大学经济数学-何春江-大学教学资料课件PPT
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大学经济数学-何春江-大学教学资料课件PPT,大学,经济,数学,何春江,教学,资料,课件,ppt
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,10.1 数项级数的概念与性质10.2 正项级数及其敛散性 10.3 任意项级数 10.4 幂级数 10.5 函数展开成幂级数,第10章 无穷级数,结束,前 项和，又叫部分和，记作 .当 依次取,部分和数列 ：级数(1)的前 项相加得到它的,10.1.1 数项级数的概念,定义1 设给定数列 则表达式 称为(数项)无穷级数，简称(数项)级数，记为,其中第 项 称为级数的一般项或通项.,时得到一个部分和数列 .,10.1 数项级数的概念与性质,数列 有极限 ，即 ,则称无穷级数 收敛, 称为此级数的和,且有 ;,定义2 当 时如果级数 的部分和,若 无极限，则称无穷级数 发散.,定义3 若级数 收敛 ,则称,为级数的余项.,解:(1)当公比 时，此级数为：,例1 讨论几何级数 的收敛性.,其前 n 项和为：,所以，,于是，当 时，此级数发散.,当 时，此级数为：,其前 项和为：,(2)当 时，有：,所以该级数收敛.,(3)当 时，显然有：,所以该级数发散.,综合以上可得:级数 当 时收敛,而当 时发散.,例2 判别级数 的收敛性,解 因为,所以,于是,故原级数收敛,且其和 .,例3 判别级数 的收敛性.,解:因为,于是,故原级数发散,10.1.2 数项级数的性质,性质1 若级数 收敛于和s，则它的各项同乘以一个常数 所得的级数 也收敛,且其和为 ;若级数 发散,且 ,则 必定发散.,性质2 如果级数 和 分别收敛于 和,例4 判别级数 的收敛性.,解:因为 和 都是公比的绝对值小于1的,等比级数，因此都收敛，由性质2知该级数收敛.,性质3 增加或去掉级数的有限项，不改变级数的敛散性.但当级数收敛时,其和一般会改变.,由性质4我们可以得到如下结论：,例5 判别级数 的收敛性.,解 由例1知级数 收敛.,所以,由性质3可得:级数 收敛.,例6 判别级数 的收敛性.,解 因为所给级数通项为: ,而,所以,由性质4可知原级数发散.,10.2.1 正项级数及其审敛法,正项级数: 如果级数 中的每一项均满足,则称该级数为正项级数.,定理1 正项级数 收敛的充分必要条件 是：它的部分和数列 有界.,10.2 正项级数及其敛散性,定理2 (比较审敛法)设有两个正项级数 和 ,(1)如果已知级数 收敛且有 ,则级 数 也收敛.,(2)如果已知级数 发散且有 ,则 级数 也发散.,例1 判别级数 的收敛性.,解 因为,所以 为正项级数,又因为,而 为公比的绝对值小于1的几何级数，所以收敛.,因此由比较审敛法可知级数 收敛,例2 讨论p -级数 的收敛性,其中常数 p0.,综合以上可得:p-级数 当 时是发散的;而当p1时是收敛的.,而后一级数是几何级数,其公比,所以这个级数是收敛的.,因此由比较审敛法知级数 是收敛的.,例3 判别级数 的收敛性.,解 因为所给级数的通项,而级数 是发散的调和级数.,所以由比较审敛法可得级数 收敛.,解 因为所给级数的通项,而级数 是p-级数,且,所以此级数收敛.,例4 判定级数 的收敛性,由比较审敛法可知级数 收敛,定理3 (比较审敛法的极限形式)设级数 和 ,为正项级数,如果 , 则级数,和 具有相同的收敛性.,解 所给级数的通项,因为调和级数 发散,且有,所以由定理3级数 收敛.,例5 判定级数 的收敛性,解 因为所给级数的通项,而级数 是p-级数,且,所以此级数收敛.而,因此由定理3可知级数 收敛.与例4结果一致.,定理(比值审敛法)设 为正项级数，如果 则(1)当 时，级数收敛；,(3)当 时，级数可能收敛，也可能发散.,(2)当 时，级数发散.,例7 判别级数 的收敛性.,解 因为所给级数为正项级数，其中,所以,于是，由比值审敛法可的得：级数 收敛.,例8 判别级数 的收敛性.,解 因为所给级数为正项级数，其中,所以,于是，由比值审敛法可的得：级数 收敛.,例9 判别级数 的收敛性.,解：因为所给级数为正项级数，其中,所以,于是，比值审敛法无法判别该级数收敛性.,但调和级数 发散且有,所以由定理3知级数 发散.,在级数 中，如果对于某些 可取任意值，此时级数为任意项级数，为了研究任意项级数，我们先来学习一种较简单的级数交错级数.,交错级数是指级数的各项是正负相间的（即一正一负地出现）级数，设 ，则交错级数的一般形式为,10.3 任意项级数,10.3.1 交错级数及其审敛法,定理1 （莱布尼兹审敛法）,(1) ；,则此交错级数收敛，且其和 ，其余项 的绝对值 .,如果交错级数 满足条件:,(2),例1 