圆柱面，相当于长直螺线管单位长度的电流为： d d2dd 2 q Ir rr r T 它在内部产生的磁感应强度为： 00 dddBIr r ，在外部的磁感应强度为零。 所以，当rR时，圆柱体内距轴线r处的磁感应强度的大小为 22 00 1 dd 2 R r BBr rRr 当rR时，距轴线r处的磁感应强度0B . (2) 两端面中心，0r ，相当于长直螺线管的端面中心，其磁感应强度的大小为内部 值的一半，即 2 0 1 4 BR 或另解：取厚度为 dx、半径为 R 的圆盘，设端面到该圆盘的距离为 x，则该圆盘在端面盘心处产生的 磁感应强度 2 3 0 0 22 3/2223/2 00 2dd 2 ddd 2 ()2() RR rrrx r Brx rxrx 所以端面中心处磁感应强度 32 00 22 3/2 00 dd 2()4 R rR Bxr rx 12.11 无限长直线电流 1 I与直线电流 2 I共面，几何位置如图所示，试求直线电流 2 I受 到电流 1 I磁场的作用力。 解： 在 2 I上任意位置取电流元 2 ddIIl， 距离 1 I为 r，1I在该处的磁感应强度 0 1 2 I B r ， 垂直纸面向里，由于电流元受到磁力 2 ddIFlB，可得 2 ddFBIl，方向垂直于 2 I指 向左上。所以 2 I受到的磁力 0 1 20 1 20 1 2 2 d ddln 22cos60 b a I II II Irb FBIll rra 12.12 半径为R的半圆形闭合线圈，载有电流I，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈 平面平行，如图所示。求： (1)线圈所受力矩的大小和方向(以直径为转轴)； 大学物理学习题解答 12-5 (2)若线圈受上述磁场作用转到线圈平面与磁场垂直的位置，则力矩做功为多少？ 解：(1)线圈的磁矩 2 1 2 PI SR I，垂直纸面向外；力矩 m MPB，得其受到 的力矩大小为： 2 1 2 MR IB，垂直于 B 的方向向上。 (2)磁力距的功为： 2 21 1 () 2 AIIBR 12.13 如题 12-13 图所示，在长直导线AB内通以电流 1 I=20A，在矩形线圈CDEF中 通 有 电 流 2 I=10 A ，AB与 线 圈 共 面 ， 且CD，EF都 与AB平 行 已 知 a=9.0cm,b=20.0cm,d=1.0 cm，求： (1)导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力； (2)矩形线圈所受合力和合力矩。 解：(1) CD 受到的磁力 4 0 1 2 8.0 10 N 2 CD I FIb d ，垂直 CD 向左； EF 受到的磁力 5 0 1 2 8.0 10 N 2 () EF I FIb da ，垂直 EF 向右； CF 受到磁力 5 0 1 2d 9.2 10 N 2 d a CF d I FIr r ，垂直 CF 向上； DE 受到的磁力与 EF 相等， 5 9.2 10 N DECF FF ，垂直 DE 向下。 (2)矩形线圈受到的合力 4 7.2 10N CDEF FFF ；方向：垂直于 CD 向左。 (3)磁力距 m MPB， 由于磁矩与磁感应强度夹角为 0， 所以线圈受到的磁力距 M 为 0. 12.14 螺绕环中心周长L=10cm，环上线圈匝数N=200匝，线圈中通有电流I=100 mA (1)当管内是真空时，求管中心的磁场强度H和磁感应强度 0 B； (2)若环内充满相对磁导率 r =4200的磁性物质，则管内的B和H各是多少? 解：(1)磁感应强度： 4 0 2.5 10 T NI B L ；磁场强度 1 0 200A m B H 。 (2)磁场强度： 1 200A mH ；磁感应强度 0 1.05T r BH 题 12-11 图 B R I 题 12-12 图 题 12-13 图 第 12 章 稳恒磁场 12-6 12.15 一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为的正电荷假定圆盘绕垂直 于盘面的轴线 AA 以角速度 (rads-1)转动，磁场B的方向垂直于转轴 AA 试证磁场作 用于圆盘的力矩的大小为 4 4 R B M (提示：将圆盘分成许多同心圆环来考虑) 证明：取圆环d2dSr r，它的等效电流 d dd 2 q Iq T dd 2 Sr r 等效磁矩 23 ddd m PrIrr 受到磁力矩 dd m MPB，方向：平行于盘面且垂直于B，大小为 3 ddd m MPBrrB 4 3 0 dd 4 R R B MMBrr 大学物理学习题解答 13-1 习题 13 13-1 一半径为10cmr 的圆形回路放在0.8TB=的均匀磁场中。