大学离散数学-贾振华-大学教学资料课件PPT
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第5章 函数,本章学习目标：,函数（又称为映射）是数学中最基本且最重要的概念之一。 在高等数学中，函数的概念是从变量的角度提出来，并且是在实数集合上讨论，这种函数一般是连续或间断连续的。在这里，我们将连续函数的概念推广到对离散量的讨论，即将函数看作是一种特殊的二元关系。通过本章学习，读者应掌握以下内容： （1）函数的基本概念 （2）单射、满射和双射函数 （3）函数的复合运算 （4）函数的逆运算 （5）置换,主要内容,5.1 函数的概念 5.2 函数的性质 5.3 复合函数与逆函数,5.1 函数的概念,定义5.1.1 设和Y是任意两个集合，f是一个从X到Y的二元关系，如果f满足：对于每一个xX，都有唯一的yY，使得f，则称关系f为X到Y的函数，记作： f：X Y 或 X Y 当f时，通常记为yf(x)，这时称x为函数的自变量（或原象），y为x在f下的函数值（或映像）。集合X称为f的定义域，由所有映像组成的集合称为函数的值域，记作f(X) 。,5.1 函数的概念,解 f1是X到Y的函数 ；f2不是X到Y的函数，因为X中的元素c与Y中的元素都不相关；f3也不是X到Y的函数，因为X中的元素d与Y中的两个元素有关。 。,例5.1.1 判断下列关系中哪个能构成函数。 （1）集合Xa，b，c，d，Y1，2，3，4，5，6，f1，f2，f3分别是X到Y的二元关系，其中 f1， f2， f3，,5.1 函数的概念,（2）f | x1，x2N，且x1x210 解 f不能构成函数，因为x1不能取定义域中所有的值，且x1可对 应很多x2。,（3）X=1，2，3，4，5，6，7，8，9，Y=0，1，f为X到Y 的关系，对于X中的元素x为偶数时，f，否则f。 解 f能构成函数，因为对于每一个xX，都有唯一yY与它对 应。,5.1 函数的概念,定义5.1.2 设函数f：XY，g：A B，如果XA，YB，且对于所有的xX和xA有f（x）g（x），则称函数f和g相等，记作fg。 下面讨论函数的计数问题。 例5.1.2 设集合Xx，y，z，Ya，b，试问：X到Y可以定义多少种不同的函数？ 解 f（x）可以取a或b两个值；当f（x）取定一个值时，f（y）又可以取a或b两个值；而当f（y）取定一个值时，f（z）又可以取a或b两个值。因此，从X到Y可定义23种不同的函数。,5.1 函数的概念,例5.2 设X和Y都为有限集，且|X|=m，|Y|=n，问X到Y可以定 义多少种不同的函数？,解 因为从X到Y的每一个函数的定义域都是X，在这些函数中， 每一个恰有m个序偶。另外，对于任何xX，可以有Y中的n个 元素中的任何一个作为它的像，所以共有nm个不同的函数。,5.2 函数的性质,定义5.2.1 设函数f：XY，如果对于X中的任意两个元素x1和 x2,，当x1x2时，都有f（x1）f（x2），则称f为X到Y的单（入）射 函数。 例如，集合Xa，b，c，Y1，2，3，4，f是X到Y的函数， 且有： f（a）1 f（b）2 f（c）3 则f就是从X到Y的单射函数。,5.2 函数的性质,定义5.2.2 设函数f：X Y，如果f（X） Y，即Y中的每一个 元素是X中一个或多个元素的映像，则称f为X到Y的满射函数。 设f：X Y是满射，即对于任意的yY，必存在xX使得f（x） y成立。 例如，集合X1，2，3，Ya，b，f是X到Y的函数，且有 f（1）a f（2）b f（3）b 则f是X到Y的满射函数，但显然不是单射函数。,5.2 函数的性质,定义5.2.3 设函数f：X Y，如果f既是单射函数又是满射函数， 则称f为X到Y的双射函数，也称一一对应函数。 例如，集合Xa，b，c，Y1，2，3，f是X到Y的函数，且 有： f（a）1 f（b）3 f（c）2 则f是从X到Y的双射函数。,5.2 函数的性质,例5.2.1 确定如下关系是否是函数，若是函数，是否是单射、满射、双射。,（1）设X1，2，3，4，5，Ya，b，c，d，e f1， f2， f3，,解 （1）f1不是从X到Y的函数，因为dom f11，2，3X； f2是从X到Y的函数，但f2（3） f2（5）c，ran f2a，b，c，eY，因此f2既非单射也非满射； f3是从X到Y的双射函数。,5.2 函数的性质,例5.2.1 确定如下关系是否是函数，若是函数，是否是单射、满射、双射。