判别级数 的收敛性.,解 所给级数为交错级数，且满足条件,（1）,（2）,由定理1可知此级数收敛.,定理2 如果级数 收敛，则级数 一定收敛.,对于任意项级数 ，其中 可正可负，为了研究它的收敛性，我们先来研究将其各项取绝对值变为正项级数 的收敛性，从而再确定级数 的收敛性.,10.3.2 绝对收敛与条件收敛,定义3 如果级数 收敛，则称级数 绝对收敛；如果级数 收敛而级数 发散，则称级数 条件收敛.,例如级数 为收敛的交错级数，而级数 却为发散的级数，因此 为条件收敛.,例2 判定级数 的收敛性.,为 的 级数乘以常数 ，因此 发散.,解 该级数为交错级数，但由 可知,例3 判定级数 是绝对收敛还是条件收敛.,解 因为 ，而级数 收敛，所以 也收敛，故 绝对收敛,10.4 幂级数,10.4.1 幂级数的概念 如果级数的每一项均为定义在区间 上的函数 ，则称级数 为函数项级数.,定义4 设 是定义在区间 上的函数列，则以 为一般项的级数,称为函数项级数.,对于确定的 ，级数 成为常数项级数,定义5 如果级数 收敛，则称 为函数项级数的收敛点，若级数在 点发散，则称 为该级数的发散点.由收敛点组成的集合称为函数项级数的收敛域.,函数项级数在它的收敛域上是关于 的函数，称其为和函数，记作 ，即,在函数项级数的收敛域上，和函数 与前 项和 有关系,余项 ，显然 .,的级数称为关于 的幂级数，其中常数 称为幂级数的系数。特别地，当 时，上式变成,称为 的幂级数.我们可以通过研究 的幂级数的收敛性，从而通过变换 得到关于 的幂级数的收敛性.,定义6 形如,如果幂级数 在 处收敛，则对所有满足 的 ，该级数绝对收敛；对所有满足 的 ，该幂级数发散。,因此我们有如下结论：级数 的收敛点总是在数轴上连续分布并且在关于原点对称的一个区间上，端点可能例外.因此必有一个完全确定的正数 存在，满足,定理7（阿贝尔定理）,（1）当 时， 绝对收敛； （2）当 时， 发散； （3）当 或 时， 可能收敛也可能发散.,定义7 称上述 为幂级数 的收敛半径，由收敛点构成的区间为幂级数的收敛区间。,（1）如果 ，则 ；,（2）如果 ，则 ；,（3）如果 ，则 .,定理8 设幂级数 的系数满足,例1 求幂级数 的收敛半径和收敛区间,解 由于 ，因此,可知收敛半径 。,当 时，原级数变为收敛的交错级数 ； 当 时，原级数变为发散的调和级数. 因此原级数的收敛区间为 .,例2 求幂级数 的收敛半径和收敛区间.,解 因为 ，因此,所以该级数的收敛区间为 .,例3 求幂级数 的收敛半径和收敛区间.,解 由于所给级数不是级数的标准形式，可设 ，则原级数变为,由例1知其收敛区间为 ，即 ，所以原级数的收敛区间为 .,1、幂级数的运算 设有两个幂级数,分别在 内收敛，它们可进行下列运算：,及,10.4.2 幂级数的性质,（1）加法,（3）乘法,上述三种运算在 中较小的区间内成立.,（2）减法,设幂级数 在 内收敛，则该幂级数具有下列性质：,逐项求导以后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径，但在收敛区间的端点处，级数的收敛性可能会改变.,2、幂级数的解析性质,（3）在 内 可积，且有逐项积分公式,逐项积分后的幂级数与原幂级数有相同的收敛半径，但在收敛区间的端点处，级数的收敛性可能会改变.,的和函数，其中 .,又,例4 求幂级数,逐项求导得,所以,10.5 函数展开成幂级数,10.5.1 泰勒级数,定义8 如果函数 在包含 的某区间 内有任意阶导数，则对此区间内任意点 有,称上式为函数 的泰勒公式，系数 称为泰勒系数。余项 称为拉格朗日型余项.,如果 ，则泰勒公式变为,称为麦克劳林公式，其中余项,定义9 如果函数 在包含 的某区间 内有任意阶导数，则存在级数,称为函数 在 处的泰勒级数.,我们可用下述定理来判断泰勒级数的收敛性：,定理9 设 在 的某邻域内存在任意阶导数，则函数 的泰勒级数式在该邻域内收敛于 的充分必要条件是泰勒公式的余项的极限 .,特别地，在 泰勒级数中当时泰勒级数变为,称为 的麦克劳林级数.,10.5.2 函数的幂级数展开,函数展开为幂级数有两种主要方法：一是按幂级数的定义直接将函数展开为幂级数；另一种是通过已知的幂级数展式以及幂级数的性质将函数展开成幂级数.前者称为直接展开法，后者称为间接展开法.,直接展开的主要步骤为：,（1）求出 的各阶导数,再求出函数及各阶导数在 点的值；,（2）作幂级数 并求出其收敛半径 ；,（3）在收敛区间内考察余项 的极限,若 ，则 可展成幂级数，否则不能展成幂级数.,例6 将函数 展成 的幂级数.,解,作幂级数,其收敛半径 ,余项 在0 与 之间.,对于任意的 ， 是有限的，从而,所以,因此,直接展开法计
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