回路平面与B垂直。当回路半 径以恒定速率 d 80cm/s d r t 收缩时，求回路中感应电动势的大小。 解：任一时刻，圆形回路所围面积为 2 Sr，在匀强磁场中的磁通量为 2 BSBr， 由法 拉第电磁感应定律，有感应电动势的大小 dd 22 0.8 3.14 0.10 0.800.40V dd r B r tt E 13-2 一铁芯上绕有线圈 100 匝,已知铁芯中磁通量与时间的关系为 5 8.0 10sin100 t ，求在 0.01s 时线圈中的感应电动势。 解：线圈中的感应电动势为 5 d 100 8.0 10100 cos1000.8 cos100 d Ntt t E 在0.01st 时，线圈中的感应电动势为：0.82.5VE 13-3 有两根相距为a的无限长平行直导线，它们通以大小相等流向相反的电流，且电流均以 d d I t 的 变化率增长，若有一边长为a的正方形线圈与两导线处于同一平面内，如图所示，求线圈中的感应电动 势。 解：在矩形框内任取条形面元dS如图，宽为dx，长为a面元处的磁感强度为 00 22 II B xxa ，方向：垂直于纸面向外。 面积元法线方向垂直于纸面向外，线圈所围面积上的磁通量为 2 00 dd 22 a sa II ax xxa BS 0 (2ln2ln3) 2 Ia 逆时针为正方向，则线圈中的感应电动势为 0 dd (2ln2ln3) d2d aI tt E 0E，感应电动势沿顺时针方向。 13-4 如图所示，长为 L 的导体棒 OP，处于均匀磁场中，并绕OO轴以角速度旋转，棒与转轴之 间角度为，磁感强度B与转轴平行，求 OP 棒在图示位置处的电动势。 解：如图所示，在导体棒 OP 上任取一积分元dl，导体棒 OP 在均匀磁场中旋转时，各点速度方向 垂直于纸面向里，速度大小为xv，Bv的方向向右，d sindlx，故dl中的电动势为 ddd cosd 2 B lxB x BlvvE sin 22 0 1 ddsin 2 bL a xB xBL BlvE 方向由 O 指向 P。 13-5 如图所示，在一“无限长”直导线附近放置一个矩形导体线框，该线框在垂直于导线方向上以 匀速v向右移动，求在图示位置处线框中的感应电动势的大小和方向。 解：任取一面元 2 ddSlx，任意时刻线圈中的磁通量为(面积元法线方向垂直于纸面向里) 1 02021 ddln 22 a l a IlIlal x xa BS 第 13 章 电磁感应 13-2 由于 d d a t v，所以则线圈当中产生的感应电动势为(顺时针方向为正) 0201 2 11 d11 d22 IlIl l taala al vv E 感应电动势沿顺时针方向。 13-6 导线ab长为l，绕过O点的垂直轴以匀角速转动， 1 aO 3 l，磁感应强度B平行于转轴， 如图所示，求(1)ab两端的电势差，(2)ab两端哪端电势较高？ 解：(1)aO中的电动势为 2 2 3 Oa 0 11 dd 2318 l a O l rB rBBl BlvE，方向Oa 同理，Ob中的电动势为 2 2 Ob 124 = 2318 l BBl E，方向Ob ab两端的电势差等于 2 abaOObOaOb 1 6 Bl EEEEE (2) ab中的电动势方向：ab，所以b端电势较高。 13-7 如图所示，长度为2b的金属杆位于两无限长直导线所在平面的正中间，并以速度v平行于两 导线运动，两导线通以大小相等、方向相反的电流I，两导线相距2a，试求金属杆中产生的电动势大 小。 解一：建立如图坐标系，在距离左边导线x处的磁感应强度为 00 222 II B xax 方向垂直于纸面向里。感应电动势为 00 dd 222 a b a b II x xax BlvvE 0 ln Iab ab v 感应电动势的方向：向左。 