,（2）设XYR（实数集合） f1 | xR f2 | xR f3 | xR f4 | xR,解 ：f1是从X到Y的函数，但f1（1） f1（1）1，因此它不是单射函数，又因为该函数的最小值是0，所以ranf1是区间0，），不是整个实数集，因此它也不是满射函数； f2是从X到Y的单射函数； f3不是从X到Y的函数，因为dom f3是，），不是整个实数集； f4是从X到Y的双射函数。,5.2 函数的性质,例5.2.3 （1）设f：X Y，如果存在yY使得对所有的xX都有f（x）y，则称f为常函数。 （2）X上的恒等关系Ix就是X上的恒等函数，对于所有的xX都有Ix（x）x。 （3）设f：X X，对于任意的x1，x2X，如果x1x2，则有f（x1）f（x2），就称f为单调递增；如果x1x2，则有f（x1）f（x2），就称f为严格单调递增的。类似地也可以定义单调递减和严格单调递减的函数。它们统称为单调函数。,5.2 函数的性质,定理5.2.1 设X和Y为有限集，若X和Y的元素个数相同，即|X|Y|，f是从X到Y的函数，则f是单射的，当且仅当f是满射的。 证明 必要性：设f是单射的，则|X| f（X）| |Y|，从f的定义我们知道f（X）（包含）Y，而| f（X） | |Y|，又因为|Y|是有限的，故f（X）Y，因此f是单射推出f是满射的。 充分性：设f是满射的，根据满射定义f（X）Y，于是|X|Y|f（X）|。因为|X|f（X）|且|X|是有限的，故f是单射的，因此f是满射推出f是单射的。,这个定理必须在有限集情况下才成立，在无限集上不一定成立，如f：Z Z，f（x）2x，在这种情况下整数映射到偶整数，显然这是一个入射，但不是满射。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.1 复合函数 定理5.3.1 设X、Y、Z是集合，f是X到Y的二元关系，g是Y到Z的 二元关系，当f和g都是函数时，则复合关系f g是X到Z的函数。,定义5.3.1 设函数f：XY，g：YZ，经f和g合成后的函数称为 复合函数，记作g f，它是X到Z的函数，当xX，yY，zZ， 且f（x）y，g（y）z，则g f（x）z。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.1 复合函数,例5.3.1 设集合Xx，y ，z ，Ya ，b ，c ，d ，Z1 ，2 ，3 ，f是X到Y的函数，g是Y到Z的函数，其中 f（x）c f（y）b f（z）c g（a）2 g（b）1 g（c）3 g（d）1 求复合函数gf,5.3 复合函数与逆函数,5.3.1 复合函数,解 易知gf是X到Z的函数，且 gf（x）g（f（x）g（c）3 gf（y）g（f（y）g（b）1 gf（z）g（f（z）g（c）3 由于函数的复合仍是一个函数，因此同样可求三个函数的复合，并且和二元关系的合成一样，函数的复合运算也满足结合律。 设f，g，h都是X到X的函数，则（fg） hf （g h）。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.1 复合函数 例5.3.2 设R是实数集，f，g，h都是R到R的函数，其中 f（x）x2 g（x）x2 h（x）3x 求gf，h（gf），（hg）f 解 gf（x）g（x2）（x2）2x h（gf）（x）h（gf（x）h（x）3x （hg）f（x）（hg）（f（x）h（g（f（x）h （g（x2）h（x2）2）h（x）3x。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.1 复合函数 定理5.3.2 设f和g为函数，gf是f和g的复合函数，则： （1）若f和g是满射的，则gf是满射的； （2）若f和g是单射的，则gf是单射的； （3）若f和g是双射的，则gf是双射的。 证明 （1）设f：X Y，g：Y Z，则gf：X Z。由于g是满射 的，对于Z中任意元素zZ，必有yY，使得g（y）z；对于 yY，又因为f是满射的，所以也必有xX，使得f（x）y。因 此，对于Z中任意元素z，必有xX，使得gf（x）z，所以gf是 满射的。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.1 复合函数 定理5.3.2 设f和g为函数，gf是f和g的复合函数，则： （1）若f和g是满射的，则gf是满射的； （2）若f和g是单射的，则gf是单射的； （3）若f和g是双射的，则gf是双射的。 证明 （2）由于f和g都是单射的，因此对于任意x1、x2X， 当x1x2时，必有f（x1）f（x2），g（f（x1）g（f（x2）， 即当x1x2时，必有gf（x1）gf（x2），所以gf是单射的。 （3）由（1）、（2）证明结果即可得证。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.1 复合函数 定理5.3.3 设函数f：X Y，g：Y Z，gf是f和g的复合函数，则： （1）若gf是满射的，则g是满射的； （2）若gf是单射的，则f是单射的； （3）若gf是双射的，则f是单射的，g是满射的。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.2 逆函数,定理5.3.4 设f：X Y是一个双射函数，则f的逆关系f1是Y到X的函数，且是一个双射函数。,定义5.3.2 设f：X Y是一个双射函数，其逆关系f1称为f的逆函数，也记作f1。 例如，设Xx ，y ，z ，Ya ，b ，c ，f：X Y，且 f ， 则 f1，。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.2 逆函数,定理5.3.5 设f：X Y是一个双射函数，则（ f1 ）1f。 证明 由定理5.3.4可知，f1：Y X，且是双射的，因此它的逆函数（ f1 ）1必然存在，而且也是双射。 并且对于任意xX f：x f（x） f1：f（x）x （ f1 ）1：xf（x）。 显然，（ f1 ）1 f成立。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.2 逆函数,证明 （1）因为f：X Y是一个双射函数，所以f1：Y X，故f1 f：X X。对于任意xX，必存在yY ，使得f（x）y，且f1（y）x，因此 f1f （x） f1（f（x） f1（y） x 故f1 f IX 成立。,定理5.3.6 设f：X Y是一个双射函数，则 （1） f1 f IX | xX （2） f f1 IY | yY （3）f IY f f IX,5.3 复合函数与逆函数,5.3.2 逆函数,解：由于f是双射函数，因此由逆函数的定义可直接得 f1 ， ， 同样可得 f f1 ， ， f1f ， ， ,例5.3.3 设X1，2，3，Ya，b，c，f是X 到 Y的双射函数，且f，求 f1和f f1和f1 f。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.2 逆函数,定理5.3.7 设f：X Y，g：Y Z均为双射函数，则（g f）1f1 g1。,证明 （1） 因为f、g是双射函数，所以gf是X到Z的双射函数，g f存在逆函数，且（gf）1是Z到X的双射函数；同样，f1和g1也是双射函数，所以，f1 g1也是Z到X的双射函数。,5.3 复合函数与逆函数,5.3.2 逆函数,定理5.3.7 设f：X Y，g：Y Z均为双射函数，则（g f）1f1 g1。,要证（gf）1f1g1，即证对于Z中任意元素z，有 （gf）1 （z） f1g1（z）。 因为g1是Z到Y的双射函数，对于zZ，有唯一元素yY，使得g1（z）y，同理，对于yY，有唯一元素xX，使得f1（y）x，由此可得 f1 g1（z）x 由于g f（x）g（f（x）g（y）z，所以 （g f）1 （z）x 由此证得（g f）1f1 g1，证毕。,5.4 置换,定义5.4.1 设X是有限集合，Xx1，x2，xn，X上的任意 双射函数f：X X称为X上的n元置换，n也称为置换的阶。,例如，X1，2，3，设f：X X，且有 f（1）2，f（2）1，f（3）3，显然f将1，2，3分别置换为2，1，3，通常也将 此置换记为 f ,n元置换f：X X常表示为f,5.4 置换,定义5.4.2 设g是集合X的置换，若存在元素x1，x2、xm X，使得g（x1）x2，g（x2）x3，g（xm）x1，且X的其它元素g下的像与原像相等，则称h（x1，x2，xm）为m次轮换。任何n元置换都可表成不交的轮换之积。,例如，g是1，2，6上的置换，且 g,那么g的映射中去掉3和6这两个保持不变的元素，可得 1 5， 5 1， 2 4， 4 2 两个轮换，所以g（1，5） （2，4） （3） （6）,5.4 置换,又如，h也是1，2，6上的置换，且 h 则h可表示为： h（1，3，2，4，6） （5） 为了使表达式简洁，可去掉1次轮换，那么有 g（1，5） （2，4），h（1，3，2
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