语言统计第八章线性关系的测量——相关.ppt

第八章 线性关系的测量 相关,第一节 什么是相关 第二节 相关的直观表示法 第三节 （线性）相关的量化 一、皮尔逊积距相关系数 二、皮尔逊积距相关系数的计算 三、皮尔逊积距相关系数的假设检验 第四节 斯皮尔曼等级相关系数 一、斯皮尔曼等级相关系数的应用与计 二、斯皮尔曼等级相关系数的假设检验,第一节 什么是相关,变量之间往往存在一定程度的联系或关联，比如变量X的值可能随变量Y的值的增大而增大，或随变量的值可能随值的增大而减小等。相关实质上就是变量之间的协变或共变，即一个变量随另一个变量的变化而变化。既然相关的变量之间存在规律性的关系，那么有了一个变量的值就可以在一定程度上预测另一个变量的值，预测的准碗性显然取决于变量之间相关程度的强弱，如果两变量完全相关（这种情况非常少见），那么预测的准碗性就可以达到百分之百。,第二节 相关的直观表示法,变量之间相关的强弱可以量化，也可以用直观的方法表示出来。在对相关量化之前，最好先用直观的方法，看看变量之间的大体关系如何，比如相关的程度是否强，是正相关还是负相关，是线性关系还是非线性关系 （因为对相关的量化往往要求变量之间呈线性关系） ， 等等。 此外， 我们还能很容易、很直观地发现是否有反常的数据值，这些反常值会对相关的量化 相关系数产生很大的影响。,对相关的直观表示一般是利用散布图。散布图就是一个直角坐标，横坐标代表一个变量，纵坐标代表另一个变量。在坐标内用一个个的点来表示相关变量的一对对的观测值，这些点所形成的图形的形状就可以体现变量之间的相关情况。 图8.1和图8.2 表示完全线性相关，即变量X和变量Y之间的关系完全可以用一条直线来表达，这时给出一个变量的值就可以完全预测另一个变量的值。正相关表示变量Y的值随变量X的值的增大而增大，负相关表示变量Y的值随变量X的值的增大而减小。,图8.3表示线性强正相关，即随变量X的值增大，变量Y的值也倾向于增大，两者之间存在很强的线性关系，即各点相聚很紧，通过各点的中间基本上可以划一条直线。,图8.4表示线性强负相关，即随变量X的值的增大，变量Y的值倾向于减小，各点之间相聚同样很紧，通过各点的中间也基本上可以划一条直线。,图8.5表示弱正相关，变量Y的值大休上随变量X的值的增大而增大，但有很多例外，因而各点不是紧聚在一条直线两侧。 图8.6表示弱负相关，变量Y的值大体上随变量X 的值的增大而减小，但有很多例外，因而各点不是紧聚在一条直线两侧。,图8.7中看不出明显的规律性,这表明两变量不相关或相关很低。 图8.8表明两变量之间虽有规律性的关系（U型,变量X的小值和变量Y的大值相联系），但该关系是非线性关系。,第三节（线性） 相关的量化,一、 皮尔逊积矩相关系数 最常用的一种指数是皮尔逊积矩相关系数或积差相关系数，用符号r表示。 该相关系数有以下几个特点： （1）就像比例或百分比那样，相关系数没有单位，变量的测量单位的改变不影响相关系数的值。 （2）与其值在 -1与+1之间， 即-1r +1。 -1和+1分别表示完全的负相关和完全的正相关； （3）适用于两变量都是等距变量或比率变量，且每一变量的数据都是呈正态分布的情况。,二、皮尔逊积矩相关系数的计算 皮尔逊积矩相关系数的计算公式为,（8.1）,其中 代表变量X的任一个观测值的标准分； 代表变量Y的任一个观测值的标准分； ，即每对标准分之积的和，就表示了两变量之间的关系；N表示两变量观测值的对子数，N-1就是相关系数的自由度。 在上式中,又因,所以上述公式可以改写为,(8.1),三、皮尔逊积矩相关系数的假设检验 对皮尔逊积矩相关系数的假设检验为参数检验。 检验步骤如下： 第一步：陈述零假设和备择假设： （ 为希腊字母， 表示总体的相关系数，表示样本所来自的总体之间不存在任何相关） （双尾检验） 或 （单尾检验） 或 （单尾检验） 第二步： 设定显著水平 第三步： 计算检验统计值 （如两变量呈正态分布， 即用r作为检验计值）。,第四步： 查表：附表3给出了对应于各显著水平和数据对子数（ N） 的 临界值。 第五步： 如果r值大于或等于临界值，就可以在所设定的显著水平上拒绝零假设。 对于上例，假如设 为 0.05，双尾检验，那么临界值为 0.444。由于r值（0.672） 大于临界值， 所以该检验有显著意义， 即两组分数之间确实存在相关。假如设 ，该检验即为单尾检验值，如 仍为0.05 ，那么临界值为0.378 ，检验仍然有显著意义。,第四节 斯皮尔曼等级相关系数,一、 斯皮尔曼等级相关系数的应用与计算 另一个常用的相关系数是斯皮尔曼等级相关系数，符号为 。该相关系数用来比较两组等级数据，来决定两者之间的相关程度，因此，它适用于两变量都是顺 序变量的情况。斯皮尔曼等级相关系数的计算公式为,（8.3）,上述计算方法仅适用于两变量都是顺序变量（即变量的值为等级）的情况。如果一个是顺序变量，而另一个是等距变量，或者两个变量都是等距变量（因种种原因不能使用皮尔逊积矩相关系数），就要先把等距变量转换为顺序变量（当然随着转换，将会失去一定量的信息）。转换的方法是：先把第一个变量的观测值按从小到大的顺序一一转换成等级，即最小的观测值的等级为如遇并列的观测值，则把它们的平均等级（即假如它们不并列而本应占的等级除以并列的观测值个数）用作它们的等级。转换以后，其余计算方法同 上。,计算斯皮尔曼等级相关系数时有一点需要注意，那就是并列等级有可能对 值带来偏差。如果并列等级过多，就会大大影响值的精确性倾向于过高估计相关强度（在上例中，有一部分观测值的等级是并 性列的， 所以计算出的 值略高于r值）。在这种情况下， 一个更精碗的方法是把等级作为观测值，计算皮尔逊相关系数。,二、皮尔曼等级相关系数的假设检验 检验的步骤与方法如下： 第一步：零假设与备择假设为： （即样本所来自的总体之间不存在相关）； （单尾检验，即总体之间的相关为正相关）。 第二步： 设显著水平为0.05 第三步： 检验统计值 第四步：查表得临界值为 第五步：由于 值大于临界值，所以零假设被推翻，证明两变量之间确实存在显著的正相关。,小 结,在研究相关时有两点需要注意。一是，相关并不意味着因果关系，两变量相关并不表明两者之间存在因果关系。举一个很极端的例子，某年的降雨量与出生率之间有很高的正相关，但是不能因此说高降雨量导致了高