x x dl dx O x dl x O x 大学物理学习题解答 13-3 解二：由题设条件可知，金属杆处于两导线的正中间，两导线的电流相等，方向相反，产生的磁场 大小相等，方向相同，都是垂直纸面向里，故两电流在金属杆中产生的电动势相同，即金属杆中产生的 电动势是单个电流存在时产生电动势的两倍。 由例题 13.5 可知金属杆中的电动势为 00 2 dln 2 a b a b IIab x xab v vE 13-8 如图所示，在无限长直线电流的磁场中，导体棒ab与水平方向成角，若平行于电流方向运 动，求导体棒中产生的感应电动势。 解： 在导体棒ab上任取一线元dl， 到电流的距离为x，dl在水平方向分量为dx， 有dd cosxl， 则无限长直线电流在dl处的磁感强度为： 0 2 I B x ，方向垂直于纸面向里。 导体棒ab中产生的感应电动势 0 ab dd cos 2 bb aa I l x BlvvE cos 00 cos dln 22 m l m IIml x xm v v 方向由ba，a端电势较高。 13-9 如图所示，线框 ABCD 的 AB 段可平行于 CD 段而左右滑动，线框放在匀强磁场中，磁感应 强度方向与线框平面法线 n e成角，已知0.60TB ，AB 长为1.0mL ，60，AB 以速率 5.0m/sv向右滑动，求线框中感应电动势大小和感应电流的方向。 解：AB 段产生的电动势为 AB 0 dsindcos 2 BL A BlBL BlvvvE5.0 0.6 1.0 cos601.5V 方向从 A 指向 B，B 点电势较高。 13-10 法拉第圆盘发电机是一个在磁场中转动的导体圆盘。如图所示，设圆盘半径为R，它的轴线 与匀强磁场B平行，它以角速度绕通过盘心的竖直轴匀速转动，(1)求盘边与盘心之间的电势差；(2) 盘边与盘心哪边电势高？当圆盘反向转动时，又如何？ 解：(1)盘边与盘心之间的势电势差等于电动势 2 1 2 BRE (2) 电动势的方向由盘心指向盘边，故盘边电势高 当圆盘反向转动时，电势差大小仍为 2 1 2 BRE 而方向变为由盘边指向盘心，盘心电势高。 13-11 在磁感应强度0.84TB 的匀强磁场中，有一个边长为 2 5 10ma 的正方形线圈匀速转 动，磁感应强度方向与转轴垂直，设线圈转动的角速度20 rad/s，求线圈中的最大感应电动势。 解：如图所示，当线圈法线与磁场夹角为时，线圈中通过的磁通量为 B r L A E 习题 13-13 图 第 13 章 电磁感应 13-4 2 coscosBSBat 则线圈中的感应电动势为 2 d sin dt Ba E 当sin1 时，线圈中获得最大感应电动势为 2 22 max 0.845 10200.13VBa E 13-12 在长为 0.60m，直径为 2 5.0 10m 的圆纸筒上，需要绕多少匝线圈才能使绕成的螺线管的 自感系数 L 约为 3 6.0 10H ？ 解：长直螺线管的自感系数为： 2 0 N LS l ，可得线圈的匝数为 3 22 2 0 7 6.0 100.660 10 1208 5 10 5 10 410 2 Ll N S 13-13 在一个半径为R的圆柱形空间内，有沿圆柱轴向穿入的匀强磁场B，它的磁感应强度以 2 10 T/s 的变化率减小，A 点离轴线的的距离 2 5.0 10mr ，求：(1) A 点的感应电场；(2)电子在 A 点的加速度。 解：(1)由题可知， 2 d 10 d B t ，假设过 A 点有一半径为r的圆线圈L如图，其圆心在轴上，顺时 针为正方向，则线圈中的感应电动势为 =dd r LS t B ElS E 根据场的对称性，有 22 =10Err E A 点处的感生电场强度为 2 224 5.0 10 10102.5 10 V/m 22 r E 方向沿顺时针方向。 (2)由FeEma 有 194 82 31 1.602 102.5 10 0.44 10 m/s 9 10 eE a m 加速度方向沿圆周逆时针方向的切线方向。 13-14 试求解例题 13.1 中，长直导线与矩形线框的互感系数。 解解 1：由例题 13.1 可解得长直导线的磁场在矩形线框中的磁通量为 00 dln 22 m n m IlIlmn x xm 由公式MI，可得互感系数 0 ln 2 lmn M Im 解解 2：任意时刻线框中产生的感应电动势为 0 dd ln d2d lmnI tmt E 由互感电动势 d d M t E可得互感系数 大学物理学习题解答 13-5 0 ln d 2 d lmn M m t E 1